2022-2023学年上学期杭州市初中数学九年级期末典型试卷

这是一份2022-2023学年上学期杭州市初中数学九年级期末典型试卷，共35页。
2022-2023学年上学期杭州市初中数学九年级期末典型试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2020秋•滨江区期末）在△ABC和△DEF中，AB＝3DE，AC＝3DF，∠A＝∠D．如果△ABC的周长为24，面积为18，则△DEF的周长、面积分别是（　　）
A．8，6 B．8，2 C．，6 D．，2
2．（2020秋•滨江区期末）四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C的度数是（　　）
A．60° B．80° C．100° D．120°
3．（2020秋•杭州期末）下列事件中，属于不可能事件的是（　　）
A．a是实数，则|a|≥0
B．任意一个三角形都有外接圆
C．抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6
D．一匹马奔跑的速度是每秒100米
4．（2020秋•江干区期末）关于二次函数y＝﹣x2+2x的最值，下列叙述正确的是（　　）
A．当x＝2时，y有最小值0 B．当x＝2时，y有最大值0
C．当x＝1时，y有最小值1 D．当x＝1时，y有最大值1
5．（2020秋•江干区期末）已知二次函数y＝2mx2+（2﹣m）x，它的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2020秋•江干区期末）如图，直线l1∥l2∥l3，则（　　）

A． B． C． D．
7．（2020秋•江干区期末）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，若OE＝3，AE＝4，则下列说法正确的是（　　）

A．AC的长为 B．CE的长为3 C．CD的长为12 D．AD的长为10
8．（2020秋•滨江区期末）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝40°，∠ABC＝70°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连接CD，则∠AEB等于（　　）

A．70° B．90° C．110° D．120°
9．（2020秋•杭州期末）如图，在⊙O中，AB、DC是⊙O的直径，若∠DOA＝70°，则∠C＝（　　）

A．20° B．35° C．55° D．70°
10．（2020秋•杭州期末）已知二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，且图象经过两点A（1，n），B（m+2，n），则m、n满足的关系为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
11．（2020秋•江干区期末）已知抛物线y＝（x+1）2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为　 　．
12．（2020秋•杭州期末）已知圆心角为60°的扇形的弧长为π，则扇形的半径为　 　．
13．（2020秋•滨江区期末）若扇形的面积为24π，圆心角为216°，则它的弧长是　 　．
14．（2020秋•江干区期末）如图是一张矩形纸片，E是AB的中点，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线BD上的点F处，AB＝2，则CB＝　 　．

15．（2020秋•江干区期末）已知线段AB长是2，P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，那么AP长为　 　．
16．（2020秋•滨江区期末）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．房价定为　 　元时，宾馆利润最大，最大利润是　 　元．
三．解答题（共8小题）
17．（2020秋•杭州期末）设有3个型号相同的杯子，其中一等品2个，二等品1个．从中任取1个杯子，记下等级后放回，第二次再从中取1个杯子．求：
（1）第一次取出的杯子是一等品的概率．
（2）用树状图或列表的方法求两次取出都是一等品的概率．
18．（2020秋•滨江区期末）在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x2+bx+c图象过点A（m，0），B（m+3，0）．
（1）当m＝1时，求该函数的表达式；
（2）证明该函数的图象必过点（m+1，2）；
（3）求该函数的最大值．
19．（2020秋•杭州期末）已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（2，3），求函数y的表达式．
（2）若a＞0，当x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
（3）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，求a的值．
20．（2020秋•江干区期末）已知函数y1＝（x+m）（x﹣m﹣1），y2＝ax+m（a≠0）在同一平面直角坐标系中．
（1）若y1经过点（1，﹣2），求y1的函数表达式．
（2）若y2经过点（1，m+1），判断y1与y2图象交点的个数，说明理由．
（3）若y1经过点（，0），且对任意x，都有y1＞y2，请利用图象求a的取值范围．
21．（2020秋•杭州期末）商店销售某商品，销售中发现，该商品每天的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间存在如图所示的关系．其中成本为20元/个．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）为了保证每天利润不低于1300元，单价不高于30元/个，那么商品的销售单价应该定在什么范围？

22．（2020秋•杭州期末）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹；
（2）若△ABC是等腰三角形，设底边BC＝8，腰AB＝5，求该轮的半径R．

23．（2020秋•杭州期末）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC＝2∠ABE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）当△BCE是等腰三角形时，求∠BCE的大小；
（3）当AE＝4，CE＝6时，求边BC的长．

