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(新高考)高考数学一轮复习讲练测 第3章 第4讲 二次函数与幂函数 (2份打包，原卷版+教师版)
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第4讲 二次函数与幂函数
一、知识梳理
1.幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数.常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x﹣1.
(2)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：f(x)＝a(x﹣m)2＋n(a≠0)；
③零点式：f(x)＝a(x﹣x1)(x﹣x2)(a≠0).
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(﹣∞，＋∞)
(﹣∞，＋∞)
值域
[,+∞)
(﹣∞,]
单调性
在(﹣∞,﹣)上单调递减；
在[﹣,+∞)上单调递增
在(﹣∞,﹣)上单调递增；
在[﹣,+∞)上单调递减
奇偶性
当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点
(﹣，)
对称性
图象关于直线x＝﹣成轴对称图形
常用结论
1.巧识幂函数的图象和性质
2.记牢一元二次不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是
二、教材衍化
1.已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(，)，则k＋α＝________.
解析：因为函数f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1，又函数f(x)的图象过点(，)，
所以()α＝，解得α＝，则k＋α＝.
答案：
2.函数g(x)＝x2﹣2x(x∈[0，3])的值域为________.
解析：由g(x)＝x2﹣2x＝(x﹣1)2﹣1，x∈[0，3]，得g(x)在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数.所以g(x)min＝g(1)＝﹣1，而g(0)＝0，g(3)＝3.所以g(x)的值域为[﹣1，3].
答案：[﹣1，3]
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x是幂函数.( )
(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数.( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数.( )
(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.( )
(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×
二、易错纠偏
常见误区(1)幂函数定义不清晰，导致出错；
(2)二次函数的性质理解不到位出错；
(3)忽视对二次函数的二次项系数的讨论出错.
1.已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2,)，则此函数的解析式为________；在区间________上递减.
解析：设y＝f(x)＝xα，因为图象过点(2,)，代入解析式得α＝﹣，则y＝x﹣，
由性质可知函数y＝x﹣在(0，＋∞)上递减.
答案：y＝x﹣ (0，＋∞)
2.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[﹣4，6]上是单调函数，则实数a的取值范围为________.
解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝﹣a，所以要使f(x)在[﹣4，6]上是单调函数，应有﹣a≤﹣4或﹣a≥6，即a≤﹣6或a≥4.
答案：(﹣∞，﹣6]∪[4，＋∞)
3.已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是________.
解析：因为函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，所以解得a>.
答案：(,+∞).
考点一 幂函数的图象及性质(基础型)
复习指导通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况.
核心素养：数学抽象
1.已知点(，)在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数
解析：选A.设f(x)＝xα，由已知得()α＝，解得α＝﹣1，
因此f(x)＝x﹣1，易知该函数为奇函数.
2.已知a＝3，b＝4，c＝12，则a，b，c的大小关系为( )
A.b
3.若幂函数y＝x﹣1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为( )
A.﹣1
解析：易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，
所以解得﹣1≤a<.
答案：[﹣1，)
幂函数的性质与图象特征的关系
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.
(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断.
(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.
考点二 二次函数的解析式(基础型)
理解二次函数的定义，图象及性质.能够求解简单的二次函数的解析式.
核心素养：数学运算
(一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝﹣1，f(﹣1)＝﹣1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式.
【解】 法一(利用一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).由题意得
解得
所以所求二次函数的解析式为f(x)＝﹣4x2＋4x＋7.
法二(利用顶点式)：
设f(x)＝a(x﹣m)2＋n(a≠0).因为f(2)＝f(﹣1)，f(﹣1)＝﹣1，
所以抛物线的对称轴为x＝＝.所以m＝.
又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝a(x﹣)2＋8.因为f(2)＝﹣1，
所以a(2﹣)2＋8＝﹣1，解得a＝﹣4，所以f(x)＝﹣4(x﹣)2＋8＝﹣4x2＋4x＋7.
