第十章 二元一次方程组 【过关测试基础】（原卷+解析）-七年级数学下册单元复习过过过（苏科版）

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第十章 二元一次方程组（基础）
一．选择题（共8小题）
1．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，对应密文a+2，﹣a+2b+4，b+3c+9，如果接收方收到密文9，13，23，则解密得到的明文为（　　）
A．8，2，7 B．7，8，2 C．8，7，2 D．7，2，8
【分析】根据“明文a，b，c，对应密文a+2，﹣a+2b+4，b+3c+9”，结合收到的密文9，13，23，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，解之即可得出密文对应的明文．
【解答】解：依题意得：a+2=9-a+2b+4=13b+3c+9=23，
解得：a=7b=8c=2．
故选：B．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
2．已知y=-1x=2是二元一次方程3x+my＝1的一个解，则m的值为（　　）
A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣5
【分析】将解代入即可解得答案．
【解答】解：∵y=-1x=2是二元一次方程3x+my＝1的一个解，
∴3×2+m•（﹣1）＝1，
解得m＝5，
故选：B．
【点评】本题考查二元一次方程的解，解题的关键是掌握二元一次方程的解的概念，即解能使方程左右两边相等．
3．在下列各组数中，是方程组2x-3y=-8x+2y=3的解的是（　　）
A．x=2y=4 B．x=-3y=1 C．x=1y=1 D．x=-1y=2
【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可求解．
【解答】解：2x-3y=-8①x+2y=3②，
②×2，得2x+4y＝6③，
③﹣①得，7y＝14，
解得y＝2，
将y＝2代入②得，x＝﹣1，
∴方程组的解为x=-1y=2，
故选：D．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
4．《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，可列方程组为（　　）
A．x=y+4.512x=y+1 B．y=x+4.512y=x+1
C．x=y+4.512x=y-1 D．y=x+4.512y=x-1
【分析】根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：由用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，可得方程y＝x+4.5，
由将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，可得方程12y＝x﹣1，
故y=x+4.512y=x-1，
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程组．
5．下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为（　　）

A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】设每个“△”的重量为x，每个“□”的重量为y，根据前两个天平右盘中砝码的质量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（2x+y）中即可求出结论．
【解答】解：设每个“△”的重量为x，每个“□”的重量为y，
依题意，得：x+y=6x+2y=8，
解得：x=4y=2，
∴2x+y＝10．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6．把一堆练习本分给学生，如果每名学生分4本，那么多4本；如果每名学生分5本，那么最后1名学生只有3本．设有x名学生，y本书，根据题意，可列方程组为（　　）
A．4x+4=y5x+3=y B．4x-4=y5x-3=y
C．4x+4=y5(x-1)+3=y D．4x-4=y5(x-1)+3=y
【分析】根据“如果每名学生分4本，那么多4本；如果每名学生分5本，那么最后1名学生只有3本”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意，得：4x+4=y5(x-1)+3=y．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．用一根长80cm的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10cm．设这个长方形的长为xcm、宽为ycm，列出关于x、y的二元一次方程组，下列正确的是（　　）
