2021-2022学年上学期杭州市初中数学八年级期中典型试卷3

这是一份2021-2022学年上学期杭州市初中数学八年级期中典型试卷3，共35页。
A．由a（m2+1）＜b（m2+1）成立可推a＜b成立
B．由a（m2﹣1）＜b（m2﹣1）成立可推a＜b成立
C．由a（m+1）2＜b（m+1）2成立可推a＜b成立
D．由a（m+b）＜b（m+a）成立可推am＜bm成立
2．（2021秋•西湖区期中）如图，将三角形纸板直角顶点放在直尺上，∠1＝35°，∠2＝69°，则∠3的度数为（ ）
A．34°B．35°C．69°D．104°
3．（2021秋•西湖区期中）在正三角形ABC中，AD⊥BC交BC于D，则∠BAD的度数（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
4．（2021秋•杭州期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，点D是△ABC内一点，若AC＝AD，∠CAD＝30°，连接BD，则∠ADB的度数为（ ）
A．120°B．135°C．150°D．165°
5．（2021秋•杭州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD是△ABC的角平分线，若P，Q分别是AD和AC边上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
6．（2021秋•杭州期中）如图，一系列等腰直角三角形（编号分别为①、②、③、④、…）组成了一个螺旋形，其中第1个三角形的直角边长为1，则第n个等腰直角三角形的面积为（ ）
A．2n﹣3B．2n﹣2C．2n﹣1D．2n
7．（2021秋•杭州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD＝8，则CP的长为（ ）
A．3B．3.5C．4D．4.5
8．（2021秋•西湖区期中）下列各组线段中，首尾相接能组成三角形的是（ ）
A．a＝2cm，b＝3cm，c＝5cm
B．a＝1cm，b＝2cm，c＝3.5cm
C．a＝6.3cm，b＝6.3cm，c＝12.6cm
D．a＝6cm，b＝8cm，c＝13cm
9．（2021秋•西湖区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接BE，CD，若BD＝1，则△BCE的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．（2021秋•杭州期中）下列命题：①若ab＝0，则P（a，b）在坐标原点；②在平面直角坐标系中，若A（﹣1，﹣2），且AB平行于x轴，AB＝5，则B点的坐标为（4，﹣2）；③在平面直角坐标系中点，P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，﹣2）；④若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是a＞1，其中真命题的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二．填空题（共6小题）
11．（2021秋•杭州期中）若一个三角形的两边长分别为5和8，则下列长度：①14；②10；③3；④2．其中，可以作为第三边长的是 （填序号）
12．（2021秋•杭州期中）将点P（﹣2，y）先向下平移4个单位，再向左平移2个单位，然后把点关于x轴对称得到点Q（x，﹣1）、则x+y＝ ．
13．（2021秋•余杭区期中）直角三角形斜边上的高与中线分别为8cm和10cm，则它的面积是 cm2．
14．（2021秋•西湖区期中）如图，在△ABC中，∠A＝58°，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于点D，则∠BDC的度数为 ．
15．（2021秋•西湖区期中）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则斜边上的高线长度为 ．
16．（2021秋•余杭区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2021秋•西湖区期中）如图，OC平分∠AOB，CD⊥OA，交OA于点D，CE⊥OB，交OB于点E，M，N分别在OA，OB上，且OM＝ON．求证：△CDM≌△CEN．
18．（2021秋•余杭区期中）（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且AD＝BD＝BC，求∠A的度数；
（2）如图2，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB＝BC＝CD＝DE．
①若∠EDM＝84°，求∠A的度数：
②若以E为圆心，ED为半径作弧，与射线DM上没有交点（除D点外），直接写出∠A的取值范围．
19．（2021秋•西湖区期中）如图，BC⊥AC于点C，CD⊥AB于点D，BE∥CD．求证：∠EBC＝∠A．
20．（2021秋•杭州期中）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于m（直线m上的横坐标都为﹣2）的对称图形△A1B1C1；
（2）线段上有一点P（﹣，），直接写出点P关于直线m对称的点的坐标 ．
（3）线段BC上有一点M（a，b），点M关于直线m的对称点N（c，d），请直接写出a，c的关系： ；b，d的关系： ．