法三(利用零点式)：
由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣1，
故可设f(x)＋1＝a(x﹣2)(x＋1)，即f(x)＝ax2﹣ax﹣2a﹣1.
又函数有最大值8，即＝8.解得a＝﹣4或a＝0(舍去)，
所以所求函数的解析式为f(x)＝﹣4x2＋4x＋7.
求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：
1.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象过点P(﹣1，11)，且其对称轴是直线x＝1，则a＋b的值是( )
A.﹣2 B.0 C.1 D.2
解析：选A.因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象的对称轴是直线x＝1，所以﹣＝1 ①.又f(﹣1)＝a﹣b＋5＝11，所以a﹣b＝6 ②.联立①②，解得a＝2，b＝﹣4，所以a＋b＝﹣2，故选A.
2.已知二次函数f(x)有两个零点0和﹣2，且它有最小值﹣1，则f(x)的解析式为f(x)＝________.
解析：由二次函数f(x)有两个零点0和﹣2，可设f(x)＝a(x＋2)x，则f(x)＝a(x2＋2x)＝a(x＋1)2﹣a.又f(x)有最小值﹣1，则a＝1.所以f(x)＝x2＋2x.
答案：x2＋2x
考点三 二次函数的图象与性质(综合型)
研究二次函数的图象与性质时应明确抛物线的开口方向，对称轴的位置，定义区间三者之间的相互关系.
角度一 二次函数图象的识别问题
如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(﹣3，0)，对称轴为x＝﹣1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a﹣b＝1；③a﹣b＋c＝0；④5a
A.②④ B.①④ C.②③ D.①③
【解析】 因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2﹣4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝﹣1，即﹣＝﹣1，2a﹣b＝0，②错误；结合图象，当x＝﹣1时，y>0，即a﹣b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝﹣1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a
确定二次函数图象应关注的三个要点
一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向.
二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置.
三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等.
从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象.反之，也可以从图象中得到如上信息.
角度二 二次函数的单调性及最值问题
(1)函数f(x)＝ax2＋(a﹣3)x＋1在区间[﹣1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是________.
(2)求函数f(x)＝x2＋2ax＋1在区间[﹣1，2]上的最大值.
【解】 (1)当a＝0时，f(x)＝﹣3x＋1在[﹣1，＋∞)上递减，满足条件.
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，由f(x)在[﹣1，＋∞)上递减知
解得﹣3≤a<0.综上，a的取值范围为[﹣3，0].故填[﹣3，0].
(2)f(x)＝(x＋a)2＋1﹣a2，
所以f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝﹣a.
①当﹣a<即a>﹣时，f(x)max＝f(2)＝4a＋5.
②当﹣a≥即a≤﹣时，f(x)max＝f(﹣1)＝2﹣2a，
综上，f(x)max＝
二次函数的单调性及最值问题
(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动.
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.
角度三 一元二次不等式恒成立问题
(1)已知函数f(x)＝x2＋mx﹣1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是____________.
(2)已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)>x＋k在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，则k的取值范围为____________.
【解析】 (1)作出二次函数f(x)的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，
则有即解得﹣
设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[﹣3，﹣1]，则g(x)在[﹣3，﹣1]上递减.所以g(x)min＝g(﹣1)＝1.
所以k<1.故k的取值范围为(﹣∞，1).
【答案】 (1)(﹣,0) (2)(﹣∞，1)
不等式恒成立求参数取值范围的思路
一是分离参数；二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域.
1.函数f(x)＝ax2﹣2x＋3在区间[1，3]上为增函数的充要条件是( )
A.a＝0 B.a<0 C.0
2.如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x都有f(1＋x)＝f(﹣x)，那么( )
A.f(0)
3.若函数f(x)＝x2﹣2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则a的取值集合为________.
