新高考数学一轮复习《平面向量小题综合练》课时练习(2份打包，教师版+原卷版)

新高考数学一轮复习

《平面向量小题综合练》课时练习

一              、选择题

1.已知a＝(3，﹣2)，b＝(﹣2,1)，c＝(7，﹣4)，则(　　)

A.c＝a＋2b        B.c＝a﹣2b     C.c＝2b﹣a        D.c＝2a﹣b

【答案解析】答案为：B.

2.在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1,2)，a﹣b＝(3,1)，c＝(x,3)，若(2a＋b)∥c，则x等于(　　)

A.﹣2          B.﹣4         C.﹣3        D.﹣1

【答案解析】答案为：D

解析：∵a﹣b＝(3,1)，a＝(1,2)，∴a﹣(3,1)＝b，解得b＝(﹣4,2).

∴2a＋b＝(﹣2,6).又(2a＋b)∥c，∴﹣6＝6x，解得x＝﹣1.

3.在平行四边形ABCD中，AB＝2BC＝2，M是CD的中点.若·＝3，则∠BAD等于(　　)

A.          B.          C.          D.

【答案解析】答案为：B

解析：·＝(＋)·＝·＋||2＝1×2×cos∠BAD＋×4＝3.∴cos∠BAD＝，∵∠BAD∈(0，π)，∴∠BAD＝.

4.已知平面向量a，b满足b＝(，1)，|2a﹣b|＝1，则|a|的取值范围为(　　)

A.[,]        B.(1,3)      C.[,]        D.(2,4)

【答案解析】答案为：C

解析：由已知可得|b|＝＝2，∵a＝(2a﹣b)＋b，∴由三角不等式可得||b|﹣|a﹣b||≤|a|≤|b|＋|a﹣b|，即≤|a|≤.

5.向量a与向量b的向量积仍是向量，记作a×b，它的模是|a×b|＝|a||b|sin 〈a，b〉，则(a×b)2＋(a·b)2等于(　　)

A.a2·b2        B.a·b        C.a4·b4        D.0

【答案解析】答案为：A.

解析：(a×b)2＋(a·b)2＝a2·b2sin 2〈a，b〉＋a2·b2cos2〈a·b〉＝a2·b2(sin 2〈a，b〉＋cos2〈a，b〉)＝a2·b2.

6.已知点P是△ABC所在平面内一点，且＋＋＝0，则(　　)

A.＝﹣＋      B.＝＋

C.＝﹣﹣      D.＝﹣

【答案解析】答案为：D.

解析：由题意得，＋＋＝0，所以＋(﹣)＋(﹣)＝0，∴＋(﹣)＋(﹣﹣)＝0，∴3＋＋﹣＝0，∴3＝2﹣，∴＝﹣.

7.在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，有以下结论：①存在满足条件的△ABC，使得·＝0；②存在满足条件的△ABC，使得∥(＋).下列说法正确的是(　　)

A.①成立，②成立          B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立        D.①不成立，②不成立

【答案解析】答案为：B.

解析：如图，以D为坐标原点，DC所在直线为x轴建立平面直角坐标系.不妨设A(2x，2y)(xy≠0)，B(﹣1,0)，C(1,0)，则D(0,0)，

E(x，y).①＝(﹣1﹣2x，﹣2y)，＝(x﹣1，y)，若·＝0，则(﹣1﹣2x)(x﹣1)﹣2y2＝0，∴﹣(2x＋1)(x﹣1)＝2y2，满足条件的x，y明显存在，∴①成立；②记AB的中点为F，连接CF，则＋＝2.记CF与AD的交点为G，则G为△ABC的重心，∴G为AD的三等分点.又E为AD的中点，∴与不平行，故②不成立.

8.已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝AC＝4，S是平面ABC内一点，则·(＋)的最小值为(　　)

A.﹣4         B.4          C.6         D.﹣6

【答案解析】答案为：A

解析：如图建立坐标系，

则A(0,2)，B(﹣2，0)，C(2，0)，设S(x，y)，∵＝(﹣x,2﹣y)，＋＝(﹣2﹣x，﹣y)＋(2﹣x，﹣y)＝(﹣2x，﹣2y)，∴·(＋)＝2x2＋2y2﹣4y＝2x2＋2(y﹣)2﹣4≥﹣4，当且仅当x＝0，y＝时取等号，∴·(＋)的最小值为﹣4.

9.如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若=m＋n，则m＋n的取值范围是(　　)

A．(0,1)        B．(1，＋∞)       C．(－∞，－1)       D．(－1,0)

【答案解析】答案为：D；

解析：由点D是圆O外一点，可设=λ (λ>1)，则=＋λ=λ＋(1－λ).