A．x+y=80x-y=10 B．2x+2y=80x-y=10
C．x+y=80y-x=10 D．2x+2y=80y-x=10
【分析】根据“长方形的长比宽长10cm”可得到一个关于长和宽的方程，再根据长方形周长公式可得另一个关于长的宽的方程，从而确定方程组．
【解答】解：设这个长方形的长为xcm、宽为ycm，由题意可得，
2x+2y=80x-y=10，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
8．若关于x，y的方程组a1x+b1y=-2a2x-b2y=4的解为x＝3，y＝2，则方程组a1x+b1y=-2+a1a2x-b2y=4+a2的解为（　　）
A．x＝4，y＝2 B．x＝4，y＝3 C．x＝1，y＝3 D．x＝1，y＝2
【分析】将方程组a1x+b1y=-2+a1a2x-b2y=4+a2变形为a1(x-1)+b1y=-2a2(x-1)-b2y=4，根据关于x，y的方程组a1x+b1y=-2a2x-b2y=4的解为x＝3，y＝2，可得x﹣1＝3，y＝2，解方程即可求解．
【解答】解：方程组a1x+b1y=-2+a1a2x-b2y=4+a2可以变形为a1(x-1)+b1y=-2a2(x-1)-b2y=4，
∵关于x，y的方程组a1x+b1y=-2a2x-b2y=4的解为x＝3，y＝2，
∴x﹣1＝3，y＝2，
解得x＝4，y＝2．
故选：A．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，关键是将方程组a1x+b1y=-2+a1a2x-b2y=4+a2变形为a1(x-1)+b1y=-2a2(x-1)-b2y=4．
二．填空题（共8小题）
9．将方程4x﹣3y＝6变形成用x的代数式表示y，则y＝　4x3-2．　．
【分析】移项，把y系数化为一就可得解．
【解答】解：3y＝4x﹣6，
y=4x-63，
=4x3-2．
故答案为：4x3-2．
【点评】本题考查一元二次方程的化简，掌握方程的变形，变形成用x的代数式表示y是解题关键．
10．已知2xn﹣3-13y2m+1＝0是关于x，y的二元一次方程，则nm＝　1　．
【分析】直接利用二元一次方程的定义分析得出答案．
【解答】解：∵2xn﹣3-13y2m+1＝0是关于x，y的二元一次方程，
∴n﹣3＝1，2m+1＝1，
解得：n＝4，m＝0，
故nm＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的定义，正确得出n，m的值是解题关键．
11．学校计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球30元，一个B品牌足球60元．学校准备将300元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有 　4　种．
【分析】设购买x个A品牌足球，y个B品牌足球，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出各进货方案，此题得解．
【解答】解：设购买x个A品牌足球，y个B品牌足球，
依题意，得：30x+60y＝300，
解得：y＝5-x2，
∵x，y均为正整数，
∴x是2的倍数，
∴x=2y=4或x=4y=3或x=6y=2或x=8y=1，
∴共有4种购买方案．
故答案为：4．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
12．已知二元一次方程组3a+b=7a-3b=1，则a+2b＝　3　．
【分析】用整体思想把两个方程相加，化简后的结果．
【解答】解：3a+b=7①a-3b=1②，
①﹣②得，2a+4b＝6，
∴a+2b＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，掌握整体思想的解题方法，两个方程整体相减是解题的关键．
13．已知方程组2x+y=4x+2y=5，则x﹣y的值为 　﹣1　．
【分析】将所给方程组中两个方程相减即可求x﹣y的值．
【解答】解：2x+y=4①x+2y=5②，
①﹣②，得x﹣y＝﹣1，
故答案为﹣1．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，通过观察方程组与所求式子的特点，灵活运用加减法处理两个方程是解题的关键．
14．已知方程组x-y=53x-2y=0的解也是方程4x﹣3y+k＝0的解，则k的值为 　﹣5　．
【分析】先用加减消元法解方程组，再把x、y的值代入方程求出k的值．
【解答】解：x-y=5①3x-2y=0②，
①×2得2x﹣2y＝10③，
③﹣②得x＝﹣10，
把x＝﹣10代入①得y＝﹣15，
∴此方程组的解x=-10y=-15；
把x＝﹣10，y＝﹣15，代入4x﹣3y+k＝0得，
4×（﹣10）﹣3×（﹣15）+k＝0，
解得k＝﹣5；
故答案为：﹣5
【点评】题主要考查了二元一次方程组的解、二元一次方程的解，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．
