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数学人教版17.1 勾股定理优秀课后练习题
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这是一份数学人教版17.1 勾股定理优秀课后练习题，文件包含8年级数学下册尖子生同步培优题典专题178勾股定理与分类讨论及方程思想教师版docx、8年级数学下册尖子生同步培优题典专题178勾股定理与分类讨论及方程思想学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
初中数学培优措施和方法
1、拓宽解题思路。数学解题不要局限于本题，而要做到举一反三、多思多想
2、细节决定成败。审题的细节、知识理解的细节、运用公式的细节、忽视检验的细节等，细节决定成败。
3、制作错题集。收集自己的错误，分门别类，没事时就翻一翻，看一看，自警一番，肯定会有很大的收获。
4、查自己欠缺的知识。关键的是做好知识准备，检查漏洞；其次是对解题常犯错误的准备
5、把好的做法形成习惯。注意书写规范，重要步骤不能丢，丢步骤等于丢分。
6、主动思考，全心投入。很多同学在听课的过程中，只是简简单单的听，不能主动思考，这样遇到实际问题时，会无从下手，不知如何应用所学的知识去解答问题。
专题17.8勾股定理与分类讨论及方程思想（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷试题共25题，选择8道、填空8道、解答9道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．选择题（共8小题）
1．若一个三角形的三边长为6，8，x，则此三角形是直角三角形时，x的值是（ ）
A．8 B．10 C．27 D．10或27
【分析】根据勾股定理的逆定理进行解答即可．
【解析】∵一个三角形的两边长分别为6、8，
∴可设第三边为x，
∵此三角形是直角三角形，
∴当x是斜边时，x2＝62+82，解得x＝10；
当8是斜边时，x2+62＝82，解得x＝27．
故选：D．
2．已知一个三角形的三边长分别为4，5，x，且此三角形是直角三角形，则x的值为（ ）
A．41 B．3 C．3或41 D．以上都不对
【分析】由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分5是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论．
【解析】∵这个直角三角形的三边长分别为4，5，x，
∴①当5是此直角三角形的斜边时，由勾股定理得到：x=52−42=3；
②当5是此直角三角形的直角边时，设斜边为x，则由勾股定理得到：x=52+42=41．
故选：C．
3．直角三角形的两条边长为5和12，它的斜边长为（ ）
A．13 B．119 C．13或119 D．13或12
【分析】只给出了两条边而没有指明是直角边还是斜边，所以应该分两种情况进行分析．一种是两边均为直角边；另一种是较长的边是斜边，根据勾股定理可得出结论．
【解析】当12是直角边时，斜边长=52+122=13．
故它的斜边长为13或12．
故选：D．
4．丽丽想知道学校旗杆的高，她发现旗杆顶端上的绳子垂直到地面还多2米，当她把绳子的下端拉开离旗杆6米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ）
A．4米 B．8米 C．10米 D．12米
【分析】据题意设旗杆的高为xm，则绳子的长为（x+2）m，再利用勾股定理即可求得绳子的长，即旗杆的高．
【解析】设旗杆的高为xm，则绳子的长为（x+2）m．
根据题意得：
x2+62＝（x+2）2，
解得x＝8．
故旗杆的高为8米．
故选：B．
5．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺．
A．10 B．12 C．13 D．14
【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【解析】设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（102）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），
答：芦苇长13尺．
故选：C．
6．如图，某校攀岩墙的顶部安装了一根安全绳，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（如图），则此攀岩墙的高度是（ ）
A．10米 B．15米 C．16米 D．17米
【分析】根据题意设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，再利用勾股定理即可求得AB的长，即攀岩墙的高．
【解析】如图：设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，
在Rt△ABC中，BC＝8米，
AB2+BC2＝AC2，
∴x2+82＝（x+2）2，
解得x＝15，
∴AB＝15．
∴攀岩墙的高15米．
故选：B．
7．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC＝25尺，BC＝5尺，则AC等于（ ）尺．
A．5 B．10 C．12 D．13
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（25﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．
【解析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（25﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+52＝（25﹣x）2．
解得：x＝12，
答：折断处离地面的高度为12尺．