24．（2020秋•江干区期末）已知钝角三角形ABC内接于⊙O，E、D分别为AC、BC的中点，连接DE．
（1）如图1，当点A、D、O在同一条直线上时，求证：DE＝AC．
（2）如图2，当A、D、O不在同一条直线上时，取AO的中点F，连接FD交AC于点G，当AB+AC＝2AG时．
①求证：△DEG是等腰三角形；
②如图3，连OD并延长交⊙O于点H，连接AH．求证：AH∥FG．


2022-2023学年上学期杭州市初中数学九年级期末典型试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2020秋•滨江区期末）在△ABC和△DEF中，AB＝3DE，AC＝3DF，∠A＝∠D．如果△ABC的周长为24，面积为18，则△DEF的周长、面积分别是（　　）
A．8，6 B．8，2 C．，6 D．，2
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】计算题；证明题；运算能力；推理能力；应用意识．
【分析】由AB＝3DE，AC＝3DF，可得＝3，＝3，可得＝，由∠A＝∠D，可证明△ABC∽△DEF，再根据相似三角形性质即可求得结论．
【解答】解：在△ABC和△DEF中，
∵AB＝3DE，
∴＝3，
∵AC＝3DF，
∴＝3，
∴＝，
∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEF，
∴＝＝3，
∵△ABC的周长为24，
∴△DEF的周长＝×24＝8，
∴＝＝32＝9
∵S△ABC＝18，
∴S△DEF＝S△ABC＝2．
故选：B．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，是一道基础题，熟练掌握和灵活运用相似三角形性质是解答本题的关键．
2．（2020秋•滨江区期末）四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C的度数是（　　）
A．60° B．80° C．100° D．120°
【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝180°，再求出答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠C＝120°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，注意：圆内接四边形的对角互补．
3．（2020秋•杭州期末）下列事件中，属于不可能事件的是（　　）
A．a是实数，则|a|≥0
B．任意一个三角形都有外接圆
C．抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6
D．一匹马奔跑的速度是每秒100米
【考点】非负数的性质：绝对值；三角形的外接圆与外心；随机事件．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、a是实数，则|a|≥0，是必然事件；
B、任意一个三角形都有外接圆，是随机事件；
C、抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6，是随机事件；
D、一匹马奔跑的速度是每秒100米，是不可能事件；
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．（2020秋•江干区期末）关于二次函数y＝﹣x2+2x的最值，下列叙述正确的是（　　）
A．当x＝2时，y有最小值0 B．当x＝2时，y有最大值0
C．当x＝1时，y有最小值1 D．当x＝1时，y有最大值1
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．
【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，1），
∴当x＝1时，y有最大值1；
∴D正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
5．（2020秋•江干区期末）已知二次函数y＝2mx2+（2﹣m）x，它的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，利用分类讨论的方法，可以判断各个选项中的图象是否正确，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝2mx2+（2﹣m）x，
∴当x＝0时，y＝0，
即该函数的图象过点（0，0），故选项A错误；
该函数的顶点的横坐标为﹣＝﹣，
当m＞0时，该函数图象开口向上，顶点的横坐标小于，故选项B正确，选项C错误；
当m＜0时，该函数图象开口向下，顶点的横坐标大于，故选项D错误；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6．（2020秋•江干区期末）如图，直线l1∥l2∥l3，则（　　）

A． B． C． D．
【考点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；几何直观．
【分析】根据相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理得到＝或＝，然后利用比例的性质得到＝，于是可对各选项进行判断．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝或＝，
∴＝．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
7．（2020秋•江干区期末）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，若OE＝3，AE＝4，则下列说法正确的是（　　）

A．AC的长为 B．CE的长为3 C．CD的长为12 D．AD的长为10
【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】连接OA，根据勾股定理求出OA，求出CE和DE，再根据勾股定理求出AD，再得出答案即可．
【解答】解：连接OA，

∵AB⊥CD，
∴∠AED＝∠AEC＝90°，
由勾股定理得：OA＝＝＝5，
即OC＝OD＝5，
∴CD＝10，
∵OE＝3，
∴CE＝OC﹣OE＝5﹣3＝2，DE＝OE+OD＝3+5＝8，
∴AD＝＝＝4，
即只有选项A正确，选项B、选项C、选项D都错误；
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识点，能熟记勾股定理是解此题的关键．
8．（2020秋•滨江区期末）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝40°，∠ABC＝70°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连接CD，则∠AEB等于（　　）

