2022-2023学年上学期武汉初中数学九年级期中典型试卷

这是一份2022-2023学年上学期武汉初中数学九年级期中典型试卷，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上学期武汉初中数学九年级期中典型试卷
一、选择题（共11小题）
1．（2021•盐城）设、是一元二次方程的两个根，则的值为　　
A． B． C．2 D．3
2．（2021•新泰市模拟）抛物线与直线在同一坐标系中的大致图象可能为　　
A． B．
C． D．
3．（2020秋•武汉期末）将方程化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别是　　
A．3，，1 B．3，6，1 C．3，1， D．3，1，6
4．（2020秋•武昌区期中）一元二次方程的根为　　
A．0 B．1 C．0或1 D．0或
5．（2020秋•渠县期末）关于的一元二次方程的一个根为，则的值为　　
A． B． C．1 D．2
6．（2020秋•硚口区期中）如果把方程化为的形式，则，的值分别是　　
A．5， B．， C．，16 D．5，16
7．（2020秋•江汉区期中）已知，都为实数，则式子的最大值是　　
A．0 B． C． D．12
8．（2020秋•江汉区期中）学校要组织一次篮球赛，赛制为单循环制（每两个班之间都赛一场），计划安排15场比赛．设参加球赛的班级有个，所列方程正确的为　　
A． B． C． D．
9．（2020秋•黄陂区期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
10．（2018•南岗区模拟）抛物线的对称轴是　　
A． B． C． D．
11．（2017•虎林市校级模拟）要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，则参赛球队的个数是　　
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
二、填空题（共7小题）
12．（2020秋•攸县期末）一元二次方程的根是　　．
13．（2020秋•武汉期中）已知4是方程的一个根，则方程的另一个根是　　．
14．（2020秋•武汉期中）要为一幅长，宽的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四分之一，设相框边的宽度为，则可列出关于的一元二次方程　　．
15．（2020秋•武昌区校级期中）如果是方程的一个根，这个方程的另一个根为　　．
16．（2020秋•黄陂区期中）将一元二次方程化为一般形式后二次项系数为3，则一次项系数为　　．
17．（2020秋•洪山区期中）若是方程的根，则　　．
18．（2018•怀化）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是　　．
三、解答题（共7小题）
19．（2020秋•武昌区校级期中）新铺村种的水稻2018年平均亩产，2020年平均亩产，求水稻亩产量的年平均增长率．
20．（2020秋•武昌区期中）若，是方程的两个不相等的实数根，求的值．
21．（2020秋•青山区期中）二次函数中的，满足如表：



0
1
2
3



0





（1）求抛物线的解析式；
（2）求的值．
22．（2020秋•硚口区期中）已知二次函数．
（1）写出开口方向及顶点坐标；
（2）写出满足　　时，随增大而减小；
（3）当时，函数的取值范围是　　；
（4）当时，自变量的取值范围是　　．
23．（2020秋•洪山区期中）如图1，抛物线（其中为大于的常数）交坐标轴于、、三点．
（1）当时，
①直接写出、、的坐标　　、　　、　　；
②点在抛物线上，且满足，试求点坐标；
（2）如图2，点在抛物线上且位于轴下方，直线、分别交轴于、两点，轴于．若，试求的值．

24．（2020秋•洪山区期中）某商场主营玩具销售，经市场调查发现，某种玩具的月销量（件是售价（元件）的一次函数，该玩具的月销售总利润（售价成本）月销量，三者有如下数据：
售价（元件）
15
20
30
月销量（件
500
400
200
月销售总利润（元
2500
4000
4000
（1）试求关于的函数关系式的取值范围不必写出）；
（2）玩具的成本为　　元，当玩具售价　　元时，月销售总利润有最大值　　元；
（3）受市场波动原因，从本月起，该玩具成本上涨元件，且物价局规定该玩具售价最高不得超过25元件．若月销量与售价仍满足（1）中的关系，预计本月总利润最高为3000元，请你求出的值．
25．（2020秋•洪山区期中）如图为二次函数的图象，试根据图象回答下列问题：
（1）方程的解为　　；
（2）当时，的取值范围是　　；
（3）当时，的取值范围是　　．


