新高考数学一轮复习《二次函数与幂函数》课时练习(2份打包，教师版+原卷版)

新高考数学一轮复习

《二次函数与幂函数》课时练习

一              、选择题

1.已知函数h(x)＝4x2－kx－8在区间[5,6]上是单调函数，则k的取值范围是(　　)

A.(－∞，40)                    B.(48，＋∞)

C.(－∞，40]∪[48，＋∞)        D.[40,48]

【答案解析】答案为：C.

解析：由题意，得≤5或≥6，解得k≤40或k≥48，故k的取值范围是(－∞，40]∪[48，＋∞).

2.设函数f(x)＝mx2－mx－1，若f(x)＜0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　)

A.(－4,0)         B.(－4,0]       C.[－4,0)         D.[－4,0]

【答案解析】答案为：B.

解析：当m＝0时，f(x)＝－1＜0恒成立；当m≠0时，f(x)＜0的解集为R，

则解得－4＜m＜0.故实数m的取值范围是(－4,0].

3.已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(,)，则k＋α等于(　　)

A.         B.1        C.         D.2

【答案解析】答案为：C

解析：由幂函数的定义知k＝1，

又f()＝，所以()α＝，解得α＝，从而k＋α＝.

4.已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数m的值为(　　)

A.－2         B.－1         C.1         D.2

【答案解析】答案为：D.

解析：由题意，函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，可得m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，函数f(x)＝x2，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；当m＝－1时，函数f(x)＝x－1，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意，故m＝2.

5.若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m的值(　　)

A.与a有关，且与b有关

B.与a有关，但与b无关

C.与a无关，且与b无关

D.与a无关，但与b有关

【答案解析】答案为：B

解析：方法一　因为最值在f(0)＝b，f(1)＝1＋a＋b，f(-a)＝b－中取，所以最值之差一定与b无关，与a有关.方法二　令g(x)＝x2＋ax，则M－m＝g(x)max－g(x)min，故M－m与b无关.又当a＝1时，g(x)max－g(x)min＝2，当a＝2时，g(x)max－g(x)min＝3，故M－m与a有关.

6.已知函数f(x)＝－x2＋ax－6，g(x)＝x＋4.若对任意x1∈(0，＋∞)，存在x2∈(－∞，－1]，使f(x1)≤g(x2)，则实数a的最大值为(　　)

A.6         B.4         C.3         D.2

【答案解析】答案为：A

解析：由题意，f(x)max≤g(x)max，(*)由g(x)在(－∞，－1]上单调递增，则g(x)max＝g(－1)＝3.又f(x)＝－x2＋ax－6＝－(x-)2＋－6，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＜f(0)＝－6，显然f(x)＜g(x)max＝3.所以a≤0时，(*)恒成立.当a>0时，x＝∈(0，＋∞)，所以f(x)max＝f()＝－6.此时应有－6≤3，且a>0，解得0＜a≤6.综上可知，a≤6，则a的最大值为6.

7.对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是(　　)

A.﹣1是f(x)的零点           B.1是f(x)的极值点

C.3是f(x)的极值             D.点(2，8)在曲线y＝f(x)上

【答案解析】答案为：A；

解析：由已知得，f′(x)＝2ax＋b，则f(x)只有一个极值点，若A，B正确，则有解得b＝﹣2a，c＝﹣3a，则f(x)＝ax2﹣2ax﹣3a.由于a为非零整数，

所以f(1)＝﹣4a≠3，则C错误.而f(2)＝﹣3a≠8，则D也错误，与题意不符，

故A，B中有一个错误，C，D都正确.

若A，C，D正确，则有由①②得

代入③中并整理得9a2﹣4a＋＝0，

又a为非零整数，则9a2﹣4a为整数，故方程9a2﹣4a＋＝0无整数解，故A错误.

若B，C，D正确，则有

解得a＝5，b＝﹣10，c＝8，则f(x)＝5x2﹣10x＋8，

此时f(﹣1)＝23≠0，符合题意.故选A.

8.已知函数f(x)＝tx，g(x)＝(2﹣t)x2﹣4x＋1.若对于任意实数x，f(x)与g(x)中至少有一个为正数，则实数t的取值范围是(　　)

A.(﹣∞，﹣2)∪(0，2]　    B.(﹣2，2]     C.(﹣∞，﹣2)     D.(0，＋∞)

【答案解析】答案为：A.

解析：对于(2﹣t)x2﹣4x＋1＝0，Δ＝16﹣4(2﹣t)×1＝8＋4t.当t＝0时，f(x)＝0，Δ＞0，

g(x)有正有负，不符合题意，故排除B；

当t＝2时，f(x)＝2x，g(x)＝﹣4x＋1，符合题意，故排除C；

当t＞2时，f(x)＝tx，g(x)＝(2﹣t)x2﹣4x＋1，当x趋近于﹣∞时，f(x)与g(x)都为负值，不符合题意，故排除D，选A.

