新高考数学一轮复习讲义+分层练习 2.5《幂函数与二次函数》教案 (2份打包，原卷版+教师版)

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2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
2.二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：f(x)＝a(x﹣m)2＋n(a≠0)；
(3)零点式：f(x)＝a(x﹣x1)(x﹣x2)(a≠0).
3.二次函数的图象和性质
eq \([常用结论])
1.幂函数y＝xα在第一象限的两个重要结论
(1)恒过点(1,1)；
(2)当x∈(0,1)时，α越大，函数值越小；当x∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大.
2.一元二次不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是“a＞0且Δ＜0”；
(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是“a＜0且Δ＜0”.
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2xeq \s\up8(\f(1,2))是幂函数.( )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.( )
(3)当α＜0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数.( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是eq \f(4ac－b2,4a).( )
(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数.( )
(6)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√
二、教材改编
1.已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(eq \f(1,2),eq \f(\r(2),2))，则k＋α＝( )
A.eq \f(1,2) B.1 C.eq \f(3,2) D.2
答案为：C.解析：因为函数f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1，又函数f(x)的图象过点(eq \f(1,2),eq \f(\r(2),2))，所以(eq \f(1,2))a＝eq \f(\r(2),2)，解得α＝eq \f(1,2)，则k＋α＝eq \f(3,2).]
2.如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为( )
A.c＜b＜a B.a＜b＜c
C.b＜c＜a D.a＜c＜b
答案为：D.解析：根据幂函数的性质，可知选D.]
3.已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(﹣∞，6)内单调递减，则a的取值范围是( )
A.a≥3 B.a≤3 C.a＜﹣3 D.a≤﹣3
答案为：D.解析：函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝﹣2a，由函数在区间(﹣∞，6)内单调递减可知，区间(﹣∞，6)应在直线x＝﹣2a的左侧，所以﹣2a≥6，解得a≤﹣3，故选D.]
4.函数g(x)＝x2﹣2x(x∈[0,3])的值域是________.
[﹣1,3].
[∵g(x)＝x2﹣2x＝(x﹣1)2﹣1，x∈[0,3]，∴当x＝1时，g(x)min＝g(1)＝﹣1，
又g(0)＝0，g(3)＝9﹣6＝3，∴g(x)max＝3，即g(x)的值域为[﹣1,3].]
考点1 幂函数的图象及性质
幂函数的性质与图象特征的关系
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.
(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断.
(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.
1.幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，eq \r(3))，则f(x)是( )
A.偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B.偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C.奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D.非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
答案为：D.解析：设幂函数f(x)＝xα，则f(3)＝3α＝eq \r(3)，解得α＝eq \f(1,2)，则f(x)＝xeq \s\up8(\f(1,2))＝eq \r(x)，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数.]
2.当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2＋m﹣1)x﹣5m﹣3为减函数，则实数m的值为( )
A.﹣2 B.1 C.1或﹣2 D.m≠eq \f(－1±\r(5),2)
答案为：B.解析：因为函数y＝(m2＋m﹣1)x﹣5m﹣3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m－1＝1，,－5m－3＜0，))解得m＝1.]
3.若a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up8(\f(2,3))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))eq \s\up8(\f(2,3))，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up8(\f(1,3))，则a，b，c的大小关系是( )
A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.b＜c＜a D.b＜a＜c
答案为：D.
解析：因为y＝xeq \s\up8(\f(2,3))在第一象限内是增函数，所以a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up8(\f(2,3))＞b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))eq \s\up8(\f(2,3))，因为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x是减函数，所以a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up8(\f(2,3))＜c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up8(\f(1,3))，所以b＜a＜c.]
4.若(a＋1)eq \s\up8(\f(1,2))＜(3﹣2a)eq \s\up8(\f(1,2))，则实数a的取值范围是________.
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(2,3))).
[易知函数y＝xeq \s\up8(\f(1,2))的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1≥0，,3－2a≥0，,a＋1＜3－2a，))解得﹣1≤a＜eq \f(2,3).]
在比较幂值的大小时， 必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，如T3.
考点2 求二次函数的解析式
求二次函数解析式的策略
[一题多解]已知二次函数f(x)满足f(2)＝﹣1，f(﹣1)＝﹣1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式.
[解] 法一：(利用二次函数的一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))
故所求二次函数为f(x)＝﹣4x2＋4x＋7.