A．70° B．90° C．110° D．120°
【考点】三角形的外接圆与外心．
【专题】三角形；圆的有关概念及性质；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】先利用圆周角定理得到∠BCD＝90°，∠D＝∠A＝40°，则利用互余计算出∠DBC＝50°，再计算出∠ABE，然后根据三角形内角和可计算出∠AEB的度数．
【解答】解：∵∠A＝40°，
∴∠D＝∠A＝40°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠D＝50°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠DBC＝20°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠A+∠ABE）＝180°﹣（40°+20°）＝120°，
故选：D．
【点评】本题重点考查了圆周角定理、三角形的内角和，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等．
9．（2020秋•杭州期末）如图，在⊙O中，AB、DC是⊙O的直径，若∠DOA＝70°，则∠C＝（　　）

A．20° B．35° C．55° D．70°
【考点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆的认识．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【分析】利用等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题．
【解答】解：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠C，
∵∠AOD＝∠A+∠C＝70°，
∴∠C＝35°，
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．（2020秋•杭州期末）已知二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，且图象经过两点A（1，n），B（m+2，n），则m、n满足的关系为（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念．
【分析】点A、B的纵坐标相同，则函数的对称轴为x＝（1+m+2）＝＝，解得b＝m+3，而二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，则△＝b2﹣4c＝（m+3）2﹣4c＝0，解得c＝（m+3）2，当x＝1时，y＝n＝1﹣b+c＝1﹣（m+3）+（m+3）2＝，即可求解．
【解答】解：∵点A、B的纵坐标相同，
∴函数的对称轴为x＝（1+m+2）＝＝，
解得b＝m+3，
∵二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，
则△＝b2﹣4c＝（m+3）2﹣4c＝0，解得c＝（m+3）2，
当x＝1时，y＝n＝1﹣b+c＝1﹣（m+3）+（m+3）2＝，
故选：C．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根据题意得出抛物线的对称轴方程是解答此题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．（2020秋•江干区期末）已知抛物线y＝（x+1）2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为　y＝(x﹣1)2+1　．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：抛物线y＝（x+1）2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为：y＝（x+1﹣2）2+1,即y＝(x﹣1)2+1．
故答案是：y＝(x﹣1)2+1．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
12．（2020秋•杭州期末）已知圆心角为60°的扇形的弧长为π，则扇形的半径为　3　．
【考点】弧长的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【分析】设扇形的半径为R，根据弧长公式和已知条件得出＝π，再求出答案即可．
【解答】解：设扇形的半径为R，
∵圆心角为60°的扇形的弧长为π，
∴＝π，
解得：R＝3，
∴扇形的半径为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了弧长的计算，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的弧长为．
13．（2020秋•滨江区期末）若扇形的面积为24π，圆心角为216°，则它的弧长是　π　．
【考点】弧长的计算；扇形面积的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【分析】设扇形的半径为R，弧长为l，根据扇形面积公式得出＝24π，求出R，再根据扇形的面积公式得出×l＝24π，求出l即可．
【解答】解：设扇形的半径为R，弧长为l，
∵扇形的面积为24π，圆心角为216°，
∴＝24π，
解得：R＝2（负数舍去），
∴×l＝24π，
解得：l＝π，
即它的弧长是π，
故答案为：π．
【点评】本题考查了弧长公式和扇形的面积计算，注意：已知扇形的圆心角是n°，半径为r，弧长为l，那么这个圆心角所对的弧的长度l＝，此扇形的面积S＝lr＝．
14．（2020秋•江干区期末）如图是一张矩形纸片，E是AB的中点，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线BD上的点F处，AB＝2，则CB＝　　．

【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【分析】由折叠的性质得出∠COD＝90°，证明△DCB∽△CBE，得出比例线段，设CB＝x，得出关于x的方程，则可得出答案．
【解答】解：如图，DB与CE交于点O，

∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线BD上的点F处，
∴CE⊥BF，
∴∠COD＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB＝∠ABC＝90°，AB＝DC＝2，
∴∠DCE+∠CDB＝∠DCE+∠ECB＝90°，
∴∠CDB＝∠ECB，
∴△DCB∽△CBE，
∴，
设CB＝x，
∵E是AB的中点，
∴BE＝1，
∴，
∴x＝（负值舍去），
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
15．（2020秋•江干区期末）已知线段AB长是2，P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，那么AP长为　﹣1　．
【考点】黄金分割．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段，得出AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．
【解答】解：∵P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，
∴P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段，
∴AP＝AB＝×2＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．
16．（2020秋•滨江区期末）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．房价定为　360　元时，宾馆利润最大，最大利润是　10240　元．
【考点】二次函数的应用．
【专题】销售问题；二次函数图象及其性质；二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【分析】设空闲房间为x个，则定价增加了10x元，设宾馆的利润为y元，根据利润等于（定价﹣40）×有人居住的房间数，可得y关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：设空闲房间为x个，则定价增加了10x元，设宾馆的利润为y元，由题意得：
y＝（180+10x﹣40）（50﹣x）
＝﹣10x2+360x+7000
＝﹣10（x﹣18）2+10240，
∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下，
∴当x＝18时，y有最大值，为10240．
此时房间定价为180+10×18＝360（元）．
∴房间定价为360元时，利润最大，最大利润为10240元．
故答案为：360，10240．
【点评】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．（2020秋•杭州期末）设有3个型号相同的杯子，其中一等品2个，二等品1个．从中任取1个杯子，记下等级后放回，第二次再从中取1个杯子．求：
（1）第一次取出的杯子是一等品的概率．
（2）用树状图或列表的方法求两次取出都是一等品的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意列出树状图得出所有等可能的情况数，找出两次取出都是一等品的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵有3个型号相同的杯子，其中一等品2个，二等品1个，
∴第一次取出的杯子是一等品的概率是．

（2）一等品杯子有A表示，二等品杯子有B表示，
根据题意画图如下：

由图可知，共有9种等可能的情况数；

（2）∵共有9种等可能的情况数，其中两次取出都是一等品的有4种，
∴两次取出都是一等品的概率是．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．（2020秋•滨江区期末）在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x2+bx+c图象过点A（m，0），B（m+3，0）．
（1）当m＝1时，求该函数的表达式；
（2）证明该函数的图象必过点（m+1，2）；
（3）求该函数的最大值．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【分析】（1）当m＝1时，A（1，0），B（4，0），然后利用交点式写出抛物线解析式；
（2）利用交点式表示出抛物线解析式为y＝﹣（x﹣m）（x﹣m﹣3），然后根据二次函数图象上点的坐标特征就行证明；
（3）利用配方法把交点式化为顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题．
【解答】（1）解：当m＝1时，A（1，0），B（4，0），
抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣4），
即y＝﹣x2+5x﹣4；
（2）证明：抛物线解析式为y＝﹣（x﹣m）（x﹣m﹣3），
当x＝m+1时，y＝﹣（m+1﹣m）（m+1﹣m﹣3）＝2，
所以该函数的图象必过点（m+1，2）；
（3）y＝﹣（x﹣m）（x﹣m﹣3）
＝﹣x2+（2m+3）x﹣m2﹣3m
＝﹣（x﹣）2+，
所以当x＝时，二次函数有最大值，最大值为．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
19．（2020秋•杭州期末）已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（2，3），求函数y的表达式．
（2）若a＞0，当x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
（3）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，求a的值．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】（1）把（2，3）代入y＝ax2+4ax+3a，即可求得a的值；
（2）由a＞0可知抛物线开口向上，求得对称轴为直线x＝﹣2，根据二次函数的性质得到，解得m≤﹣6；
（3）分两种情况讨论，得到关于a的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）把（2，3）代入y＝ax2+4ax+3a，得3＝4a+8a+3a，
解得：，
∴函数y的表达式y＝x2+x+；
（2）∵抛物线得对称轴为直线x＝，a＞0，
∴抛物线开口向上，当x≤﹣2时，二次函数y随x的增大而减小，
∵时，此二次函数y随着x的增大而减小，
∴，即m≤﹣6；
（3）由题意得：y＝a（x+2）2﹣a，
∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3
①当a＞0 时，开口向上
∴当x＝1时，y有最大值8a，
∴8a＝3，
∴；
②当a＜0 时，开口向下，
∴当x＝﹣2时，y有最大值﹣a，
∴﹣a＝3，
∴a＝﹣3，
综上，或a＝﹣3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键：（1）把（2，3）代入y＝ax2+4ax+3a；（2）根据二次函数的性质得到；（3）分开口向上和开口向下两种情况讨论．
20．（2020秋•江干区期末）已知函数y1＝（x+m）（x﹣m﹣1），y2＝ax+m（a≠0）在同一平面直角坐标系中．
（1）若y1经过点（1，﹣2），求y1的函数表达式．
（2）若y2经过点（1，m+1），判断y1与y2图象交点的个数，说明理由．
（3）若y1经过点（，0），且对任意x，都有y1＞y2，请利用图象求a的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【专题】数形结合；函数思想；判别式法；空间观念．
【分析】（1）将（1，﹣2）代入y1＝（x+m）（x﹣m﹣1）可得m的值，从而得到答案，
（2）将（1，m+1）代入y2＝ax+m得到a，再联立y1、y2判断解的个数从而得到交点个数，
（3）将点（，0）代入y1可得m的值，再联立y1、y2求出图象只有一个交点时a的值，观察图象得到无交点时a的范围即得答案．
【解答】解：y1＝（x+m）（x﹣m﹣1）＝x2﹣x﹣m2﹣m
（1）将（1，﹣2）代入y1＝x2﹣x﹣m2﹣m得：
﹣2＝12﹣1﹣m2﹣m，解得m1＝﹣2，m2＝1，
m1＝﹣2时，y1＝x2﹣x﹣2，
m2＝1时，y1＝x2﹣x﹣2，
∴y1的函数表达式为：y1＝x2﹣x﹣2，
故答案为：y1＝x2﹣x﹣2；
（2）将点（1，m+1）代入y2＝ax+m得：
m+1＝a+m，解得a＝1，
∴y2＝x+m，
由得x2﹣2x﹣m2﹣2m＝0，
∴△＝（﹣2）2﹣4（﹣m2﹣2m）＝4m2+8m+4＝4（m+1）2，
∵4（m+1）2≥0，
∴△≥0，当m＝﹣1时Δ＝0，当m≠﹣1时Δ＞0，
∴总有实数解，m＝﹣1时有一组解，当m≠﹣1时有两组解，
∴y1与y2图象总有交点，当m＝﹣1时有一个交点，当m≠﹣1时有两个交点，
故答案为：1或2；
（3）将点（，0）代入y1＝x2﹣x﹣m2﹣m可得m1＝m2＝﹣，
∴y1＝x2﹣x+，y2＝ax﹣，
由得x2﹣（a+1）x+＝0，
∴△＝[﹣（a+1）]2﹣3＝（a+1）2﹣3，
若Δ＝0，则只有一组解，即y1、y2图象只有一个交点，
此时（a+1）2﹣3＝0，解得a＝﹣1或a＝﹣﹣1，
如下图，如果y1、y2图象没有交点，则对任意x，都有y1＞y2，
由图象可知此时0＜a＜﹣1或﹣﹣1＜a＜0，
故答案为：0＜a＜﹣1或﹣﹣1＜a＜0．

