数学（北京A卷）-2023年高考第二次模拟考试卷

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2023年高考数学第二次模拟考试卷（北京A卷）数学·参考答案12345678910CACBCCCBBC11．   12．##  13．①②④  14．          (答案不唯一)15．     0（答案不唯一）     416．（13分）【详解】（1）由题意得，；整理得，；∴；…………………………………………3分由得，，又；∴；∴；…………………………………………5分∴；………………………………………………………………6分（2）∵，∴由正弦定理可得，可得为锐角，可得，……………10分∴．…………………………………………13分17．（14分）【详解】（1）由题知：直线平面，∵平面，∴…………………………2分平面平面，平面平面， 平面，所以平面，…………………………4分因为平面，所以.…………………………5分（2）若选择①:因为平面，平面，平面平面所以，又,因此四边形为平行四边形，即为中点若选择②:…………………………7分因为平面，平面，所以，又所以四边形为平行四边形，即为中点，…………………………7分（选择①和选择②都能证明为中点，以下的解析过程两种选择相同.）所以 ，，因为直线平面，所以直线与平面所成角为，有， 则，，………………………9分如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，， 设平面的一个法向量为 且 ，   ，令，则，解得 ， …………………………11分平面的一个法向量为，，，，令，则，，………………………13分设平面与平面所成锐二面角为， .所以平面与平面的夹角的余弦值为.…………………………14分18．（14分）【详解】（1）解：由图可知，亩产量是的概率约为，亩产量是的概率约为，亩产量是的概率约为，估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率为………………3分（2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有：、、、、，，，，，，…………………………9分所以，随机变量的分布列如下表所示： .…………………………10分（3）解：建议农科所推广该项技术改良，设增产前每亩冬小麦产量为，增产后每亩冬小麦产量为，则，设增产后的每亩动漫小麦总价格为元，分析可知，…………………………12分所以，增产的会产生增加的收益为，故建议农科所推广该项技术改良.…………………………14分19．（14分）【详解】（1）由题设得，解得，，，所以椭圆的方程为.…………………………5分（2）由，得，由，得.…………………………7分设、，则，，…………………………9分所以点的横坐标，纵坐标，所以直线的方程为.…………………………11分令，则点的纵坐标，则，因为，所以点、点在原点两侧.因为，所以，所以.又因为，，…………………………13分所以，解得，所以.…………………………14分20．（15分）【详解】（1）时，，∴，…………………………1分∵当，，为单调减函数．当，，为单调增函数．…………………………5分∴的单调减区间为，单调增区间为；…………………………6分（2）∵，在区间上是减函数，∴对任意恒成立，即对任意恒成立，………………………8分令，则，因为函数在上都是减函数，所以函数在上单调递减，∴，∴；………………………10分（3）设切点为，由题意得，∴,∴曲线在点切线方程为，即．………………………12分又切线过原点，∴，整理得，设，则恒成立，在上单调递增，………………………14分又，∴在上只有一个零点，即，∴切点的横坐标为，∴切线有且仅有一条，且切点的横坐标为.………………………15分21．（15分）【详解】（1）对①：取，对，则，可得，显然不存在，使得，故数列不满足性质；………………………2分对②：对于，则，故，∵，则，且，∴存在，使得，故数列满足性质.………………………2分（2）若数列满足性质，且，则有：取，均存在，使得，取，均存在，使得，取，均存在，使得，故数列中存在，使得，即，………………………5分反证：假设为有限集，其元素由小到大依次为，取，均存在，使得，取，均存在，使得，取，均存在，使得，即这与假设相矛盾，故集合为无限集.………………………8分（3）设周期数列的周期为，则对，均有，设周期数列的最大项为，最小项为，即对，均有，………………………9分若数列满足性质：反证：假设时，取，则，使得，则，即，这对，均有矛盾，假设不成立；则对，均有；…………10分反证：假设时，取，则，使得，这与对，均有矛盾，假设不成立，即对，均有；综上所述：对，均有，…………12分反证：假设1为数列中的项，由（2）可得：为数列中的项，∵，即为数列中的项，这与对，均有相矛盾，即对，均有，同理可证：，∵，则，当时，即数列为常数列时，设，故对，都存在，使得，解得或，即或符合题意；当时，即数列至少有两个不同项，则有：①当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；②当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；③当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；综上所述：或.…………15分