21．（2021秋•杭州期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
（1）求证AE＝AF．
（2）若AB+AC＝16，S△ABC＝24，∠EDF＝120°，求AD的长．
22．（2021秋•杭州期中）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；
（2）如图2，连接BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点；
（3）当E点在射线CB上，连接BF与直线AC交于G点，若BC＝4，BE＝3，则＝ （直接写出结果）
23．（2021秋•杭州期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AC上一动点．
（1）如图1，点E、点F均是射线BD上的点并且满足AE＝AF，∠EAF＝90°．求证：△ABE≌△ACF；
（2）在（1）的条件下，求证：CF⊥BD；
（3）由（1）我们知道∠AFB＝45°，如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作CF⊥BD于F，连接AF．那么∠AFB的度数是否发生变化？请证明你的结论．
24．（2021秋•西湖区期中）如图1，在线段BE上取一点C，分别以CB，CE为腰作等腰直角△BCA和等腰直角△DCE，连接BD和AE．
（1）请判断线段BD和线段AE的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若B，C，E三点不共线，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
2021-2022学年上学期杭州市初中数学八年级期中典型试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•西湖区期中）下列说法中，错误的一项是（ ）
A．由a（m2+1）＜b（m2+1）成立可推a＜b成立
B．由a（m2﹣1）＜b（m2﹣1）成立可推a＜b成立
C．由a（m+1）2＜b（m+1）2成立可推a＜b成立
D．由a（m+b）＜b（m+a）成立可推am＜bm成立
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式(组)及应用；符号意识．
【分析】根据不等式的基本性质，只需判断m2+1＞0，（m+1）2＞0，即可求解．
【解答】解：∵m2+1＞0，则不等式的两边同时除以m2+1，则不等式不变号，
∴A正确；
∵（m+1）2＞0，则不等式的两边同时除以（m+1）2，则不等式不变号，
∴C正确；
a（m+b）＜b（m+a）可以化为am+ab＜bm+ab，则不等式的两边同时减去ab，则不等式不变号，
∴D正确；
∵m2﹣1可以是正数也可以是负数，
∴B不正确；
故选：B．
【点评】本题考查不等式的基本性质；熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
2．（2021秋•西湖区期中）如图，将三角形纸板直角顶点放在直尺上，∠1＝35°，∠2＝69°，则∠3的度数为（ ）
A．34°B．35°C．69°D．104°
【考点】三角形的外角性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和，可以求得∠3的度数，本题得以解决．
【解答】解：∵∠2＝∠1+∠3，∠1＝35°，∠2＝69°，
∴69°＝35°+∠3，
∴∠3＝34°，
故选：A．
【点评】本题考查三角形内角和外角的关系，解答本题的关键是明确题意，利用三角形内角和外角的关系解答．
3．（2021秋•西湖区期中）在正三角形ABC中，AD⊥BC交BC于D，则∠BAD的度数（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
【考点】等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【分析】根据正三角形ABC得到∠BAC＝60°，因为AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一得到∠BAD的度数．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°．
故选：D．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°和等腰三角形的三线合一是解题的关键．
4．（2021秋•杭州期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，点D是△ABC内一点，若AC＝AD，∠CAD＝30°，连接BD，则∠ADB的度数为（ ）
A．120°B．135°C．150°D．165°
【考点】等腰直角三角形．
【分析】先根据△ABC是等腰直角三角形得：∠CAB＝∠ABC＝45°，作辅助线，构建全等三角形，证明△CDB≌△AED，则∠ADE＝∠CBD，ED＝BD，设∠CBD＝x，则∠ADE＝x，∠DEB＝∠DBE＝15+x，根据∠ABC＝45°列方程可求x的值，根据三角形内角和得∠BDC＝150°，最后由周角得出结论．
【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∵AC＝AD，
∴AD＝BC，
∵∠CAD＝30°，
∴∠ACD＝∠ADC＝75°，
∠DAB＝45°﹣30°＝15°，
∴∠DCB＝90°﹣75°＝15°，
∴∠EAD＝∠DCB，