故选：C．
8．如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EB的长是（ ）km
A．4 B．5 C．6 D．20
【分析】根据题意设出BE的长为xkm，再由勾股定理列出方程求解即可．
【解析】设BE＝x，则AE＝（10﹣x）km，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2，
在Rt△BCE中，
CE2＝BC2+BE2＝62+x2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：62+x2＝42+（10﹣x）2，
解得：x＝4km．
所以，EB的长是4km．
故选：A．
二．填空题（共8小题）
9．在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树20米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 15 米．
【分析】根据两只猴子所经过的距离相等，将两只猴子所走的路程表示出来，根据勾股定理列出方程求解．
【解析】如图，设树的高度为x米，因两只猴子所经过的距离相等都为30米．
由勾股定理得：x2+202＝[30﹣（x﹣10）]2，解得x＝15m．
故这棵树高15m．
10．已知直角三角形的三边长为6，8，x，则以x为边长的正方形的面积为 100或28 ．
【分析】以x为边长的正方形的面积是x2，所以只需求得x2即可．但此题应分8为直角边和为斜边两种情况考虑．
【解析】当较大的数8是直角边时，根据勾股定理，得x2＝36+64＝100；
当较大的数8是斜边时，根据勾股定理，得x2＝64﹣36＝28．
所以以x为边长的正方形的面积为100或28．
11．如图一根竹子长为16米，折断后竹子顶端落在离竹子底端8米处，折断处离地面高度是 6 米．
【分析】子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x米，则斜边为（16﹣x）米．利用勾股定理解题即可．
【解析】设竹子折断处离地面x米，则斜边为（16﹣x）米，
根据勾股定理得：x2+82＝（16﹣x）2
解得：x＝6．
∴折断处离地面高度是6米，
故答案为：6．
12．《九章算术）“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何．”其大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？若设门的宽为x尺，根据题意列出的方程 x2+（x+6.8）2＝102 ．（注：1丈＝10尺，1尺＝10寸）
【分析】设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，根据勾股定理即可列方程求解．
【解析】设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，
根据题意得x2+（x+6.8）2＝102，
解得：x＝2.8或﹣9.6（舍去）．
则宽是6.8+2.8＝9.6（尺）．
答：门的高是9.6尺，宽是2.8尺．
故答案为：x2+（x+6.8）2＝102．
13．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′（示意图如图，则水深为 12 尺．
【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为10尺，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【解析】依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，
因为B'E＝10尺，所以B'C＝5尺
在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，
解之得x＝13，
即水深12尺，芦苇长13尺．
故答案为：12．
14．如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（MA）为3km，在公路上有一车站（点N），车站距商场（NM）为4km，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点P），要求停靠站到商场与到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（NP）的长为 877km ．
【分析】直接利用勾股定理得出AN的长，再利用勾股定理得出NP的长．
【解析】连接MP，根据题意可得：MP＝NP，
则在Rt△MNA中，
MN2＝AM2+AN2，
则42＝32+AN2，
解得：AN=7，
设NP＝x，则AP=7−x，
则在Rt△MPA中，
MP2＝AM2+AP2，
x2＝32+（7−x）2，
解得：x=877，
故答案为：877km．
15．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（1丈＝10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为 4.55尺 ．
【分析】设折断后的竹子的高为x尺，根据勾股定理列出方程求解即可．
【解析】设折断后的竹子高AC为x尺，则AB长为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：
AC2+BC2＝AB2，
即：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
故答案为：4.55尺．
16．《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题：
“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）
设木杆长x尺，依题意，列方程是 102+（x﹣1）2＝x2 ．