解析：因为函数f(x)＝x2﹣2x＋1＝(x﹣1)2，对称轴x＝1，
因为f(x)在区间[a，a＋2]上的最小值为4，
所以当1≤a时，f(x)min＝f(a)＝(a﹣1)2＝4，解得a＝﹣1(舍去)或a＝3，
当a＋2≤1，即a≤﹣1时，f(x)min＝f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，解得a＝1(舍去)或a＝﹣3，
当a<1
答案：
[基础题组练]
1.如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为( )
A.c
2.若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f(x)( )
A.在(﹣∞，2)上递减，在[2，＋∞)上递增
B.在(﹣∞，3)上递增
C.在[1，3]上递增
D.单调性不能确定
解析：选A.由已知可得该函数图象的对称轴为x＝2，又二次项系数为1>0，所以f(x)在(﹣∞，2)上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的.
3.已知函数f(x)＝﹣x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值﹣2，则a的值为( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.﹣2
解析：选D.函数f(x)＝﹣x2＋4x＋a的对称轴为直线x＝2，开口向下，f(x)＝﹣x2＋4x＋a在[0，1]上单调递增，则当x＝0时，f(x)的最小值为f(0)＝a＝﹣2.
4.(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称.根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是( )
A.在x轴上截得的线段的长度是2
B.与y轴交于点(0，3)
C.顶点是(﹣2，﹣2)
D.过点(3，0)
解析：选ABD.由已知得解得b＝﹣4a，c＝3a，所以二次函数为y＝a(x2﹣4x＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(﹣2，﹣2)，故选ABD.
5.(多选)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(4＋t)＝f(﹣t)成立，则函数值f(﹣1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是( )
A.f(﹣1) B.f(1) C.f(2) D.f(5)
解析：选ACD.因为对任意实数t都有f(4＋t)＝f(﹣t)成立，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝2，当a>0时，函数值f(﹣1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(2)；当a<0时，函数值f(﹣1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(﹣1)和f(5).
6.已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0，3).则它的解析式为________.
解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y＝a(x﹣3)2，又图象与y轴交于点(0，3)，
所以3＝9a，即a＝.所以y＝(x﹣3)2＝x2﹣2x＋3.
答案：y＝x2﹣2x＋3
7.已知函数f(x)＝(m2﹣m﹣1)xm2﹣2m﹣3是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上递减，则实数m＝________.
解析：根据幂函数的定义和性质，得m2﹣m﹣1＝1.解得m＝2或m＝﹣1，
当m＝2时，f(x)＝x﹣3在(0，＋∞)上是减函数，符合题意；
当m＝﹣1时，f(x)＝x0＝1在(0，＋∞)上不是减函数，
所以m＝2.
答案：2
8.设函数f(x)＝mx2﹣mx﹣1，若对于x∈R，f(x)<0恒成立，则实数m的取值范围是____________.
解析：当m＝0时，f(x)＝﹣1<0，符合题意.当m≠0时，f(x)为二次函数，则由f(x)<0恒成立得即解得﹣4
答案：(﹣4，0]
9.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈.
(1)当a＝﹣1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[﹣5，5]上是单调函数.
解：(1)当a＝﹣1时，f(x)＝x2﹣2x＋2＝(x﹣1)2＋1，x∈[﹣5，5]，
所以当x＝1时，f(x)取得最小值1；
当x＝﹣5时，f(x)取得最大值37.
(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2﹣a2的图象的对称轴为直线x＝﹣a，
因为y＝f(x)在区间[﹣5，5]上是单调函数，
所以﹣a≤﹣5或﹣a≥5，即a≤﹣5或a≥5.故实数a的取值范围是(﹣∞，﹣5]∪[5，＋∞).
10.若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)﹣f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[﹣1，1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围.
解：(1)由f(0)＝1，得c＝1，所以f(x)＝ax2＋bx＋1.
又f(x＋1)﹣f(x)＝2x，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1﹣(ax2＋bx＋1)＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x，
所以所以
因此，所求解析式为f(x)＝x2﹣x＋1.