在AB上取一点E，使AE＝CD，连接DE，
在△CDB和△AED中，
∵，
∴△CDB≌△AED（SAS），
∴∠ADE＝∠CBD，ED＝BD，
∴∠DEB＝∠DBE，
设∠CBD＝x，则∠ADE＝x，∠DEB＝∠DBE＝15+x，
∵∠ABC＝45°，
∴x+15+x＝45，
x＝15°，
∴∠DCB＝∠DBC＝15°，
∴∠BDC＝180°﹣15°﹣15°＝150°，
∴∠ADB＝360°﹣75°﹣150°＝135°；
故选：B．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的性质和判定以及三角形内角和与外角的性质，作辅助线，构建全等三角形是关键，根据三角形的角的关系依次求角的度数是突破口，并与方程相结合，使问题得以解决．
5．（2021秋•杭州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD是△ABC的角平分线，若P，Q分别是AD和AC边上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【分析】由轴对称的性质可知：PC＝PC′，所以QP+PC＝QP+PC′，由垂线段最短可知：当C′Q⊥AC时，C′Q有最小值，然后利用锐角三角函数的定义即可求得QC′的长．
【解答】解：如图所示：将△ACD沿AD翻折得到△ADC′，连接DC′，过点C′作C′Q⊥AC．
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴△ACD与△ADC′关于AD对称．
∴点C′在AB上．
由翻折的性质可知：AC′＝AC＝3，PC＝PC′．
∴QP+PC＝QP+PC′．
由垂线段最短可知：当C′Q⊥AC时，C′Q有最小值．
在Rt△ACB中，AB＝＝＝5．
∴sin∠CAB＝．
在Rt△AQC′中，sin∠QAC′＝，即．
∴QC′＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、垂线段最短、勾股定理的应用，锐角三角函数的定义，明确当C′Q⊥AC时，C′Q有最小值是解题的关键．
6．（2021秋•杭州期中）如图，一系列等腰直角三角形（编号分别为①、②、③、④、…）组成了一个螺旋形，其中第1个三角形的直角边长为1，则第n个等腰直角三角形的面积为（ ）
A．2n﹣3B．2n﹣2C．2n﹣1D．2n
【考点】等腰直角三角形．
【分析】分别写出几个直角三角形的直角边的长，找到规律，从而写出第n个等腰三角形的直角边的长，从而求得直角三角形的面积即可．
【解答】解：第①个直角三角形的边长为1＝（）0，
第②个直角三角形的边长为＝（）1，
第③个直角三角形的边长为2＝（）2，
第④个直角三角形的边长为2＝（）3，
…
第n个直角三角形的边长为（）n﹣1，
面积为：×（）n﹣1×（）n﹣1＝2n﹣2．
故选：B．
【点评】此题考查了等腰三角形及图形的变化类问题，要结合图形熟练运用勾股定理计算几个具体值，从中发现规律．
7．（2021秋•杭州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD＝8，则CP的长为（ ）
A．3B．3.5C．4D．4.5
【考点】含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线．
【分析】由题意推出BD＝AD，然后在Rt△BCD中，CP＝BD，即可推出CP的长度．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA＝30°，
∴BD＝AD，
∵AD＝8，
∴BD＝8，
∵P点是BD的中点，
∴CP＝BD＝4，
故选：C．
【点评】本题主要考查角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、折角三角形斜边上的中线的性质，关键在于根据已知推出BD＝AD，求出BD的长度．
8．（2021秋•西湖区期中）下列各组线段中，首尾相接能组成三角形的是（ ）
A．a＝2cm，b＝3cm，c＝5cm
B．a＝1cm，b＝2cm，c＝3.5cm
C．a＝6.3cm，b＝6.3cm，c＝12.6cm
D．a＝6cm，b＝8cm，c＝13cm
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；数据分析观念．
【分析】根据三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，只要把三边代入，看是否满足即可．
【解答】解：A、2+3＝5，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
B、1+2＜3.5，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
C、6.3+6.3＝12.6，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
D、8﹣6＜13＜6+8，能构成三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
9．（2021秋•西湖区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接BE，CD，若BD＝1，则△BCE的面积为（ ）
A．B．C．D．