【点评】本题考查函数一次函数、二次函数表达式及图象的交点，关键是判断△的符号，从而得出交点情况．
21．（2020秋•杭州期末）商店销售某商品，销售中发现，该商品每天的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间存在如图所示的关系．其中成本为20元/个．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）为了保证每天利润不低于1300元，单价不高于30元/个，那么商品的销售单价应该定在什么范围？

【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设捐款后每天的剩余利润为w元，根据“单个利润×销售数量”列出函数解析式，求出w＝1300时x的值，利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）．
将（25，900），（28，600）代入y＝kx+b中，得：，
解得：，
∴y与之间的函数关系式为y＝﹣100x+3400．

（2）设捐款后每天的剩余利润为w元，
依题意，得：w＝（x﹣20）（﹣100x+3400）＝﹣100x2+5400x﹣68000，
令w＝1300，则﹣100x2+5400x﹣68000＝1300，
解得x1＝21，x2＝33，
∵﹣100＜0，x≤30，
∴抛物线开口向下，
∴当该商品的销售单价每支不低于21元且不高于30元时，可保证每天利润不低于1300元．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题时学会用待定系数法求解函数解析式，并将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
22．（2020秋•杭州期末）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹；
（2）若△ABC是等腰三角形，设底边BC＝8，腰AB＝5，求该轮的半径R．

【考点】等腰三角形的性质；垂径定理的应用；作图—应用与设计作图．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心．
（2）设该轮的半径为R，在Rt△BOD中，利用勾股定理解决问题即可．
【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；

（2）连接AO、BC相交于点D，连接OB，
∵BC＝8，
∴BD＝4，
∵AB＝5，
∴AD＝3，
设该轮的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝R﹣3，
∴R2＝42+（R﹣3）2，
解得：R＝，
∴该轮的半径R为．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（2020秋•杭州期末）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC＝2∠ABE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）当△BCE是等腰三角形时，求∠BCE的大小；
（3）当AE＝4，CE＝6时，求边BC的长．