法二：(利用二次函数的顶点式)设f(x)＝a(x﹣m)2＋n.
∵f(2)＝f(﹣1)，∴抛物线对称轴为x＝eq \f(2＋－1,2)＝eq \f(1,2).
∴m＝eq \f(1,2)，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝a(x-eq \f(1,2))2＋8.
∵f(2)＝﹣1，∴a(2-eq \f(1,2))2＋8＝﹣1，解得a＝﹣4，∴f(x)＝﹣4(x-eq \f(1,2))2＋8＝﹣4x2＋4x＋7.
法三：(利用零点式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣1，
故可设f(x)＋1＝a(x﹣2)(x＋1)，即f(x)＝ax2﹣ax﹣2a﹣1.
又函数有最大值ymax＝8，即eq \f(4a－2a－1－a2,4a)＝8.解得a＝﹣4或a＝0(舍去)，
故所求函数解析式为f(x)＝﹣4x2＋4x＋7.
求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同.
1.已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(﹣2，﹣1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f(x)＝________.
eq \f(1,9)x2＋eq \f(4,9)x﹣eq \f(5,9) [法一：(一般式)设所求解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)＝－2，,\f(4ac－b2,4a)＝－1，,a＋b＋c＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,9)，,b＝\f(4,9)，,c＝－\f(5,9)，))所以所求解析式为f(x)＝eq \f(1,9)x2＋eq \f(4,9)x﹣eq \f(5,9).
法二：(顶点式)设所求解析式为f(x)＝a(x﹣h)2＋k.
由已知得f(x)＝a(x＋2)2﹣1，将点(1,0)代入，得a＝eq \f(1,9)，
所以f(x)＝eq \f(1,9)(x＋2)2﹣1，即f(x)＝eq \f(1,9)x2＋eq \f(4,9)x﹣eq \f(5,9).]
2.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2﹣x)＝f(2＋x)，则函数的解析式f(x)＝________.
x2﹣4x＋3.
[∵f(2﹣x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x﹣1)(x﹣3)(a≠0).
又∵f(x)的图象经过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.
∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x﹣1)(x﹣3)，即f(x)＝x2﹣4x＋3.]
考点3 二次函数的图象与性质
解决二次函数图象与性质问题时应注意2点
(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论.
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解).
二次函数的图象
已知abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
A B
C D
答案为：D.解析：A项，因为a＜0，﹣eq \f(b,2a)＜0，所以b＜0.
又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故A错.B项，因为a＜0，﹣eq \f(b,2a)＞0，所以b＞0.又因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＞0，故B错.C项，因为a＞0，﹣eq \f(b,2a)＜0，所以b＞0.又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故C错.D项，因为a＞0，﹣eq \f(b,2a)＞0，所以b＜0，因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＜0，故选D.]
识别二次函数图象应学会“三看”
二次函数的单调性
函数f(x)＝ax2＋(a﹣3)x＋1在区间[﹣1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是( )
A.[﹣3,0) B.(﹣∞，﹣3] C.[﹣2,0] D.[﹣3,0]
答案为：D.解析：当a＝0时，f(x)＝﹣3x＋1在[﹣1，＋∞)上递减，满足题意.
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝eq \f(3－a,2a)，
由f(x)在[﹣1，＋∞)上递减知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜0，,\f(3－a,2a)≤－1，))解得﹣3≤a＜0.
综上，a的取值范围为[﹣3,0].]
[母题探究]若函数f(x)＝ax2＋(a﹣3)x＋1的单调减区间是[﹣1，＋∞)，则a＝________.
﹣3 [由题意知f(x)必为二次函数且a＜0，又eq \f(3－a,2a)＝﹣1，∴a＝﹣3.]
二次函数单调性问题的求解策略
(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解.
(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较.
二次函数的最值问题
设函数f(x)＝x2﹣2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值.
[解] f(x)＝x2﹣2x＋2＝(x﹣1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.当t＋1＜1，即t＜0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；
当t＞1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值f(t)＝t2﹣2t＋2.综上可知，f(x)min＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t2＋1，t＜0，,1，0≤t≤1，,t2－2t＋2，t＞1.))
图(1) 图(2) 图(3)
[逆向问题]已知函数f(x)＝﹣x2＋2ax＋1﹣a在x∈[0,1]时，有最大值2，则a的值为________.