【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有（x﹣1）尺，根据勾股定理可列出方程．
【解析】如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x﹣1）尺，
在Rt△ABC中，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴102+（x﹣1）2＝x2，
故答案为：102+（x﹣1）2＝x2．
三．解答题（共9小题）
17．如图，△ABC中AB＝13，BC＝14，AC＝15，BC边上高为AD，求△ABC的面积．
【分析】AD为高，那么题中有两个直角三角形．AD在这两个直角三角形中，设BD为未知数，可利用勾股定理都表示出AD长．求得BD长，再根据勾股定理求得AD长，进而求出三角形的面积．
【解析】设BD＝x，则CD＝14﹣x，在Rt△ABD中，AD2+x2＝132，
在Rt△ADC中，AD2＝152﹣（14﹣x）2，
所以有132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，
132﹣x2＝152﹣196+28x﹣x2，
解得x＝5，
在Rt△ABD中，AD=132−52=12，
所以△ABC的面积=12×12×14＝84．
18．△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高AD长为12．求BC的长．
【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD，在钝角三角形中，BC＝CD﹣BD．
【解析】分两种情况：
（1）如图，锐角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中，AB＝13，AD＝12，由勾股定理得
BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，
∴BD＝5，
在Rt△ACD中，AC＝15，AD＝12，由勾股定理得
CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，
∴CD＝9，
∴BC的长为BD+DC＝5+9＝14；
（2）钝角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得
BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，
∴BD＝5，
在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得
CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，
∴CD＝9，
∴BC的长为DC﹣BD＝9﹣5＝4．
综上，BC的长为14或4．
19．如图，在一棵树的10米高B处有三只猴子，第一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处，第二只猴子直接从B处跃到A处，第三只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，假设其中两只猴子所经过的距离相等．
（1）求第二只猴子经过的直线距离；
（2）求这棵树的高度．
【分析】（1）直接利用勾股定理求得线段BA的长即可；
（2）由题意知AD+DB＝BC+CA，设BD＝x，则AD＝30﹣x，且在直角△ACD中，CD2+CA2＝AD2，代入勾股定理公式中即可求x的值，树高CD＝10+x．
【解析】（1）由题意知：在Rt△ABC中，BC＝10米，AC＝20米，
由勾股定理得：BA=BC2+AC2=102+202=105．
故第二只猴子经过的直线距离是105米；
（2）由题意知AD+DB＝BC+CA，且CA＝20米，BC＝10米，
设BD＝x，则AD＝30﹣x，
∵在Rt△ACD中：CD2+CA2＝AD2，
即（30﹣x）2＝（10+x）2+202，
解得x＝5米，
故树高为CD＝10+x＝15米．
答：树高为15米．
20．铁路上A，B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，请画出E点位置（要求尺规作图，保留作图痕迹）并求出E站应建在离A站多少千米处？
【分析】直接利用垂直平分线的作法得出符合题意的图形，再利用垂直平分线的性质结合勾股定理得出答案．
【解析】如图所示：点E即为所求；
∵AD＝15km，BC＝10km，AB＝25km，
∴设AE＝xkm，则EB＝（25﹣x）km，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，
∴x2+152＝（25﹣x）2+102，
解得：x＝10，
答：收购站E离A点的距离为10km．
21．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等．
（1）E站应建在A站多少km处？
（2）求两村与土特产品收购站围成的三角形的面积．
【分析】（1）根据使得C，D两村到E站的距离相等，需要证明DE＝CE，再根据△DAE≌△EBC，得出AE＝BC＝10km；
（2）利用△DAE≌△EBC，得出∠DEC＝90°，利用直角三角形面积求法得出答案．
【解析】（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE＝CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，
设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），
∵DA＝15km，CB＝10km，
∴x2+152＝（25﹣x）2+102，
解得：x＝10，
∴AE＝10km，
（2）∵△DAE≌△EBC，
∴∠DEA＝∠ECB，∠ADE＝∠CEB，
∠DEA+∠D＝90°，