二              、多选题

9. (多选)若幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2,)，则函数f(x)具有的性质是(　　)

A.函数f(x)在定义域内是减函数

B.函数f(x)的图象过点(1,1)

C.函数f(x)是奇函数

D.函数f(x)的定义域是R

【答案解析】答案为：BC.

解析：因为幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2,)，所以＝2α，解得α＝－1，所以f(x)＝x－1＝.由反比例函数的性质，可知f(x)＝在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，所以A错误；当x＝1时，f(1)＝1，所以函数的图象过点(1,1)，所以B正确；因为f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，所以C正确；函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以D错误.

10. (多选)已知幂函数f(x)＝(n∈Z)的图象关于原点对称且在(0，＋∞)上单调递减，则n的值为(　　)

A.－1          B.0            C.1           D.2

【答案解析】答案为：BD.

解析：∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴2n2－5n－3＜0，解得－＜n＜3，又n∈Z，∴n＝0,1,2，又f(x)的图象关于原点对称，∴f(x)为奇函数.经检验n＝0,2满足题意.

11. (多选)已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，给出下列命题，其中是真命题的是(　　)

A.若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上单调递增

B.存在a∈R，使得f(x)为偶函数

C.若f(0)＝f(2)，则f(x)的图象关于x＝1对称

D.若a2－b－2>0，则函数h(x)＝f(x)－2有2个零点

【答案解析】答案为：AB.

解析：对于选项A，若a2－b≤0，则f(x)＝|(x－a)2＋b－a2|＝(x－a)2＋b－a2在区间[a，＋∞)上单调递增，故A正确；对于选项B，当a＝0时，f(x)＝|x2＋b|显然是偶函数，故B正确；对于选项C，取a＝0，b＝－2，函数f(x)＝|x2－2ax＋b|化为f(x)＝|x2－2|，满足f(0)＝f(2)，但f(x)的图象关于x＝1不对称，故C错误；对于选项D，如图，a2－b－2>0，即a2－b>2，则h(x)＝|(x－a)2＋b－a2|－2有4个零点，故D错误.

12. (多选)已知函数f(x)＝3x2－6x－1，则下列结论中正确的是(　　)

A.函数f(x)在区间(2,3)上有唯一零点

B.函数f(x)在区间(－1，＋∞)上单调递增

C.当a>1时，若f(ax)在x∈[－1,1]上的最大值为8，则a＝3

D.当0＜a＜1时，若f(ax)在x∈[－1,1]上的最大值为8，则a＝

【答案解析】答案为：ACD.

解析：因为f(x)＝3(x－1)2－4，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增.又f(2)＝－1＜0，f(3)＝8>0，所以f(x)在区间(2,3)上有唯一零点，故A正确，B错误；当a>1，x∈[－1,1]时，ax∈[,a].又>1，所以最大值为f(a)＝3a2－6a－1＝8，解得a＝3或a＝－1(舍去)，故C正确；

当0＜a＜1，x∈[－1,1]时，ax∈[,a]，同理得f()＝－－1＝8，解得a＝或a＝－1(舍去)，故D正确.

三              、填空题

13.已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时，有最大值2，则实数a的值为________.

【答案解析】答案为：－1或2.

解析：f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴为直线x＝a，图象开口向下.

当a＜0时，函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，则f(x)max＝f(0)＝1－a＝2，得a＝－1；

当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1＝2，解得a＝或a＝，均不满足；

当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a＝2.综上所述，a＝－1或a＝2.

14.已知定义在R上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝x2－ax＋1.若f(x)有4个零点，则实数a的取值范围为________.

【答案解析】答案为：(2，＋∞).

解析：因为f(x)是R上的偶函数，f(x)有4个零点，所以当x≥0时，f(x)有2个不同的零点，则解得a>2.

15.已知f(x)为幂函数，且满足＝2，若f(m－1)＜1，则实数m的取值范围是________.

【答案解析】答案为：[1,2).

解析：设f(x)＝xα，则有＝＝22α＝2，解得α＝.

∴f(x)＝，且函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∵f(m－1)＝＜1，

∴0≤m－1＜1，解得m∈[1,2).

16.若正实数a，b满足a＋b＝1，则函数f(x)＝ax2＋(3＋)x－a的零点的最大值为______.

【答案解析】答案为：.

解析：设f(x)＝ax2＋(3＋)x－a的零点为x1，x2，且x1＜x2，

则x2＝，令t＝＋＝，0＜b＜1，

求导得t′＝，所以当0＜b＜时，t′＜0，函数t单调递减；

当＜b＜1时，t′>0，函数t单调递增，所以当b＝时，t取得最小值9，所以t≥9，

所以x2＝＝＝在t∈[9，＋∞)上单调递减，所以当t＝9，即a＝，b＝时，x2取得最大值.