(2)f(x)>2x＋m等价于x2﹣x＋1>2x＋m，即x2﹣3x＋1﹣m>0，要使此不等式在区间[﹣1，1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2﹣3x＋1﹣m在区间[﹣1，1]上的最小值大于0即可.
设g(x)＝x2﹣3x＋1﹣m，
则g(x)在区间[﹣1，1]上单调递减，
所以g(x)min＝g(1)＝﹣m﹣1，
由﹣m﹣1>0，得m<﹣1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(﹣∞，﹣1).
[综合题组练]
1.若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[﹣2，﹣1]上均为增函数，则实数a的取值范围是( )
A.[-,-3] B.[﹣6，﹣4] C.[﹣3，﹣2] D.[﹣4，﹣3]
解析：选B.由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性即可.由题意知函数f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1，2]上为减函数，故﹣∈[2，3]，即a∈[﹣6，﹣4].
2.已知函数f(x)＝2ax2﹣ax＋1(a<0)，若x1
C.f(x1)
解析：因为f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，f(﹣1)＝a﹣b＋1＝0，所以a＝b﹣1，①
又因为f(x)＝a＋1＝a＋1﹣，所以a>0且f(x)min＝1﹣＝0，②
联立①②解得a＝1，b＝2，所以f(x)＝x2＋2x＋1.
因为g(x)＝f(x)﹣kx＝x2＋2x＋1﹣kx＝x2＋(2﹣k)x＋1＝(x-)2＋1﹣，
所以当≥2或≤﹣2时，函数g(x)在[﹣2，2]上是单调函数，
故实数k的取值范围是(﹣∞，﹣2]∪[6，＋∞).
答案：x2＋2x＋1 (﹣∞，﹣2]∪[6，＋∞)
4.(创新型)定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a
设x0为均值点，所以＝m＝f(x0)，
即关于x0的方程﹣x＋mx0＋1＝m在(﹣1，1)内有实数根，
解方程得x0＝1或x0＝m﹣1.所以必有﹣1
答案：(0，2)
5.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示.
(1)画出函数f(x)在y轴右侧的图象，并写出函数f(x)(x∈R)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(x)﹣2ax＋2(x∈[1，2])，当a>1时，求函数g(x)的最小值.
解：(1)f(x)在y轴右侧的图象如图所示.
若x>0，则﹣x<0，又函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，
所以f(x)＝f(﹣x)＝(﹣x)2＋2×(﹣x)＝x2﹣2x(x>0)，
所以f(x)＝
(2)由(1)知g(x)＝x2﹣2x﹣2ax＋2，其图象的对称轴方程为x＝a＋1，
当a>1时，a＋1>2，g(x)＝x2﹣2x﹣2ax＋2在[1，2]上单调递减，
则g(x)在[1，2]上的最小值为g(2)＝2﹣4a.
6.已知函数f(x)＝x2﹣2ax＋5(a>1).
(1)若函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
(2)若f(x)在区间(﹣∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)﹣f(x2)|≤4，求实数a的取值范围.
解：(1)因为f(x)＝x2﹣2ax＋5在(﹣∞，a]上为减函数，
所以f(x)＝x2﹣2ax＋5(a>1)在[1，a]上单调递减，
即f(x)max＝f(1)＝a，f(x)min＝f(a)＝1，所以a＝2或a＝﹣2(舍去).即实数a的值为2.
(2)因为f(x)在(﹣∞，2]上是减函数，所以a≥2.
所以f(x)在[1，a]上单调递减，在[a，a＋1]上单调递增，
又函数f(x)的对称轴为直线x＝a，所以f(x)min＝f(a)＝5﹣a2，f(x)max＝max{f(1)，f(a＋1)}，
又f(1)﹣f(a＋1)＝6﹣2a﹣(6﹣a2)＝a(a﹣2)≥0，
所以f(x)max＝f(1)＝6﹣2a.
因为对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)﹣f(x2)|≤4，
所以f(x)max﹣f(x)min≤4，即6﹣2a﹣(5﹣a2)≤4，解得﹣1≤a≤3.又a≥2，所以2≤a≤3.即实数a的取值范围为[2，3]
第4讲 二次函数与幂函数
一、知识梳理
1.幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数.常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x﹣1.