∴∠DEA+∠CEB＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∵DE=152+102=513，
∴两村与土特产品收购站围成的三角形的面积为：12×DE×EC=3252平方千米．
22．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得：
（1）①若C、D两村到E站的距离相等，则E站应建立在离A站多少km处？
②若E站到C、D站的距离之和最短，则E站应建立在离A站多少km处？
（2）受（1）小题第②问启发，你能否解决以下问题：正数a、b满足条件a+b＝5，且s=a2+16+b2+9，则s的最小值＝ 74 ．
【分析】（1）①根据C、D两村到E站的距离相等，利用对称性即可求出E站离A站的距离；
②根据E站到C、D站的距离之和最短，利用两点之间线段最短即可求出E站离A站的距离；
（2）受（1）小题第②问启发，根据正数a、b满足条件a+b＝5，且s=a2+16+b2+9，利用两点之间线段最短即可求出s的最小值．
【解析】（1）①设AE＝xkm，则BE＝（25﹣x）km，
在Rt△DAE中，DE2＝DA2+AE2＝225+x2
在Rt△CBE中，CE2＝BE2+BC2＝（25﹣x）2+100，
∵DE2＝CE2，
∴x＝10，
∴AE＝10km．
答：E站应建立在离A站10km处；
②“将军饮马”问题，作点D关于AB的对称点D′，
连接CD′交AB于点E′，
即E′站到C、D站的距离之和最短，
过点D′作D′F⊥CB的延长线于点F，
则∠F＝90°，D′F＝AB＝25，
CF＝CB+BF＝CB+AD′＝CB+AD＝25，
∴D′F＝CF，
∴CD′=252+252=252．
E′C+E′D的最小值即为CD′，
此时∠BCE′＝45°，
∴∠AE′D′＝∠CE′B＝45°，
∴∠AD′E′＝∠ADE′＝45°，
∴AE′＝AD＝15km．
答：E站应建立在离A站15km处；
（2）同（1）②的方法：
s=a2+16+b2+9=(a−0)2+(0−4)2+(a−5)2+(0−3)2，
则s表示点（a，0）到（0，4）和（5，3）距离之和的最小值，
∴s的最小值=52+72=74．
故答案为：74．
23．铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E．
（1）在图a中，若EC＝ED，则E站应修建在离A站多少千米处．
（2）在图b中，若EC+ED值最小，则E点应建在哪里，请求出这个最小值．
【分析】（1）AE＝BC＝10km，证△ADE≌△BEC即可得DE＝CE．
（2）由题意知，点E是点C关于AB的对称点与点D的连线与AB轴的交点，利用勾股定理求解可得．
【解析】（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE＝CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，
设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），
∵DA＝15km，CB＝10km，
∴x2+152＝（25﹣x）2+102，
解得：x＝10，
∴AE＝10km，
∴收购站E应建在离A点10km处；
（2）如图b，作点C关于AB的对称点F，连接DF交AB于点E，点E即为所求；
∴BF＝BC＝10，EF＝EC，
则DE+EF＝DE+CE＝DF，
此时，EC+ED值最小，
∵∠FBE＝∠A＝90°，∴252+252=252，
∴E点应建在距A15km处，EC+ED的最小值是252．
24．某校机器人兴趣小组在如图所示的三角形场地上开展训练．已知：AB＝10，BC＝6，AC＝8；机器人从点C出发，沿着△ABC边按C→B→A→C的方向匀速移动到点C停止；机器人移动速度为每秒2个单位，移动至拐角处调整方向需要1秒（即在B、A处拐弯时分别用时1秒）．设机器人所用时间为t秒时，其所在位置用点P表示（机器人大小不计）．
（1）点C到AB边的距离是 4.8 ；
（2）是否存在这样的时刻，使△PBC为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积公式解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质分四种情况解答即可．
【解析】（1）∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∵62+82＝102，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴点C到AB边的距离=BC⋅ACAB=6×810=4.8；
（2）使△PBC为等腰三角形时，P在AB上时，
①BC＝BP，
∵BP＝2（t﹣1）﹣6，
∴2（t﹣1）﹣6＝6，
解得：t＝7（s）；
②CB＝CP，
可得：(245)2+(t−4)2=62，
解得：t＝7.6（s）；
③PB＝CP，
2t﹣8=12×10，
解得：t＝6.5（s）；
当P在AC上，CB＝CP，
8﹣[2（t﹣2）﹣16]＝6，
解得：t＝11（s）．
综上所述，t的值为7或7.6或6.5或11秒．
故答案为：（1）4.8．
25．学校校内有一块如图所示的三角形空地ABC，其中AB＝13米，BC＝14米，AC＝15米，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝x，则CD＝14﹣x，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出AD的长，由三角形的面积公式即可得出结论．
【解析】过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝x，则CD＝14﹣x，
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
∵AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，解得x＝5，