﹣1或2 [函数f(x)＝﹣x2＋2ax＋1﹣a＝﹣(x﹣a)2＋a2﹣a＋1，对称轴方程为x＝a.
当a＜0时，f(x)max＝f(0)＝1﹣a，
所以1﹣a＝2，所以a＝﹣1.
当0≤a≤1时，f(x)max＝a2﹣a＋1，
所以a2﹣a＋1＝2，所以a2﹣a﹣1＝0，所以a＝eq \f(1±\r(5),2)(舍去).
当a＞1时，f(x)max＝f(1)＝a，所以a＝2.
综上可知，a＝﹣1或a＝2.]
二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.
二次函数中的恒成立问题
(1)已知函数f(x)＝x2＋mx﹣1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________；
(2)已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)＞x＋k在区间[﹣3，﹣1]上恒成立，则k的取值范围为________.
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，0)) (2)(﹣∞，1) [(1)作出二次函数f(x)的草图如图所示，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fm＜0，,fm＋1＜0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m2－1＜0，,m＋12＋mm＋1－1＜0，))解得﹣eq \f(\r(2),2)＜m＜0.
(2)由题意得x2＋x＋1＞k在区间[﹣3，﹣1]上恒成立.
设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[﹣3，﹣1]，则g(x)在[﹣3，﹣1]上递减.
∴g(x)min＝g(﹣1)＝1.∴k＜1.故k的取值范围为(﹣∞，1).]
由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
[备选例题]
已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R).
(1)若函数f(x)的最小值是f(﹣1)＝0，且c＝1，F(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx，x＞0，,－fx，x＜0，))求F(2)＋F(﹣2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围.
[解] (1)由已知c＝1，a﹣b＋c＝0，
且﹣eq \f(b,2a)＝﹣1，解得a＝1，b＝2，所以f(x)＝(x＋1)2.
所以F(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋12，x＞0，,－x＋12，x＜0.))
所以F(2)＋F(﹣2)＝(2＋1)2＋[﹣(﹣2＋1)2]＝8.
(2)由题意知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于﹣1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立，
即b≤eq \f(1,x)﹣x且b≥﹣eq \f(1,x)﹣x在(0,1]上恒成立.
又当x∈(0,1]时，eq \f(1,x)﹣x的最小值为0，﹣eq \f(1,x)﹣x的最大值为﹣2.所以﹣2≤b≤0.
故b的取值范围是[﹣2,0].
1.若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象只可能是( )
A B C D
答案为：C.解析：因为一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，所以a＜0，b＜0，所以二次函数的图象开口向下，对称轴方程x＝﹣eq \f(b,2a)＜0，只有选项C适合.]
2.若函数y＝x2﹣3x＋4的定义域为[0，m]，值域为[eq \f(7,4)，4]，则m的取值范围为( )
A.(0,4] B.[eq \f(3,2)，4] C.[eq \f(3,2)，3] D.[eq \f(3,2)，＋∞)
答案为：C.解析：y＝x2﹣3x＋4＝(x﹣eq \f(3,2))2＋eq \f(7,4)的定义域为[0，m]，显然，在x＝0时，y＝4，又值域为[eq \f(7,4)，4]，根据二次函数图象的对称性知eq \f(3,2)≤m≤3，故选C.]
3.设二次函数f(x)＝ax2﹣2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是________.
[0,2] [依题意a≠0，二次函数f(x)＝ax2﹣2ax＋c图象的对称轴是直线x＝1，因为函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，所以a＞0，即函数图象的开口向上，所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.]
幂函数与二次函数
一、选择题
1.已知幂函数f(x)＝(m2﹣3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝( )
A.1 B.2 C.1或2 D.3
答案为：A.解析：∵函数f(x)为幂函数，∴m2﹣3m＋3＝1，即m2﹣3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件；当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件，故选A.]
2.已知幂函数f(x)的图象过点(2，eq \f(1,4))，则函数g(x)＝f(x)＋eq \f(x2,4)的最小值为( )
A.1 B.2 C.4 D.6
答案为：A.解析：设幂函数f(x)＝xα.∵f(x)的图象过点(2，eq \f(1,4))，∴2α＝eq \f(1,4)，解得α＝﹣2.
∴函数f(x)＝x﹣2，其中x≠0.∴函数g(x)＝f(x)＋eq \f(x2,4)＝x﹣2＋eq \f(x2,4)＝eq \f(1,x2)＋eq \f(x2,4)≥2eq \r(\f(1,x2)·\f(x2,4))＝1，
当且仅当x＝±eq \r(2)时， g(x)取得最小值1.]