(2)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：f(x)＝a(x﹣m)2＋n(a≠0)；
③零点式：f(x)＝a(x﹣x1)(x﹣x2)(a≠0).
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(﹣∞，＋∞)
(﹣∞，＋∞)
值域
[,+∞)
(﹣∞,]
单调性
在(﹣∞,﹣)上单调递减；
在[﹣,+∞)上单调递增
在(﹣∞,﹣)上单调递增；
在[﹣,+∞)上单调递减
奇偶性
当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点
(﹣，)
对称性
图象关于直线x＝﹣成轴对称图形
常用结论
1.巧识幂函数的图象和性质
2.记牢一元二次不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是
二、教材衍化
1.已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(，)，则k＋α＝________.
解析：因为函数f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1，又函数f(x)的图象过点(，)，
所以()α＝，解得α＝，则k＋α＝.
答案：
2.函数g(x)＝x2﹣2x(x∈[0，3])的值域为________.
解析：由g(x)＝x2﹣2x＝(x﹣1)2﹣1，x∈[0，3]，得g(x)在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数.所以g(x)min＝g(1)＝﹣1，而g(0)＝0，g(3)＝3.所以g(x)的值域为[﹣1，3].
答案：[﹣1，3]
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x是幂函数.( )
(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数.( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数.( )
(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.( )
(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×
二、易错纠偏
常见误区(1)幂函数定义不清晰，导致出错；
(2)二次函数的性质理解不到位出错；
(3)忽视对二次函数的二次项系数的讨论出错.
1.已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2,)，则此函数的解析式为________；在区间________上递减.
解析：设y＝f(x)＝xα，因为图象过点(2,)，代入解析式得α＝﹣，则y＝x﹣，
由性质可知函数y＝x﹣在(0，＋∞)上递减.
答案：y＝x﹣ (0，＋∞)
2.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[﹣4，6]上是单调函数，则实数a的取值范围为________.
解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝﹣a，所以要使f(x)在[﹣4，6]上是单调函数，应有﹣a≤﹣4或﹣a≥6，即a≤﹣6或a≥4.
答案：(﹣∞，﹣6]∪[4，＋∞)
3.已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是________.
解析：因为函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，所以解得a>.
答案：(,+∞).
考点一 幂函数的图象及性质(基础型)
复习指导通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况.
核心素养：数学抽象
1.已知点(，)在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数
解析：选A.设f(x)＝xα，由已知得()α＝，解得α＝﹣1，
因此f(x)＝x﹣1，易知该函数为奇函数.
2.已知a＝3，b＝4，c＝12，则a，b，c的大小关系为( )
A.b
3.若幂函数y＝x﹣1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为( )
A.﹣1
解析：易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，
所以解得﹣1≤a<.
答案：[﹣1，)
幂函数的性质与图象特征的关系
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.
(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断.
(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.
考点二 二次函数的解析式(基础型)
理解二次函数的定义，图象及性质.能够求解简单的二次函数的解析式.
核心素养：数学运算
(一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝﹣1，f(﹣1)＝﹣1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式.
【解】 法一(利用一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).由题意得
解得
所以所求二次函数的解析式为f(x)＝﹣4x2＋4x＋7.
法二(利用顶点式)：
设f(x)＝a(x﹣m)2＋n(a≠0).因为f(2)＝f(﹣1)，f(﹣1)＝﹣1，
所以抛物线的对称轴为x＝＝.所以m＝.
又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝a(x﹣)2＋8.因为f(2)＝﹣1，
所以a(2﹣)2＋8＝﹣1，解得a＝﹣4，所以f(x)＝﹣4(x﹣)2＋8＝﹣4x2＋4x＋7.
法三(利用零点式)：
由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣1，
故可设f(x)＋1＝a(x﹣2)(x＋1)，即f(x)＝ax2﹣ax﹣2a﹣1.