∴AD2＝AB2﹣BD2＝132﹣52＝144，
∴AD＝12（米），
∴学校修建这个花园的费用=12×14×12×60=5040（元）．
答：学校修建这个花园需要投资5040元．
初中数学培优措施和方法
1、拓宽解题思路。数学解题不要局限于本题，而要做到举一反三、多思多想
2、细节决定成败。审题的细节、知识理解的细节、运用公式的细节、忽视检验的细节等，细节决定成败。
3、制作错题集。收集自己的错误，分门别类，没事时就翻一翻，看一看，自警一番，肯定会有很大的收获。
4、查自己欠缺的知识。关键的是做好知识准备，检查漏洞；其次是对解题常犯错误的准备
5、把好的做法形成习惯。注意书写规范，重要步骤不能丢，丢步骤等于丢分。
6、主动思考，全心投入。很多同学在听课的过程中，只是简简单单的听，不能主动思考，这样遇到实际问题时，会无从下手，不知如何应用所学的知识去解答问题。
专题17.8勾股定理与分类讨论及方程思想（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷试题共25题，选择8道、填空8道、解答9道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．选择题（共8小题）
1．若一个三角形的三边长为6，8，x，则此三角形是直角三角形时，x的值是（ ）
A．8 B．10 C．27 D．10或27
【分析】根据勾股定理的逆定理进行解答即可．
【解析】∵一个三角形的两边长分别为6、8，
∴可设第三边为x，
∵此三角形是直角三角形，
∴当x是斜边时，x2＝62+82，解得x＝10；
当8是斜边时，x2+62＝82，解得x＝27．
故选：D．
2．已知一个三角形的三边长分别为4，5，x，且此三角形是直角三角形，则x的值为（ ）
A．41 B．3 C．3或41 D．以上都不对
【分析】由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分5是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论．
【解析】∵这个直角三角形的三边长分别为4，5，x，
∴①当5是此直角三角形的斜边时，由勾股定理得到：x=52−42=3；
②当5是此直角三角形的直角边时，设斜边为x，则由勾股定理得到：x=52+42=41．
故选：C．
3．直角三角形的两条边长为5和12，它的斜边长为（ ）
A．13 B．119 C．13或119 D．13或12
【分析】只给出了两条边而没有指明是直角边还是斜边，所以应该分两种情况进行分析．一种是两边均为直角边；另一种是较长的边是斜边，根据勾股定理可得出结论．
【解析】当12是直角边时，斜边长=52+122=13．
故它的斜边长为13或12．
故选：D．
4．丽丽想知道学校旗杆的高，她发现旗杆顶端上的绳子垂直到地面还多2米，当她把绳子的下端拉开离旗杆6米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ）
A．4米 B．8米 C．10米 D．12米
【分析】据题意设旗杆的高为xm，则绳子的长为（x+2）m，再利用勾股定理即可求得绳子的长，即旗杆的高．
【解析】设旗杆的高为xm，则绳子的长为（x+2）m．
根据题意得：
x2+62＝（x+2）2，
解得x＝8．
故旗杆的高为8米．
故选：B．
5．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺．
A．10 B．12 C．13 D．14
【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【解析】设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（102）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），
答：芦苇长13尺．
故选：C．
6．如图，某校攀岩墙的顶部安装了一根安全绳，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（如图），则此攀岩墙的高度是（ ）
A．10米 B．15米 C．16米 D．17米
【分析】根据题意设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，再利用勾股定理即可求得AB的长，即攀岩墙的高．
【解析】如图：设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，
在Rt△ABC中，BC＝8米，
AB2+BC2＝AC2，
∴x2+82＝（x+2）2，
解得x＝15，
∴AB＝15．
∴攀岩墙的高15米．
故选：B．
7．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC＝25尺，BC＝5尺，则AC等于（ ）尺．
A．5 B．10 C．12 D．13
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（25﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．
【解析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（25﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+52＝（25﹣x）2．
解得：x＝12，
答：折断处离地面的高度为12尺．
故选：C．
8．如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EB的长是（ ）km
A．4 B．5 C．6 D．20
【分析】根据题意设出BE的长为xkm，再由勾股定理列出方程求解即可．
【解析】设BE＝x，则AE＝（10﹣x）km，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2，