2022-2023学年上学期武汉初中数学九年级期中典型试卷1
参考答案与试题解析
一、选择题（共11小题）
1．（2021•盐城）设、是一元二次方程的两个根，则的值为　　
A． B． C．2 D．3
【答案】
【考点】根与系数的关系
【专题】方程思想
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可以直接求得的值．
【解答】解：一元二次方程的二次项系数是，一次项系数，
由韦达定理，得
．
故选：．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
2．（2021•新泰市模拟）抛物线与直线在同一坐标系中的大致图象可能为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象
【专题】函数及其图象；应用意识
【分析】根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中、、的正负情况，注意，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意．
【解答】解：选项中，由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，，故选项不符合题意；
选项中，由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，，故选项符合题意；
选项中，由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，，故选项不符合题意；
选项中，由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，，故选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．（2020秋•武汉期末）将方程化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别是　　
A．3，，1 B．3，6，1 C．3，1， D．3，1，6
【答案】
【考点】：一元二次方程的一般形式
【分析】方程整理后为一般形式，找出二次项系数与一次项系数即可．
【解答】解：方程整理得：，
二次项系数为3；一次项系数为，常数项为1，
故选：．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
4．（2020秋•武昌区期中）一元二次方程的根为　　
A．0 B．1 C．0或1 D．0或
【答案】
【考点】解一元二次方程因式分解法
【分析】先移项，再两边都除以3，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：，
，
，
或，
故选：．
【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解．
5．（2020秋•渠县期末）关于的一元二次方程的一个根为，则的值为　　
A． B． C．1 D．2
【答案】
【考点】一元二次方程的解
【专题】一元二次方程及应用；运算能力
【分析】直接利用一元二次方程的解的意义将代入求出答案．
【解答】解：关于的一元二次方程的一个根是，
，
解得：．
故选：．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，正确理解一元二次方程解的意义是解题关键．
6．（2020秋•硚口区期中）如果把方程化为的形式，则，的值分别是　　
A．5， B．， C．，16 D．5，16
【答案】
【考点】解一元二次方程配方法
【专题】运算能力；一元二次方程及应用
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤求解即可．
【解答】解：，
，即，
则，，
故选：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
7．（2020秋•江汉区期中）已知，都为实数，则式子的最大值是　　
A．0 B． C． D．12
【答案】
【考点】非负数的性质：偶次方；配方法的应用
【专题】运算能力；整式
【分析】先提负号，再将拆成，配方，根据平方后完全平方的最小值为0，可解答此题；注意当以后遇到、，、、都存在时，就应考虑配凑成完全平方求最值．
【解答】解：