又函数有最大值8，即＝8.解得a＝﹣4或a＝0(舍去)，
所以所求函数的解析式为f(x)＝﹣4x2＋4x＋7.
求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：
1.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象过点P(﹣1，11)，且其对称轴是直线x＝1，则a＋b的值是( )
A.﹣2 B.0 C.1 D.2
解析：选A.因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象的对称轴是直线x＝1，所以﹣＝1 ①.又f(﹣1)＝a﹣b＋5＝11，所以a﹣b＝6 ②.联立①②，解得a＝2，b＝﹣4，所以a＋b＝﹣2，故选A.
2.已知二次函数f(x)有两个零点0和﹣2，且它有最小值﹣1，则f(x)的解析式为f(x)＝________.
解析：由二次函数f(x)有两个零点0和﹣2，可设f(x)＝a(x＋2)x，则f(x)＝a(x2＋2x)＝a(x＋1)2﹣a.又f(x)有最小值﹣1，则a＝1.所以f(x)＝x2＋2x.
答案：x2＋2x
考点三 二次函数的图象与性质(综合型)
研究二次函数的图象与性质时应明确抛物线的开口方向，对称轴的位置，定义区间三者之间的相互关系.
角度一 二次函数图象的识别问题
如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(﹣3，0)，对称轴为x＝﹣1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a﹣b＝1；③a﹣b＋c＝0；④5a
A.②④ B.①④ C.②③ D.①③
【解析】 因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2﹣4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝﹣1，即﹣＝﹣1，2a﹣b＝0，②错误；结合图象，当x＝﹣1时，y>0，即a﹣b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝﹣1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a
确定二次函数图象应关注的三个要点
一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向.
二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置.
三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等.
从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象.反之，也可以从图象中得到如上信息.
角度二 二次函数的单调性及最值问题
(1)函数f(x)＝ax2＋(a﹣3)x＋1在区间[﹣1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是________.
(2)求函数f(x)＝x2＋2ax＋1在区间[﹣1，2]上的最大值.
【解】 (1)当a＝0时，f(x)＝﹣3x＋1在[﹣1，＋∞)上递减，满足条件.
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，由f(x)在[﹣1，＋∞)上递减知
解得﹣3≤a<0.综上，a的取值范围为[﹣3，0].故填[﹣3，0].
(2)f(x)＝(x＋a)2＋1﹣a2，
所以f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝﹣a.
①当﹣a<即a>﹣时，f(x)max＝f(2)＝4a＋5.
②当﹣a≥即a≤﹣时，f(x)max＝f(﹣1)＝2﹣2a，
综上，f(x)max＝
二次函数的单调性及最值问题
(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动.
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.
角度三 一元二次不等式恒成立问题
(1)已知函数f(x)＝x2＋mx﹣1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是____________.
(2)已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)>x＋k在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，则k的取值范围为____________.
【解析】 (1)作出二次函数f(x)的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，
则有即解得﹣
设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[﹣3，﹣1]，则g(x)在[﹣3，﹣1]上递减.所以g(x)min＝g(﹣1)＝1.
所以k<1.故k的取值范围为(﹣∞，1).
【答案】 (1)(﹣,0) (2)(﹣∞，1)
不等式恒成立求参数取值范围的思路
一是分离参数；二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域.
1.函数f(x)＝ax2﹣2x＋3在区间[1，3]上为增函数的充要条件是( )
A.a＝0 B.a<0 C.0
2.如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x都有f(1＋x)＝f(﹣x)，那么( )
A.f(0)
3.若函数f(x)＝x2﹣2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则a的取值集合为________.