在Rt△BCE中，
CE2＝BC2+BE2＝62+x2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：62+x2＝42+（10﹣x）2，
解得：x＝4km．
所以，EB的长是4km．
故选：A．
二．填空题（共8小题）
9．在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树20米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 15 米．
【分析】根据两只猴子所经过的距离相等，将两只猴子所走的路程表示出来，根据勾股定理列出方程求解．
【解析】如图，设树的高度为x米，因两只猴子所经过的距离相等都为30米．
由勾股定理得：x2+202＝[30﹣（x﹣10）]2，解得x＝15m．
故这棵树高15m．
10．已知直角三角形的三边长为6，8，x，则以x为边长的正方形的面积为 100或28 ．
【分析】以x为边长的正方形的面积是x2，所以只需求得x2即可．但此题应分8为直角边和为斜边两种情况考虑．
【解析】当较大的数8是直角边时，根据勾股定理，得x2＝36+64＝100；
当较大的数8是斜边时，根据勾股定理，得x2＝64﹣36＝28．
所以以x为边长的正方形的面积为100或28．
11．如图一根竹子长为16米，折断后竹子顶端落在离竹子底端8米处，折断处离地面高度是 6 米．
【分析】子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x米，则斜边为（16﹣x）米．利用勾股定理解题即可．
【解析】设竹子折断处离地面x米，则斜边为（16﹣x）米，
根据勾股定理得：x2+82＝（16﹣x）2
解得：x＝6．
∴折断处离地面高度是6米，
故答案为：6．
12．《九章算术）“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何．”其大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？若设门的宽为x尺，根据题意列出的方程 x2+（x+6.8）2＝102 ．（注：1丈＝10尺，1尺＝10寸）
【分析】设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，根据勾股定理即可列方程求解．
【解析】设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，
根据题意得x2+（x+6.8）2＝102，
解得：x＝2.8或﹣9.6（舍去）．
则宽是6.8+2.8＝9.6（尺）．
答：门的高是9.6尺，宽是2.8尺．
故答案为：x2+（x+6.8）2＝102．
13．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′（示意图如图，则水深为 12 尺．
【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为10尺，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【解析】依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，
因为B'E＝10尺，所以B'C＝5尺
在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，
解之得x＝13，
即水深12尺，芦苇长13尺．
故答案为：12．
14．如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（MA）为3km，在公路上有一车站（点N），车站距商场（NM）为4km，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点P），要求停靠站到商场与到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（NP）的长为 877km ．
【分析】直接利用勾股定理得出AN的长，再利用勾股定理得出NP的长．
【解析】连接MP，根据题意可得：MP＝NP，
则在Rt△MNA中，
MN2＝AM2+AN2，
则42＝32+AN2，
解得：AN=7，
设NP＝x，则AP=7−x，
则在Rt△MPA中，
MP2＝AM2+AP2，
x2＝32+（7−x）2，
解得：x=877，
故答案为：877km．
15．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（1丈＝10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为 4.55尺 ．
【分析】设折断后的竹子的高为x尺，根据勾股定理列出方程求解即可．
【解析】设折断后的竹子高AC为x尺，则AB长为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：
AC2+BC2＝AB2，
即：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
故答案为：4.55尺．
16．《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题：
“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）
设木杆长x尺，依题意，列方程是 102+（x﹣1）2＝x2 ．
【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有（x﹣1）尺，根据勾股定理可列出方程．
【解析】如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x﹣1）尺，