3.一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )
A B C D
答案为：C.解析：若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a＜0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a＞0，b＞0，从而﹣eq \f(b,2a)＜0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故可排除B.故选C.]
4.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)＞f(1)，则( )
A.a＞0，4a＋b＝0 B.a＜0，4a＋b＝0
C.a＞0，2a＋b＝0 D.a＜0，2a＋b＝0
答案为：A.解析：由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝﹣eq \f(b,2a)＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)＞f(1)，f(4)＞f(1)，∴f(x)先减后增，于是a＞0，故选A.]
5.设x＝0.20.3，y＝0.30.2，z＝0.30.3，则x，y，z的大小关系为( )
A.x＜z＜y B.y＜x＜z C.y＜z＜x D.z＜y＜x
答案为：A.解析：由函数y＝0.3x在R上单调递减，可得y＞z.由函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，可得x＜z.所以x＜z＜y.]
二、填空题
6.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[﹣4，6]上是单调函数，则实数a的取值范围为________.
(﹣∞，﹣6]∪[4，＋∞) [由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝﹣a，
所以要使f(x)在[﹣4，6]上是单调函数，应有﹣a≤﹣4或﹣a≥6，即a≤﹣6或a≥4.]
7.已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为(﹣eq \f(3,2)，49)，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________.
f(x)＝﹣4x2﹣12x＋40.
[设f(x)＝a(x＋eq \f(3,2))2＋49(a≠0)，方程a(x＋eq \f(3,2))2＋49＝0的两个实根分别为x1，x2，
则|x1﹣x2|＝14eq \r(－\f(1,a))＝7，所以a＝﹣4，所以f(x)＝﹣4x2﹣12x＋40.]
8.已知函数f(x)＝a2x＋3ax﹣2(a＞1)，若在区间[﹣1，1]上f(x)≤8 恒成立，则a的最大值为________.
2 [令ax＝t，因为a＞1，x∈[﹣1，1]，所以eq \f(1,a)≤t≤a，原函数化为g(t)＝t2＋3t﹣2，显然g(t)在[eq \f(1,a)，a]上单调递增，所以f(x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8恒成立，所以有a2＋3a﹣2≤8，解得﹣5≤a≤2，又a＞1，所以a的最大值为2.]
三、解答题
9.求函数f(x)＝﹣x(x﹣a)在x∈[﹣1，1]上的最大值.
[解] 函数f(x)＝﹣(x﹣eq \f(a,2))2＋eq \f(a2,4)的图象的对称轴为x＝eq \f(a,2)，
应分eq \f(a,2)＜﹣1，﹣1≤eq \f(a,2)≤1，eq \f(a,2)＞1，
即a＜﹣2，﹣2≤a≤2和a＞2三种情形讨论.
(1)当a＜﹣2时，由图①可知f(x)在[﹣1，1]上的最大值为f(﹣1)＝﹣1﹣a＝﹣(a＋1).
(2)当﹣2≤a≤2时，由图②可知f(x)在[﹣1，1]上的最大值为f(eq \f(a,2))＝eq \f(a2,4).
(3)当a＞2时，由图③可知f(x)在[﹣1，1]上的最大值为f(1)＝a﹣1.
图① 图② 图③
综上可知，f(x)max＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－（a＋1），a＜－2，,\f(a2,4)，－2≤a≤2，,a－1，a＞2.))
10.已知二次函数f(x)满足f(x＋1)﹣f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[﹣1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围.
[解] (1)设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，由f(x＋1)﹣f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.
所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝﹣1，因此f(x)的解析式为f(x)＝x2﹣x＋1.
(2)因为当x∈[﹣1，1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，
所以在[﹣1，1]上，x2﹣x＋1＞2x＋m恒成立，即x2﹣3x＋1＞m在区间[﹣1，1]上恒成立.
所以令g(x)＝x2﹣3x＋1＝(x﹣eq \f(3,2))2﹣eq \f(5,4)，因为g(x)在[﹣1，1]上的最小值为g(1)＝﹣1，
所以m＜﹣1.故实数m的取值范围为(﹣∞，﹣1).
1.若关于x的不等式x2﹣4x﹣2﹣a＞0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞，﹣2) B.(﹣2，＋∞)
C.(﹣6，＋∞) D.(﹣∞，﹣6)
答案为：A.