15．已知实数a、b满足2021a+2020b＝3，2a+b＝1，则ab的值为 　-20172015　．
【分析】联立已知两个等式，求出a与b的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：联立得：2021a+2020b=3①2a+b=1②，
由②得；b＝1﹣2a③，
把③代入①得：2021a+2020（1﹣2a）＝3，
去括号得：2021a+2020﹣4040a＝3，
移项合并得：﹣2019a＝﹣2017，
解得：a=20172019，
把a=20172019代入③得：b＝1-40342019=-20152019，
则ab=-20172015．
故答案为：-20172015．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及整式的加减，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键．
16．若(m-2)x+5ym2-3+8＝0是关于x，y的二元一次方程，则m＝　﹣2　．
【分析】从二元一次方程满足的条件：含有2个未知数和最高次项的次数是1这两个方面考虑．
【解答】解：∵(m-2)x+5ym2-3+8＝0是关于x，y的二元一次方程，
∴m﹣2≠0且m2﹣3＝1，
解得m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：
（1）方程中只含有2个未知数；
（2）含未知数项的最高次数为一次；
（3）方程是整式方程．
三．解答题（共9小题）
17．解下列二元一次方程组：
（1）x+2y=03x-4y=-10；
（2）12x-y+13=13x+2y=10．
【分析】（1）先将式子变形，然后用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）先将式子变形，然后用加减消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：（1）x+2y=0①3x-4y=-10②，
①×2，得2x+4y＝0③，
③+②，得x＝﹣2，
将x＝﹣2代入①得，y＝1，
∴方程组的解为x=-2y=1；
（2）12x-y+13=1①3x+2y=10②，
由①得，3x﹣2y＝8③，
②+③得，x＝3，
将x＝3代入②得，y=12，
∴方程组的解为x=3y=12．
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组，并能准确计算是解题的关键．
18．解二元一次方程组3x+y=1①x-2y=12②．
（1）有同学这么做：由②，得x＝2y+12．③
将③代入①，得3（2y+12）+y＝1，解得y＝﹣5，
将y＝﹣5代入③，得x＝2，所以这个方程组的解为x=2y=-5．该同学解这个方程组的过程中使用了代入消元法，目的是把二元一次方程组转化为 　一元一次方程　．
（2）请你用加减消元法解该二元一次方程组．
【分析】（1）通过代入消元法，把含x，y的方程组转化成只含y的一元一次方程；
（2）把①乘以2，使y得系数变成2，而②中y的系数为﹣2，相加即可消去y，求得x的值，把x的值代入①中求得y的值即可得到方程组的解．
【解答】解：（1）原方程组中有两个未知数x，y，把③代入①后，得到一个关于y的一元一次方程．
故答案为：一元一次方程．
（2）3x+y=1①x-2y=12②，
①×2得：6x+2y＝2③，
②+③得：7x＝14，
x＝2，
把x＝2代入①中得：
3×2+y＝1，
6+y＝1，
y＝1﹣6，
y＝﹣5．
∴方程组的解为x=2y=-5．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的解法，考核学生的计算能力，解题的关键是通过消元把方程转化为一元一次方程．
19．某玻璃制品销售公司职工的月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资＝销售每件的奖励金额×销售件数），如表是甲、乙两位职工某月的工资情况．
职工
甲
乙
月销售件数（件）
200
180
月工资（元）
1800
1700
（1）求职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各是多少元？
（2）若职工丙今年5月份的工资为2000元，那么丙该月销售了多少件产品？
【分析】（1）设职工的月基本保障工资为x元，销售每件产品的奖励金额为y元，根据表格中数据，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据销售件数＝（月工资﹣月基本保障工资）÷销售每件产品的奖励金额，列式计算即可．
【解答】解：（1）设职工的月基本保障工资为x元，销售每件产品的奖励金额为y元，
根据题意得：x+200y=1800x+180y=1700，
解得：x=800y=5．
答：职工的月基本保障工资为800元，销售每件产品的奖励金额为5元．
（2）（2000﹣800）÷5＝240（件）．