在Rt△ABC中，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴102+（x﹣1）2＝x2，
故答案为：102+（x﹣1）2＝x2．
三．解答题（共9小题）
17．如图，△ABC中AB＝13，BC＝14，AC＝15，BC边上高为AD，求△ABC的面积．
【分析】AD为高，那么题中有两个直角三角形．AD在这两个直角三角形中，设BD为未知数，可利用勾股定理都表示出AD长．求得BD长，再根据勾股定理求得AD长，进而求出三角形的面积．
【解析】设BD＝x，则CD＝14﹣x，在Rt△ABD中，AD2+x2＝132，
在Rt△ADC中，AD2＝152﹣（14﹣x）2，
所以有132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，
132﹣x2＝152﹣196+28x﹣x2，
解得x＝5，
在Rt△ABD中，AD=132−52=12，
所以△ABC的面积=12×12×14＝84．
18．△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高AD长为12．求BC的长．
【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD，在钝角三角形中，BC＝CD﹣BD．
【解析】分两种情况：
（1）如图，锐角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中，AB＝13，AD＝12，由勾股定理得
BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，
∴BD＝5，
在Rt△ACD中，AC＝15，AD＝12，由勾股定理得
CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，
∴CD＝9，
∴BC的长为BD+DC＝5+9＝14；
（2）钝角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得
BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，
∴BD＝5，
在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得
CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，
∴CD＝9，
∴BC的长为DC﹣BD＝9﹣5＝4．
综上，BC的长为14或4．
19．如图，在一棵树的10米高B处有三只猴子，第一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处，第二只猴子直接从B处跃到A处，第三只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，假设其中两只猴子所经过的距离相等．
（1）求第二只猴子经过的直线距离；
（2）求这棵树的高度．
【分析】（1）直接利用勾股定理求得线段BA的长即可；
（2）由题意知AD+DB＝BC+CA，设BD＝x，则AD＝30﹣x，且在直角△ACD中，CD2+CA2＝AD2，代入勾股定理公式中即可求x的值，树高CD＝10+x．
【解析】（1）由题意知：在Rt△ABC中，BC＝10米，AC＝20米，
由勾股定理得：BA=BC2+AC2=102+202=105．
故第二只猴子经过的直线距离是105米；
（2）由题意知AD+DB＝BC+CA，且CA＝20米，BC＝10米，
设BD＝x，则AD＝30﹣x，
∵在Rt△ACD中：CD2+CA2＝AD2，
即（30﹣x）2＝（10+x）2+202，
解得x＝5米，
故树高为CD＝10+x＝15米．
答：树高为15米．
20．铁路上A，B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，请画出E点位置（要求尺规作图，保留作图痕迹）并求出E站应建在离A站多少千米处？
【分析】直接利用垂直平分线的作法得出符合题意的图形，再利用垂直平分线的性质结合勾股定理得出答案．
【解析】如图所示：点E即为所求；
∵AD＝15km，BC＝10km，AB＝25km，
∴设AE＝xkm，则EB＝（25﹣x）km，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，
∴x2+152＝（25﹣x）2+102，
解得：x＝10，
答：收购站E离A点的距离为10km．
21．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等．
（1）E站应建在A站多少km处？
（2）求两村与土特产品收购站围成的三角形的面积．
【分析】（1）根据使得C，D两村到E站的距离相等，需要证明DE＝CE，再根据△DAE≌△EBC，得出AE＝BC＝10km；
（2）利用△DAE≌△EBC，得出∠DEC＝90°，利用直角三角形面积求法得出答案．
【解析】（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE＝CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，
设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），
∵DA＝15km，CB＝10km，
∴x2+152＝（25﹣x）2+102，
解得：x＝10，
∴AE＝10km，
（2）∵△DAE≌△EBC，
∴∠DEA＝∠ECB，∠ADE＝∠CEB，
∠DEA+∠D＝90°，
∴∠DEA+∠CEB＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∵DE=152+102=513，
∴两村与土特产品收购站围成的三角形的面积为：12×DE×EC=3252平方千米．
22．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得：