解析：不等式x2﹣4x﹣2﹣a＞0在区间(1，4)内有解等价于a＜(x2﹣4x﹣2)max，
令f(x)＝x2﹣4x﹣2，x∈(1，4)，所以f(x)＜f(4)＝﹣2，所以a＜﹣2.]
2.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(﹣3，0)，对称轴为x＝﹣1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a﹣b＝1；③a﹣b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是( )
A.②④ B.①④ C.②③ D.①③
答案为：B.解析：因为图象与x轴交于两点，所以b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；
对称轴为x＝﹣1，即﹣eq \f(b,2a)＝﹣1，2a﹣b＝0，②错误；
结合图象，当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b＋c＞0，③错误；由对称轴为x＝﹣1知，b＝2a.
又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确.]
3.已知y＝f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝(x﹣1)2，若当x∈[﹣2，﹣eq \f(1,2)]时，n≤f(x)≤m恒成立，则m﹣n的最小值为________.
1 [当x＜0时，﹣x＞0，f(x)＝f(﹣x)＝(x＋1)2，因为x∈[﹣2，﹣eq \f(1,2)]，所以f(x)min＝f(﹣1)＝0，f(x)max＝f(﹣2)＝1，所以m≥1，n≤0，m﹣n≥1.所以m﹣n的最小值是1.]
4.已知函数f(x)＝x2＋(2a﹣1)x﹣3.
(1)当a＝2，x∈[﹣2，3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[﹣1，3]上的最大值为1，求实数a的值.
[解] (1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x﹣3，x∈[﹣2，3]，对称轴为x＝﹣eq \f(3,2)∈[﹣2，3]，
∴f(x)min＝f(﹣eq \f(3,2))＝eq \f(9,4)﹣eq \f(9,2)﹣3＝﹣eq \f(21,4)，f(x)max＝f(3)＝15，∴函数f(x)的值域为[﹣eq \f(21,4)，15].
(2)∵函数f(x)的对称轴为x＝﹣eq \f(2a－1,2).
①当﹣eq \f(2a－1,2)≤1，即a≥﹣eq \f(1,2)时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，∴6a＋3＝1，即a＝﹣eq \f(1,3)，满足题意；
②当﹣eq \f(2a－1,2)＞1，即a＜﹣eq \f(1,2)时，f(x)max＝f(﹣1)＝﹣2a﹣1，
∴﹣2a﹣1＝1，即a＝﹣1，满足题意.综上可知，a＝﹣eq \f(1,3)或﹣1.
1.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)﹣g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”.若f(x)＝x2﹣3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________.
(﹣eq \f(9,4)，﹣2] [由题意知，y＝f(x)﹣g(x)＝x2﹣5x＋4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点.在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y＝x2﹣5x＋4(x∈[0，3])的图象如图所示，结合图象可知，当x∈[2，3]时，y＝x2﹣5x＋4∈[﹣eq \f(9,4)，﹣2]，故当m∈(﹣eq \f(9,4)，﹣2]时，函数y＝m与y＝x2﹣5x＋4(x∈[0，3])的图象有两个交点.]
2.是否存在实数a∈[﹣2，1]，使函数f(x)＝x2﹣2ax＋a的定义域为[﹣1，1]时，值域为[﹣2，2]？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由.
[解] f(x)＝(x﹣a)2＋a﹣a2，
当﹣2≤a＜﹣1时，f(x)在[﹣1，1]上为增函数，
∴由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（－1）＝－2，,f（1）＝2，))得a＝﹣1(舍去)；
当﹣1≤a≤0时，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（a）＝－2，,f（1）＝2，))得a＝﹣1；
当0＜a≤1时，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（a）＝－2，,f（－1）＝2，))得a不存在；
综上可得，存在实数a满足题目条件，a＝﹣1.
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝xeq \s\up8(\f(1,2))
y＝x﹣1
图象
性质
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(﹣∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增
在R上单调递增
在[0，＋∞)上单调递增
在(﹣∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
公共点
(1,1)
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象
定义域
R
R
值域
eq \b\lc\[\rc\) (\a\vs4\al\c1(eq \f(4ac－b2,4a)，＋∞))
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))
单调性
在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－eq \f(b,2a)))上单调递减；
在x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增
在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；
在x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减
对称性
函数的图象关于直线x＝﹣eq \f(b,2a)对称