答：丙该月销售了240件产品．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据“销售件数＝（月工资﹣月基本保障工资）÷销售每件产品的奖励金额”列式计算．
20．李三水果店在批发市场用2220元购进甲、乙两种水果共100千克进行零售．已知甲种水果购进价为15元/千克，零售价为20元/千克，乙种水果购进价为24元/千克，零售价为33元/千克．请问该水果店销售这两种水果获得的毛利润是多少元？（毛利润＝销售金额﹣进货金额）
【分析】设该水果店购进x千克甲种水果，y千克乙种水果，根据该水果店用2220元购进甲、乙两种水果共100千克，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用毛利润＝销售金额﹣进货金额即可求出结论．
【解答】解：设该水果店购进x千克甲种水果，y千克乙种水果，
依题意，得：x+y=10015x+24y=2220，
解得：x=20y=80，
∴20x+33y﹣2220＝20×20+33×80﹣2220＝820．
答：该水果店销售这两种水果获得的毛利润是820元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
21．本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费：寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表：
收费标准
目的地
起步价（元）
超过1千克的部分（元/千克）
上海
a
b
北京
a+3
b+4
实际收费
目的地
质量
费用（元）
上海
2
9
北京
3
22
求a，b的值．
【分析】根据小丽分别寄快递到上海和北京的快递质量和费用，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：依题意，得：a+(2-1)b=9a+3+(3-1)(b+4)=22，
解得：a=7b=2．
答：a的值为7，b的值为2．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
22．某超市第一次用3800元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品40件，乙种商品160件．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元．甲种商品售价为20元/件，乙种商品售价为25元/件．
（1）甲、乙两种商品每件进价各名少元？
（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完，可获得多少利润？
（3）该超市第二次又购进同样数量的甲、乙两种商品．其中甲种商品每件的进价不变，乙种商品进价每件少3元；甲种商品按原售价提价a%销售，乙种商品按原售价降价a%销售，如果第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多160元，那么a的值是多少？
【分析】（1）设该超市第一次购进甲种商品每件x元，乙种商品每件y元．根据总进价3800元列出方程即可解决问题．
（2）求出甲、乙两种商品的利润和即可．
（3）根据第二次的利润1000+160＝1160元，列出方程即可．
【解答】解：（1）设甲种商品每件进价x元，乙种商品每件进价y元，
由题意可得：y-x=540x+160y=3800，
解得：x=15y=20，
答：甲种商品每件进价15元，乙种商品每件进价20元；
（2）（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得的利润＝40×（20﹣15）+160×（25﹣20）＝1000元．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得1000元的利润．
（3）由题意40×[20（1+a%）﹣15]+160×[25（1﹣a%）﹣（20﹣3）]＝1000+160，
解得a＝10．
答：a的值是10．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意、搞清楚进价、销售量、利润之间 的关系，属于中考常考题型．
23．A、B两家葡萄园采摘葡萄的收费标准如下：
A葡萄园：入园采摘葡萄不超过4kg需付费40元，超过的部分每千克需另付a元．
B葡萄园：入园门票为每人12元，采摘的葡萄每千克另付b元．
已知甲分别在A、B两园采摘8kg葡萄时，付费相同；乙分别在A、B两园采摘5kg葡萄时，A园的收费比B园多3元．
（1）求a、b的值；
（2）若丙分别在A、B两园采摘mkg葡萄时，两园的收费相差40元，求m的值．
【分析】（1）根据“甲分别在A、B两园采摘8kg葡萄时，付费相同；乙分别在A、B两园采摘5kg葡萄时，A园的收费比B园多3元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）分m≤4，m＞4且A园比B园多收费40元，m＞4且B园比A园多收费40元三种情况考虑，根据两园的收费标准结合两园的收费相差40元，即可得出关于m的一元一次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：（1）依题意得：40+(8-4)a=12+8b[40+(5-4)a]-(12+5b)=3，