【考点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据DE垂直平分斜边AC，得到AD＝CD，AE＝CE，解直角三角形得到BC＝，AD＝CD＝2，求得AB＝3，于是得到结论．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∵DE垂直平分斜边AC，
∴AD＝CD，AE＝CE，
∴∠ACD＝∠A＝30°，
∴∠BCD＝30°，
∵BD＝1，
∴BC＝，AD＝CD＝2，
∴AB＝3，
∴△BCE的面积＝S△ABC＝×＝，
故选：A．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．
10．（2021秋•杭州期中）下列命题：①若ab＝0，则P（a，b）在坐标原点；②在平面直角坐标系中，若A（﹣1，﹣2），且AB平行于x轴，AB＝5，则B点的坐标为（4，﹣2）；③在平面直角坐标系中点，P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，﹣2）；④若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是a＞1，其中真命题的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【考点】命题与定理．
【专题】平面直角坐标系．
【分析】根据点的坐标特征、一元一次不等式判断即可．
【解答】解：①若ab＝0，则P（a，b）在坐标原点或坐标轴上，错误；
②在平面直角坐标系中，若A（﹣1，﹣2），且AB平行于x轴，AB＝5，则B点的坐标为（4，﹣2）或（﹣6，﹣2），错误；
③在平面直角坐标系中点，P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，﹣2），正确；
④若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是a≥1，错误；
故选：B．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
二．填空题（共6小题）
11．（2021秋•杭州期中）若一个三角形的两边长分别为5和8，则下列长度：①14；②10；③3；④2．其中，可以作为第三边长的是 ② （填序号）
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形．
【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断．
【解答】解：设第三边为x，则8﹣5＜x＜5+8，
即3＜x＜13，
所以符合条件的整数可以为10，
故答案为：②．
【点评】本题考查三角形三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
12．（2021秋•杭州期中）将点P（﹣2，y）先向下平移4个单位，再向左平移2个单位，然后把点关于x轴对称得到点Q（x，﹣1）、则x+y＝ 1 ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平面直角坐标系．
【分析】利用平移规律表示出平移后的点的坐标，再利用平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．
【解答】解：∵将点P（﹣2，y）先向下平移4个单位，再向左平移2个单位，
∴平移后的坐标为：（﹣4，y﹣4），
∵把点关于x轴对称得到点Q（x，﹣1），
∴x＝﹣4，y﹣4＝1，
解得：x＝﹣4，y＝5，
则x+y＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
13．（2021秋•余杭区期中）直角三角形斜边上的高与中线分别为8cm和10cm，则它的面积是 80 cm2．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【分析】根据直角三角形斜边上中线性质求出斜边长，再根据直角三角形的面积公式求出面积即可．
【解答】解：∵直角三角形的斜边上的中线为10，
∴斜边为2×10＝20，
∵直角三角形斜边上的高为8，
∴此直角三角形的面积为＝80cm2，
故答案为：80．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．
14．（2021秋•西湖区期中）如图，在△ABC中，∠A＝58°，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于点D，则∠BDC的度数为 119° ．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；应用意识．
【分析】根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝122°，根据角平分线的定义，三角形内角和定理计算．
【解答】解：∵∠A＝58°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣58°＝122°，
∵BE、CF是△ABC的角平分线，
∴∠EBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，
∴∠EBC+∠FCB＝×（∠ABC+∠ACB）＝61°，
∴∠BDC＝180°﹣61°＝119°，
故答案为119°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
15．（2021秋•西湖区期中）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则斜边上的高线长度为 ．