【考点】圆的综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）欲证明AB＝AC，只要证明∠ABC＝∠ACB即可．
（2）分三种情形：①BE＝BC，②BC＝CE，③BE＝CE，分别利用等腰三角形的性质求解即可．
（3）连接AO并延长，交BC于点F，由AF∥CD，推出，可得OE＝OD，DE＝OD，CD＝OA，证明△ABE∽△DCE，可得，推出AE•CE＝DE•BE＝24，求出OD＝，再利用勾股定理，可得结论．
【解答】（1）证明：∵直径BD，
∴∠ABE+∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝2∠ABE，∠ADB＝∠ACB，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝90°∠BAC，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝90°∠BAC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AB＝AC；

（2）解：由题意可知：∠BEC＝3∠ABE．
分情况：
①BE＝BC，
那么∠ACB＝∠BEC＝3∠ABE，∠EBC＝2∠ABE，
∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝8∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝22.5°，
∴∠BCE＝3∠ABE＝67.5°．
②BC＝CE，
那么∠EBC＝∠BEC＝3∠ABD，
∠ACB＝∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝4∠ABE，
∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝10∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝18°，
∴∠BCE＝4∠ABE＝72°．
③BE＝CE，此时E，A重合，舍去，
综上所述，满足条件的∠BCE的值为67.5°或72°；

（3）解：连接AO并延长，交BC于点F，

根据等腰三角形三线合一可知AF⊥BC，
∵直径BD，
∴∠BCD＝90°，
∴AF∥CD，
∴，
∴OE＝OD，DE＝OD，CD＝OA，
∵∠AEB＝∠DEC，∠ABE＝∠DCE，
∴△ABE∽△DCE，
∴，
∴AE•CE＝DE•BE＝24，
∵OB＝OD＝OA，
∴OD•OD＝24，
∴OD＝＝OA，
∴CD＝，BD＝，
在直角△BCD中，BC2+CD2＝BD2，
∴BC＝．
【点评】本题属于圆综合题，考查了等腰三角形的性质和判定，垂径定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
24．（2020秋•江干区期末）已知钝角三角形ABC内接于⊙O，E、D分别为AC、BC的中点，连接DE．
（1）如图1，当点A、D、O在同一条直线上时，求证：DE＝AC．
（2）如图2，当A、D、O不在同一条直线上时，取AO的中点F，连接FD交AC于点G，当AB+AC＝2AG时．
①求证：△DEG是等腰三角形；
②如图3，连OD并延长交⊙O于点H，连接AH．求证：AH∥FG．

【考点】圆的综合题．
【专题】证明题；圆的有关概念及性质；几何直观；推理能力．
【分析】（1）先根据垂径定理证明AB＝AC，然后根据三角形的中位线解答即可；
（2）①由中位线的性质和中点的定义可得AB＝2DE，AC＝2AE，从而得到AE+DE＝AG，由图知：AE+EG＝AG，可证DE＝EG；
②延长HO交⊙O于点N，连接OB，OC，BN，CN，由等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠EGD＝∠AED，由平行线的性质和圆内接四边形的性质可证：∠AED＝∠BNC，进而可证∠CAH＝∠EGD，利用平行线判定定理即可证得结论．
【解答】解：（1）证明：∵D是BC的中点，点A、D、O在同一条直线上，
∴OD⊥BC，
∴＝，
∴AB＝AC，
∵E、D分别为AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AB，
∴DE＝AC．
（2）①∵E、D分别为AC、BC的中点，
∴AB＝2DE，AC＝2AE，
∵AB+AC＝2AG，
∴2DE+2AE＝2AG，
∴DE+AE＝AG，
∵AE+EG＝AG，
∴DE＝EG，
∴△DEG是等腰三角形．
②延长HO交⊙O于点N，连接OB，OC，BN，CN，
∵DE＝EG，
∴∠EDG＝∠EGD，
∴∠AED＝∠EDG+∠EGD＝2∠EGD，
∴∠EGD＝∠AED，
∵DE∥AB，
∴∠BAC+∠AED＝180°，
∵∠BAC+∠BNC＝180°，
∴∠AED＝∠BNC，
∵HO⊥BC，
∴∠BOC＝2∠COH，
∵∠BOC＝2∠BNC，
∴∠COH＝∠BNC，
∵∠CAH＝∠COH＝∠BNC，
∴∠CAH＝∠EGD，
∴AH∥FG．



【点评】本题考查了平行线的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质三角形中位线的判定和性质，圆内接四边形的性质，垂径定理，以及圆周角定理等重要知识点，正确添加辅助线是解答本题的关键．