，
要求原式的最大值，即求的最小值，
显然，当，，即，时，取得最小值为，
式子的最大值是12，
故选：．
【点评】此题考查了配方法的应用，非负数的性质：偶次幂，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8．（2020秋•江汉区期中）学校要组织一次篮球赛，赛制为单循环制（每两个班之间都赛一场），计划安排15场比赛．设参加球赛的班级有个，所列方程正确的为　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】：由实际问题抽象出一元二次方程
【专题】521：一次方程（组及应用
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），个球队比赛总场数，由此可得出方程．
【解答】解：设邀请个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得，，
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．
9．（2020秋•黄陂区期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】一元二次方程的定义
【专题】模型思想；一元二次方程及应用
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：关于的方程是一元二次方程，
，
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
10．（2018•南岗区模拟）抛物线的对称轴是　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】二次函数的性质
【分析】根据抛物线的对称轴是直线进行计算．
【解答】解：抛物线的对称轴是直线．
故选：．
【点评】此题考查了抛物线的对称轴的求法，能够熟练运用公式法求解，也能够运用配方法求解．
11．（2017•虎林市校级模拟）要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，则参赛球队的个数是　　
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】
【考点】：一元二次方程的应用
【分析】根据赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），个球队比赛总场数，由此列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设参赛球队的个数是，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
则参赛球队的个数是6个；
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的应用，读懂题意，得到总场数与球队之间的关系是解决本题的关键．
二、填空题（共7小题）
12．（2020秋•攸县期末）一元二次方程的根是　，　．
【答案】，．
【考点】：解一元二次方程因式分解法
【专题】523：一元二次方程及应用；66：运算能力
【分析】利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：，
可得或，
解得：，，
故答案为，．
【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程左边化为积的形式，右边化为0，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
13．（2020秋•武汉期中）已知4是方程的一个根，则方程的另一个根是　　．
【考点】：根与系数的关系；：解一元二次方程直接开平方法
【专题】11：计算题；523：一元二次方程及应用
【分析】可将该方程的已知根4代入两根之和公式列出方程，解方程即可求出方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一个根为，
则，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
14．（2020秋•武汉期中）要为一幅长，宽的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四分之一，设相框边的宽度为，则可列出关于的一元二次方程　　．
【答案】．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【专题】应用意识；几何图形问题
【分析】根据相框所占面积为照片面积的四分之一，可得配上相框后的图形的面积是照片面积的，进而得出等式即可．
【解答】解：设相框边的宽度为，则可列方程为：
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示配上相框后的图形的面积是解题关键．
15．（2020秋•武昌区校级期中）如果是方程的一个根，这个方程的另一个根为　　．
【答案】．
【考点】：解一元二次方程直接开平方法
【专题】523：一元二次方程及应用；66：运算能力
【分析】将代入方程得出的值，从而还原方程，再利用直接开平方法求解即可得出答案．
【解答】解：将代入方程，得：，
解得，
方程为，
则，
或，
即这个方程的另一个根为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
16．（2020秋•黄陂区期中）将一元二次方程化为一般形式后二次项系数为3，则一次项系数为　　．
【答案】．
【考点】一元二次方程的一般形式
【专题】模型思想；一元二次方程及应用
【分析】要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．
【解答】解：一元二次方程化为一般形式为，
二次项系数和一次项系数分别为3，，
故答案是：．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，，是常数且，特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
17．（2020秋•洪山区期中）若是方程的根，则　3　．
【答案】3．
【考点】一元二次方程的解
【专题】一元二次方程及应用；应用意识
【分析】将代入已知方程中，列出关于系数的新方程，通过解新方程即可求得的值．
【解答】解：是方程的一个根，
，
解得，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
18．（2018•怀化）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是　1　．
【考点】根的判别式
【分析】由于关于的一元二次方程有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于的方程，解答即可．
【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
△，
，
，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得△，此题难度不大．
三、解答题（共7小题）
19．（2020秋•武昌区校级期中）新铺村种的水稻2018年平均亩产，2020年平均亩产，求水稻亩产量的年平均增长率．
【答案】．
【考点】：一元二次方程的应用
【专题】523：一元二次方程及应用；69：应用意识
【分析】设水稻亩产量的年平均增长率为，根据“2018年平均亩产加增长率的平方年平均亩产”即可列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：水稻亩产量的年平均增长率为，
根据题意得：，
解得：或（舍去）．
答：水稻亩产量的年平均增长率为．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于的一元二次方程是解题的关键．
20．（2020秋•武昌区期中）若，是方程的两个不相等的实数根，求的值．
【答案】2020．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解
【专题】一元二次方程及应用；推理能力
【分析】利用根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出，，将其代入中即可求出结论．
【解答】解：，是方程的两个不相等的实数根，
，，
．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
21．（2020秋•青山区期中）二次函数中的，满足如表：



0
1
2
3



0





（1）求抛物线的解析式；
（2）求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力
【分析】（1）取两组对应值代入得到关于、的方程组，然后解方程组即可；
（2）把代入二次函数的解析式求解即可．
【解答】解：（1）由题意可知，抛物线经过，，
，
解得：，
所以抛物线的解析式为：；
（2）把代入，可得，
所以．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
22．（2020秋•硚口区期中）已知二次函数．
（1）写出开口方向及顶点坐标；
（2）写出满足　　时，随增大而减小；
（3）当时，函数的取值范围是　　；
（4）当时，自变量的取值范围是　　．
【答案】（1）开口向上，顶点坐标为；（2）；（3）；（4）或．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质
【专题】推理能力；二次函数图象及其性质
【分析】（1）根据顶点式直接写出开口方向及顶点坐标即可；
（2）根据对称轴和开口方向确定增减性即可；
（3）根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围即可；
（4）根据函数值的取值范围确定自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）中，
所以开口向上，顶点坐标为；