【考点】勾股定理．
【专题】计算题；运算能力．
【分析】首先根据勾股定理求得AC的长，再根据面积公式求得斜边上的高线的长．
【解答】解：∵在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，
∴根据勾股定理，得：AC＝＝12，
∴三角形的面积是×5×12＝30，
∴AB边上的高＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练运用勾股定理进行计算．注意：直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半；直角三角形的斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．
16．（2021秋•余杭区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于 ．
【考点】等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【分析】首先连接AD，由△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，利用等腰三角形的三线合一的性质，即可证得：AD⊥BC，然后利用勾股定理，即可求得AD的长，然后利用面积法来求DE的长．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，
∴AD⊥BC，BD＝BC＝5，
∴AD＝＝12，
又∵DE⊥AB，
∴BD•AD＝AB•ED，
∴ED＝，
故答案为：
【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．
三．解答题（共8小题）
17．（2021秋•西湖区期中）如图，OC平分∠AOB，CD⊥OA，交OA于点D，CE⊥OB，交OB于点E，M，N分别在OA，OB上，且OM＝ON．求证：△CDM≌△CEN．
【考点】全等三角形的判定；角平分线的性质．
【专题】证明题；图形的全等；推理能力．
【分析】根据SAS证明△OMC≌△ONC，可得MC＝NC，根据角平分线的性质，得CD＝CE，则△DMC≌△ENC．
【解答】证明：∵OC平分∠AOC，
∴∠DOC＝∠EOC，
在△OMC和△ONC中，
∵OM＝ON，∠DOC＝∠EOC，OC＝OC
∴△OMC≌△ONC（SAS），
∴MC＝NC，
∵OC平分∠AOC，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD＝CE，
在Rt△DMC和Rt△ENC中
∵DC＝CE，CM＝CN，
∴Rt△DMC≌Rt△ENC（HL）．
【点评】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键．
18．（2021秋•余杭区期中）（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且AD＝BD＝BC，求∠A的度数；
（2）如图2，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB＝BC＝CD＝DE．
①若∠EDM＝84°，求∠A的度数：
②若以E为圆心，ED为半径作弧，与射线DM上没有交点（除D点外），直接写出∠A的取值范围．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【分析】（1）首先设∠A＝x°，然后由等腰三角形的性质，求得∠ABC＝∠C＝2x°，然后由三角形的内角和定理，得到方程：x+2x+2x＝180，解此方程即可求得答案；
（2）①根据等边对等角可得∠A＝∠BCA，∠CBD＝∠BDC，∠ECD＝∠CED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠BCA＝∠CBD，∠A+∠CDB＝∠ECD，∠A+∠CED＝∠EDM，然后用∠A表示出∠EDM，计算即可求解；
②先判断出E到射线AM的距离小于DE，进而得出∠EDM＜90°，即可得出结论．
【解答】解：（1）设∠A＝x°，
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝x°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x°，
∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC＝2x°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180，
解得：x＝36，
∴∠A＝36°；
（2）①∵AB＝BC＝CD＝DE，
∴∠A＝∠BCA，∠CBD＝∠BDC，∠ECD＝∠CED，
根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA＝∠CBD，∠A+∠CDB＝∠ECD，∠A+∠CED＝∠EDM，
又∵∠EDM＝84°，
∴∠A+3∠A＝84°，
解得：∠A＝21°；
②∵以E为圆心，ED为半径作弧，与射线DM上没有交点（除D点外）
∴E到射线AM的距离大于DE，
∴3∠A＜90°，
∴∠A＜30°，
∴∠A的取值范围是∠A＜30°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
19．（2021秋•西湖区期中）如图，BC⊥AC于点C，CD⊥AB于点D，BE∥CD．求证：∠EBC＝∠A．