（1）①若C、D两村到E站的距离相等，则E站应建立在离A站多少km处？
②若E站到C、D站的距离之和最短，则E站应建立在离A站多少km处？
（2）受（1）小题第②问启发，你能否解决以下问题：正数a、b满足条件a+b＝5，且s=a2+16+b2+9，则s的最小值＝ 74 ．
【分析】（1）①根据C、D两村到E站的距离相等，利用对称性即可求出E站离A站的距离；
②根据E站到C、D站的距离之和最短，利用两点之间线段最短即可求出E站离A站的距离；
（2）受（1）小题第②问启发，根据正数a、b满足条件a+b＝5，且s=a2+16+b2+9，利用两点之间线段最短即可求出s的最小值．
【解析】（1）①设AE＝xkm，则BE＝（25﹣x）km，
在Rt△DAE中，DE2＝DA2+AE2＝225+x2
在Rt△CBE中，CE2＝BE2+BC2＝（25﹣x）2+100，
∵DE2＝CE2，
∴x＝10，
∴AE＝10km．
答：E站应建立在离A站10km处；
②“将军饮马”问题，作点D关于AB的对称点D′，
连接CD′交AB于点E′，
即E′站到C、D站的距离之和最短，
过点D′作D′F⊥CB的延长线于点F，
则∠F＝90°，D′F＝AB＝25，
CF＝CB+BF＝CB+AD′＝CB+AD＝25，
∴D′F＝CF，
∴CD′=252+252=252．
E′C+E′D的最小值即为CD′，
此时∠BCE′＝45°，
∴∠AE′D′＝∠CE′B＝45°，
∴∠AD′E′＝∠ADE′＝45°，
∴AE′＝AD＝15km．
答：E站应建立在离A站15km处；
（2）同（1）②的方法：
s=a2+16+b2+9=(a−0)2+(0−4)2+(a−5)2+(0−3)2，
则s表示点（a，0）到（0，4）和（5，3）距离之和的最小值，
∴s的最小值=52+72=74．
故答案为：74．
23．铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E．
（1）在图a中，若EC＝ED，则E站应修建在离A站多少千米处．
（2）在图b中，若EC+ED值最小，则E点应建在哪里，请求出这个最小值．
【分析】（1）AE＝BC＝10km，证△ADE≌△BEC即可得DE＝CE．
（2）由题意知，点E是点C关于AB的对称点与点D的连线与AB轴的交点，利用勾股定理求解可得．
【解析】（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE＝CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，
设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），
∵DA＝15km，CB＝10km，
∴x2+152＝（25﹣x）2+102，
解得：x＝10，
∴AE＝10km，
∴收购站E应建在离A点10km处；
（2）如图b，作点C关于AB的对称点F，连接DF交AB于点E，点E即为所求；
∴BF＝BC＝10，EF＝EC，
则DE+EF＝DE+CE＝DF，
此时，EC+ED值最小，
∵∠FBE＝∠A＝90°，∴252+252=252，
∴E点应建在距A15km处，EC+ED的最小值是252．
24．某校机器人兴趣小组在如图所示的三角形场地上开展训练．已知：AB＝10，BC＝6，AC＝8；机器人从点C出发，沿着△ABC边按C→B→A→C的方向匀速移动到点C停止；机器人移动速度为每秒2个单位，移动至拐角处调整方向需要1秒（即在B、A处拐弯时分别用时1秒）．设机器人所用时间为t秒时，其所在位置用点P表示（机器人大小不计）．
（1）点C到AB边的距离是 4.8 ；
（2）是否存在这样的时刻，使△PBC为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积公式解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质分四种情况解答即可．
【解析】（1）∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∵62+82＝102，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴点C到AB边的距离=BC⋅ACAB=6×810=4.8；
（2）使△PBC为等腰三角形时，P在AB上时，
①BC＝BP，
∵BP＝2（t﹣1）﹣6，
∴2（t﹣1）﹣6＝6，
解得：t＝7（s）；
②CB＝CP，
可得：(245)2+(t−4)2=62，
解得：t＝7.6（s）；
③PB＝CP，
2t﹣8=12×10，
解得：t＝6.5（s）；
当P在AC上，CB＝CP，
8﹣[2（t﹣2）﹣16]＝6，
解得：t＝11（s）．
综上所述，t的值为7或7.6或6.5或11秒．
故答案为：（1）4.8．
25．学校校内有一块如图所示的三角形空地ABC，其中AB＝13米，BC＝14米，AC＝15米，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝x，则CD＝14﹣x，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出AD的长，由三角形的面积公式即可得出结论．
【解析】过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝x，则CD＝14﹣x，
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
∵AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，解得x＝5，
∴AD2＝AB2﹣BD2＝132﹣52＝144，
∴AD＝12（米），
∴学校修建这个花园的费用=12×14×12×60=5040（元）．
答：学校修建这个花园需要投资5040元．
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