解析：因为函数f(x)＝x2﹣2x＋1＝(x﹣1)2，对称轴x＝1，
因为f(x)在区间[a，a＋2]上的最小值为4，
所以当1≤a时，f(x)min＝f(a)＝(a﹣1)2＝4，解得a＝﹣1(舍去)或a＝3，
当a＋2≤1，即a≤﹣1时，f(x)min＝f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，解得a＝1(舍去)或a＝﹣3，
当a<1
答案：
[基础题组练]
1.如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为( )
A.c
2.若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f(x)( )
A.在(﹣∞，2)上递减，在[2，＋∞)上递增
B.在(﹣∞，3)上递增
C.在[1，3]上递增
D.单调性不能确定
解析：选A.由已知可得该函数图象的对称轴为x＝2，又二次项系数为1>0，所以f(x)在(﹣∞，2)上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的.
3.已知函数f(x)＝﹣x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值﹣2，则a的值为( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.﹣2
解析：选D.函数f(x)＝﹣x2＋4x＋a的对称轴为直线x＝2，开口向下，f(x)＝﹣x2＋4x＋a在[0，1]上单调递增，则当x＝0时，f(x)的最小值为f(0)＝a＝﹣2.
4.(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称.根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是( )
A.在x轴上截得的线段的长度是2
B.与y轴交于点(0，3)
C.顶点是(﹣2，﹣2)
D.过点(3，0)
解析：选ABD.由已知得解得b＝﹣4a，c＝3a，所以二次函数为y＝a(x2﹣4x＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(﹣2，﹣2)，故选ABD.
5.(多选)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(4＋t)＝f(﹣t)成立，则函数值f(﹣1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是( )
A.f(﹣1) B.f(1) C.f(2) D.f(5)
解析：选ACD.因为对任意实数t都有f(4＋t)＝f(﹣t)成立，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝2，当a>0时，函数值f(﹣1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(2)；当a<0时，函数值f(﹣1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(﹣1)和f(5).
6.已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0，3).则它的解析式为________.
解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y＝a(x﹣3)2，又图象与y轴交于点(0，3)，
所以3＝9a，即a＝.所以y＝(x﹣3)2＝x2﹣2x＋3.
答案：y＝x2﹣2x＋3
7.已知函数f(x)＝(m2﹣m﹣1)xm2﹣2m﹣3是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上递减，则实数m＝________.
解析：根据幂函数的定义和性质，得m2﹣m﹣1＝1.解得m＝2或m＝﹣1，
当m＝2时，f(x)＝x﹣3在(0，＋∞)上是减函数，符合题意；
当m＝﹣1时，f(x)＝x0＝1在(0，＋∞)上不是减函数，
所以m＝2.
答案：2
8.设函数f(x)＝mx2﹣mx﹣1，若对于x∈R，f(x)<0恒成立，则实数m的取值范围是____________.
解析：当m＝0时，f(x)＝﹣1<0，符合题意.当m≠0时，f(x)为二次函数，则由f(x)<0恒成立得即解得﹣4
答案：(﹣4，0]
9.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈.
(1)当a＝﹣1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[﹣5，5]上是单调函数.
解：(1)当a＝﹣1时，f(x)＝x2﹣2x＋2＝(x﹣1)2＋1，x∈[﹣5，5]，
所以当x＝1时，f(x)取得最小值1；
当x＝﹣5时，f(x)取得最大值37.
(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2﹣a2的图象的对称轴为直线x＝﹣a，
因为y＝f(x)在区间[﹣5，5]上是单调函数，
所以﹣a≤﹣5或﹣a≥5，即a≤﹣5或a≥5.故实数a的取值范围是(﹣∞，﹣5]∪[5，＋∞).
10.若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)﹣f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[﹣1，1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围.
解：(1)由f(0)＝1，得c＝1，所以f(x)＝ax2＋bx＋1.
又f(x＋1)﹣f(x)＝2x，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1﹣(ax2＋bx＋1)＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x，
所以所以
因此，所求解析式为f(x)＝x2﹣x＋1.
(2)f(x)>2x＋m等价于x2﹣x＋1>2x＋m，即x2﹣3x＋1﹣m>0，要使此不等式在区间[﹣1，1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2﹣3x＋1﹣m在区间[﹣1，1]上的最小值大于0即可.