（2）对称轴为，开口向上，
当时，随着的增大而减小，
故答案为：；

（3）当时，，
当时，，
二次函数中当时有最小值，
当时，函数的取值范围是，
故答案为：；

（4）令，
解得：或，
开口向上，
当时，自变量的取值范围是或．
【点评】考查了二次函数的性质，解题的关键是能够确定二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标并能确定其增减性，难度中等．
23．（2020秋•洪山区期中）如图1，抛物线（其中为大于的常数）交坐标轴于、、三点．
（1）当时，
①直接写出、、的坐标　　、　　、　　；
②点在抛物线上，且满足，试求点坐标；
（2）如图2，点在抛物线上且位于轴下方，直线、分别交轴于、两点，轴于．若，试求的值．

【答案】（1）①、、；②点的坐标为，或，；
（2）．
【考点】二次函数综合题
【专题】分类讨论；代数几何综合题；数据分析观念
【分析】（1）①令，解得或1，令，则，即可求解；
②当点在轴上方时，证明，则，进而求解；当点在轴下方时，同理可得点，；
（2）确定直线的表达式为②，则，进而求出，同理可得，进而求解．
【解答】解：（1）①当时，，
令，解得或1，令，则，
故点、、的坐标分别为、、，

故答案为：、、；
②当点在轴上方时，
设直线交轴于点，
，，，
，
，
由点、的坐标得，直线的表达式为，
则，解得（不合题意的值已舍去），
故点的坐标为，；
当点在轴下方时，
同理可得点，；
故点的坐标为，或，；

（2）对于①，
令，
解得或，令，则，
故点、、的坐标分别为、、，
设直线的表达式为，
将点的坐标代入上式并解得，
故直线的表达式为②，
则，
联立①②并整理得：，
则
而，故，
设直线的表达式为，
将点的坐标代入上式并解得：，
则直线的表达式为③，
则，
同理可得：，
故，解得：，
而，
将代入，
故，
则，
则．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、根与系数关系的运用、三角形全等等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
24．（2020秋•洪山区期中）某商场主营玩具销售，经市场调查发现，某种玩具的月销量（件是售价（元件）的一次函数，该玩具的月销售总利润（售价成本）月销量，三者有如下数据：
售价（元件）
15
20
30
月销量（件
500
400
200
月销售总利润（元
2500
4000
4000
（1）试求关于的函数关系式的取值范围不必写出）；
（2）玩具的成本为　10　元，当玩具售价　　元时，月销售总利润有最大值　　元；
（3）受市场波动原因，从本月起，该玩具成本上涨元件，且物价局规定该玩具售价最高不得超过25元件．若月销量与售价仍满足（1）中的关系，预计本月总利润最高为3000元，请你求出的值．
【答案】（1）；
（2）10，25，4500；
（3）．
【考点】二次函数的应用
【专题】数据分析观念；二次函数图象及其性质
【分析】（1）设关于的函数解析式为，用待定系数法求解即可；
（2）该商品进价等于周销售利润除以周销售量，再减去进价；根据周销售利润周销售量（售价进价），列出关于的二次函数，根据二次函数的性质可得答案；
（3）根据周销售利润周销售量（售价进价），列出关于的二次函数，根据题意及二次函数的性质得出取得最大利润时的售价，再列出关于的方程，求解即可．
【解答】解：（1）设函数表达式为，则，解得，
故关于的函数关系式为；

（2）设成本为元，
由题意得：，解得（元，
则，
，故有最大值，
当（元时，的最大值为4500（元；
故答案为10，25，4500；

（3）由题意得：，
则当时，有最大值，
由题意得且，
当时，有最大利润，
解得．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．
25．（2020秋•洪山区期中）如图为二次函数的图象，试根据图象回答下列问题：
（1）方程的解为　，　；
（2）当时，的取值范围是　　；
（3）当时，的取值范围是　　．

【答案】（1），；
（2）；
（3）．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；抛物线与轴的交点
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念
【分析】（1）令，解得，，即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）由抛物线的表达式知，顶点坐标为，，当时，，进而求解．
【解答】解：（1）令，解得或1，
故答案为，；
（2）从图象看，当时，的取值范围是，
故答案为；
（3）由抛物线的表达式知，顶点坐标为，，
当时，，
故当时，的取值范围是为．
【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．

考点卡片
1．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
3．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
4．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
5．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
6．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
7．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
8．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
9．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
10．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
11．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
12．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
13．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
14．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
15．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
16．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
17．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
18．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
19．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
20．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义