又C，O，D三点共线，令=－μ (μ>1)，则=－－· (λ>1，μ>1)，

所以m=－，n=－，则m＋n=－－=－∈(－1,0)．

10.已知△ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足=λ，=(1－λ)，λ∈R.

若·=－，则λ=(　　)

A.        B.          C.　        D.

【答案解析】答案为：A

解析：∵=－=(1－λ)－，=－=λ－，

又·=－，||=||=2，A=60°，·=||·||cos 60°=2，

∴[(1－λ)－]·(λ－)=－，

即λ||2＋(λ2－λ－1)·＋(1－λ)||2=，

所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)=，解得λ=.

二              、多选题

11. (多选)已知向量a＝(，1)，b＝(t，)，则下列说法正确的是(　　)

A.若a∥b，则t＝3

B.若a⊥b，则t＝﹣1

C.若a与b的夹角为120°，则t＝0或t＝﹣3

D.若a与b的夹角为锐角，则t>﹣1

【答案解析】答案为：AB

解析：由a∥b，得×﹣1×t＝0⇒t＝3，故A正确；由a⊥b，得t＋1×＝0⇒t＝﹣1，故B正确；当a与b的夹角为120°时，cos 120°＝＝﹣，即t2＋3t＝0，解得t＝0或t＝﹣3.代入验证t＝0为增根，则t＝0舍去，故t＝﹣3，故C错误；当a与b的夹角为锐角时，有则解得t>﹣1且t≠3，故D错误.

12. (多选)已知P为△ABC所在平面内一点，则下列正确的是(　　)

A.若＋3＋2＝0，则点P在△ABC的中位线上

B.若＋＋＝0，则P为△ABC的重心

C.若·>0，则△ABC为锐角三角形

D.若＝＋，则△ABC与△ABP的面积比为3∶2

【答案解析】答案为：ABD.

解析：对于A，设AB的中点为D，BC的中点为E，∵＋3＋2＝0，∴＋＝﹣2(＋)，∴2＝﹣4，即＝2，∴P，D，E三点共线，又DE为△ABC的中位线，∴点P在△ABC的中位线上，A正确；

对于B，设AB的中点为D，由＋＋＝0，得＋＝﹣＝，又＋＝2，

∴＝2，∴P在中线CD上，且＝2，∴P为△ABC的重心，B正确；

对于C，∵·>0，∴与夹角为锐角，即A为锐角，但此时B，C有可能是直角或钝角，故无法说明△ABC为锐角三角形，C错误；

对于D，∵＝＋，∴P为线段BC上靠近C的三等分点，即＝，∴S△ABC∶S△ABP＝BC∶BP＝3∶2，D正确.

三              、填空题

13.已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a﹣b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________.

【答案解析】答案为：,6.

解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ，因为|a|＝，|b|＝2，且(a﹣b)⊥a，所以(a﹣b)·a＝|a|2﹣a·b＝|a|2﹣|a||b|·cos θ＝3﹣2cos θ＝0，解得cos θ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝，则a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cos θ＝3＋2×＝6.

14.已知m，n均为正数，a＝(1，m)，b＝(2,1﹣n)，且a∥b，则＋的最小值为________.

【答案解析】答案为：4

解析：因为a＝(1，m)，b＝(2,1﹣n)，且a∥b，所以2m＝1﹣n，即2m＋n＝1，因为m，n均为正数，所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当m＝n＝时取得最小值.

15.已知平面单位向量e1，e2满足|2e1﹣e2|≤，设a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，向量a，b的夹角为θ，则cos2θ的最小值是________.

【答案解析】答案为：.

解析：设e1＝(1,0)，e2＝(x，y)，则a＝(x＋1，y)，b＝(x＋3，y).由2e1﹣e2＝(2﹣x，﹣y)，故|2e1﹣e2|＝≤，得(x﹣2)2＋y2≤2.又有x2＋y2＝1，得(x﹣2)2＋1﹣x2≤2，化简，得4x≥3，即x≥，因此≤x≤1.cos2θ＝2＝2＝＝＝＝﹣，当x＝时，cos2θ有最小值，为.

16.在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则·的取值范围是________．

【答案解析】答案为：[1,4]；

解析：由题意设BM=k，CN=2k(0≤k≤1)，由=＋，=＋知，

·=(＋)·(＋)=·＋·＋·＋·

=·＋·=4－3k，又0≤k≤1，所以1≤4－3k≤4，

故·的取值范围是[1,4]．