设g(x)＝x2﹣3x＋1﹣m，
则g(x)在区间[﹣1，1]上单调递减，
所以g(x)min＝g(1)＝﹣m﹣1，
由﹣m﹣1>0，得m<﹣1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(﹣∞，﹣1).
[综合题组练]
1.若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[﹣2，﹣1]上均为增函数，则实数a的取值范围是( )
A.[-,-3] B.[﹣6，﹣4] C.[﹣3，﹣2] D.[﹣4，﹣3]
解析：选B.由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性即可.由题意知函数f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1，2]上为减函数，故﹣∈[2，3]，即a∈[﹣6，﹣4].
2.已知函数f(x)＝2ax2﹣ax＋1(a<0)，若x1
C.f(x1)
解析：因为f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，f(﹣1)＝a﹣b＋1＝0，所以a＝b﹣1，①
又因为f(x)＝a＋1＝a＋1﹣，所以a>0且f(x)min＝1﹣＝0，②
联立①②解得a＝1，b＝2，所以f(x)＝x2＋2x＋1.
因为g(x)＝f(x)﹣kx＝x2＋2x＋1﹣kx＝x2＋(2﹣k)x＋1＝(x-)2＋1﹣，
所以当≥2或≤﹣2时，函数g(x)在[﹣2，2]上是单调函数，
故实数k的取值范围是(﹣∞，﹣2]∪[6，＋∞).
答案：x2＋2x＋1 (﹣∞，﹣2]∪[6，＋∞)
4.(创新型)定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a
设x0为均值点，所以＝m＝f(x0)，
即关于x0的方程﹣x＋mx0＋1＝m在(﹣1，1)内有实数根，
解方程得x0＝1或x0＝m﹣1.所以必有﹣1
答案：(0，2)
5.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示.
(1)画出函数f(x)在y轴右侧的图象，并写出函数f(x)(x∈R)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(x)﹣2ax＋2(x∈[1，2])，当a>1时，求函数g(x)的最小值.
解：(1)f(x)在y轴右侧的图象如图所示.
若x>0，则﹣x<0，又函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，
所以f(x)＝f(﹣x)＝(﹣x)2＋2×(﹣x)＝x2﹣2x(x>0)，
所以f(x)＝
(2)由(1)知g(x)＝x2﹣2x﹣2ax＋2，其图象的对称轴方程为x＝a＋1，
当a>1时，a＋1>2，g(x)＝x2﹣2x﹣2ax＋2在[1，2]上单调递减，
则g(x)在[1，2]上的最小值为g(2)＝2﹣4a.
6.已知函数f(x)＝x2﹣2ax＋5(a>1).
(1)若函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
(2)若f(x)在区间(﹣∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)﹣f(x2)|≤4，求实数a的取值范围.
解：(1)因为f(x)＝x2﹣2ax＋5在(﹣∞，a]上为减函数，
所以f(x)＝x2﹣2ax＋5(a>1)在[1，a]上单调递减，
即f(x)max＝f(1)＝a，f(x)min＝f(a)＝1，所以a＝2或a＝﹣2(舍去).即实数a的值为2.
(2)因为f(x)在(﹣∞，2]上是减函数，所以a≥2.
所以f(x)在[1，a]上单调递减，在[a，a＋1]上单调递增，
又函数f(x)的对称轴为直线x＝a，所以f(x)min＝f(a)＝5﹣a2，f(x)max＝max{f(1)，f(a＋1)}，
又f(1)﹣f(a＋1)＝6﹣2a﹣(6﹣a2)＝a(a﹣2)≥0，
所以f(x)max＝f(1)＝6﹣2a.
因为对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)﹣f(x2)|≤4，
所以f(x)max﹣f(x)min≤4，即6﹣2a﹣(5﹣a2)≤4，解得﹣1≤a≤3.又a≥2，所以2≤a≤3.即实数a的取值范围为[2，3]
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