解得：a=5b=6．
答：a的值为5，b的值为6．
（2）分三种情况考虑：
①若m≤4，A园收费40元，则B园收费40+40＝80（元），
依题意得：12+6m＝80，
解得：m=343＞4（不合题意，舍去）；
②若m＞4，A园比B园多收费40元，
依题意得：40+5（m﹣4）＝12+6m+40，
解得：m＝﹣32（不合题意，舍去）；
③若m＞4，B园比A园多收费40元，
依题意得：40+5（m﹣4）＝12+6m﹣40，
解得：m＝48．
综上所述，m＝48．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
24．为了创建国家卫生城市，需要购买甲、乙（如图）两种类型的分类垃圾桶替换原来的垃圾桶，A，B，C三个小区所购买的两种类型的分类垃圾桶的数量和总价如下表所示．


甲型垃圾桶数量（套）
乙型垃圾桶数量（套）
总价（元）
A
10
8
3680
B
5
9
3140
C
a
b
2680
（1）问甲型垃圾桶、乙型垃圾桶的单价分别是每套多少元？
（2）求a，b的值．
【分析】（1）设甲型垃圾桶的单价为x元/套，乙型垃圾桶的单价为y元/套，利用总价＝单价×数量，结合A，B两个小区购买的两种类型的分类垃圾桶的数量和总价，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出两种类型的分类垃圾桶的单价；
（2）利用总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可求出a，b的值．
【解答】解：（1）设甲型垃圾桶的单价为x元/套，乙型垃圾桶的单价为y元/套，
依题意得：10x+8y=36805x+9y=3140，
解得：x=160y=260．
答：甲型垃圾桶的单价为160元/套，乙型垃圾桶的单价为260元/套．
（2）依题意得：160a+260b＝2680，
∴a=134-13b8．
又∵a，b均为正整数，
∴a=7b=6．
答：a的值为7，b的值为6．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
25．马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42千米．如下是关于某市今年全程马拉松比赛的部分信息．
①在起点、沿途每隔5千米处以及终点提供水、运动饮料、水果等补给，最后两个补给站之间为2千米；
②在起点、终点和沿途等距离设置若干个固定医疗站．
若每个补给站安排1个值班员，每个固定医疗或两站重合的都安排2个值班员，则需要64个值班员；若每个补给站安排2个值班员，每个固定值班站或两站重合的都安排3个值班员，则需要99个值班员．
（1）本次马拉松比赛共设置 　10　个补给站；
（2）沿途中，每两个固定医疗站之间距离是多少？
（3）沿途中，补给站和固定医疗站重合处距离起点多少千米？
【分析】（1）根据从起点开始前40千米每隔5千米一个补给站及最后两个补给站相隔2千米，即可求出本次马拉松比赛设置的补给站数；
（2）设有x个固定医疗站，两站重合的有y个，根据“若每个补给站安排1个值班员，每个固定医疗或两站重合的都安排2个值班员，则需要64个值班员；若每个补给站安排2个值班员，每个固定值班站或两站重合的都安排3个值班员，则需要99个值班员”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再由马拉松全程42千米，即可求出每两个固定医疗站之间距离；
（3）设从起点到终点方向上第m个补给站和第n个固定医疗站重合，根据补给站和医疗站的间隔，即可得出m=310n，由m、n均为正整数即可求出结论．
【解答】解：（1）（42﹣2）÷5+1+1＝10（个）．
故答案为：10；
（2）设有x个固定医疗站，两站重合的有y个，
根据题意得：(10-y)+2x=642(10-y)+3x=99，
解得：x=29y=4，
∴42÷（29﹣1）＝1.5（千米）．
答：沿途中，每两个固定医疗站之间的距离是1.5千米．
（3）设从起点到终点方向上第m个补给站和第n个固定医疗站重合，
根据题意得：5m＝1.5n，
∴m=310n．
∵m、n是正整数，
∴当n＝10时，m＝3，此时距离起点的距离＝5×3＝15（千米）；
当n＝20时，m＝6，此时距离起点的距离＝5×6＝30（千米）；
当n＝30时，m＝9，此时距离起点的距离＝5×9＝45＞42，不合题意，舍去．
综上所述：沿途中，补给站和固定医疗站重合处距离起点15千米或30千米．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据补给站的设置间隔，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据补给站和医疗站的间隔，找出m、n之间的关系．