【考点】垂线；平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质得到∠EBC＝∠BCD，根据垂直的定义得到∠BCD+∠DCA＝∠A+∠DCA，等量代换即可得到结论．
【解答】解：∵BE‖CD，
∴∠EBC＝∠BCD，
∵BC⊥AC，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠DCA＝∠A+∠DCA，
∴∠BCD＝∠A，
∴∠EBC＝∠A．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
20．（2021秋•杭州期中）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于m（直线m上的横坐标都为﹣2）的对称图形△A1B1C1；
（2）线段上有一点P（﹣，），直接写出点P关于直线m对称的点的坐标 （﹣，） ．
（3）线段BC上有一点M（a，b），点M关于直线m的对称点N（c，d），请直接写出a，c的关系： a+c＝﹣4 ；b，d的关系： b＝d ．
【考点】作图﹣轴对称变换．
【专题】作图题．
【分析】（1）分别作出△ABC关于直线m的对称点，再顺次连接即可得；
（2）根据轴对称的性质，可得点P关于直线m对称的点的坐标；
（3）根据轴对称的性质知M、N两点的纵坐标相等，横坐标的平均数等于﹣2可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）线段上有一点P（﹣，），由轴对称的性质可得，点P关于直线m对称的点的横坐标为﹣2×2﹣（﹣）＝﹣，纵坐标为，
∴点P关于直线m对称的点的坐标是（﹣，），
故答案为：（﹣，）；
（3）由轴对称的性质知：b＝d，（a+c）＝﹣2，即a+c＝﹣4，
故答案为：a+c＝﹣4，b＝d．
【点评】此题主要考查了作图﹣﹣轴对称变换，关键是熟练掌握轴对称的性质，并据此得到三顶点关于直线的对称点．
21．（2021秋•杭州期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
（1）求证AE＝AF．
（2）若AB+AC＝16，S△ABC＝24，∠EDF＝120°，求AD的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】图形的全等．
【分析】（1）只要证明△ADE≌△ADF即可．
（2）利用面积法求出DE的值，再根据直角三角形30度角的性质即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAE＝∠DAF，
∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADF（AAS），
∴AE＝AF．
（2）解：∵△ADE≌△ADF，
∴DE＝DF，
∴S△ABC＝•AB•DE+•AC•DF＝•DE（AB+AC）＝24，
∵AB+AC＝16，
∴DE＝3，
∵∠ADE＝∠ADF＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴AD＝2DE＝6．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解直角三角形，角平分线等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．
22．（2021秋•杭州期中）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；
（2）如图2，连接BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点；
（3）当E点在射线CB上，连接BF与直线AC交于G点，若BC＝4，BE＝3，则＝ 或 （直接写出结果）
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）证明△AFD≌△EAC，根据全等三角形的性质得到DF＝AC，等量代换证明结论；
（2）作FD⊥AC于D，证明△FDG≌△BCG，得到DG＝CG，求出CE，CB的长，得到答案；
（3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，根据全等三角形的性质得到CG＝GD，AD＝CE＝7，代入计算即可．
【解答】（1）证明：∵FD⊥AC，
∴∠FDA＝90°，
∴∠DFA+∠DAF＝90°，
同理，∠CAE+∠DAF＝90°，
∴∠DFA＝∠CAE，
在△AFD和△EAC中，
，
∴△AFD≌△EAC（AAS），
∴DF＝AC，
∵AC＝BC，
∴FD＝BC；
（2）作FD⊥AC于D，
由（1）得，FD＝AC＝BC，AD＝CE，
在△FDG和△BCG中，
，
∴△FDG≌△BCG（AAS），
∴DG＝CG＝1，
∴AD＝2，
∴CE＝2，
∵BC＝AC＝AG+CG＝4，
∴E点为BC中点；
（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，
BC＝AC＝4，CE＝CB+BE＝7，
由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，
∴CG＝GD，AD＝CE＝7，
∴CG＝DG＝1.5，
∴＝＝，
同理，当点E在线段BC上时，＝＝，
故答案为：或．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
23．（2021秋•杭州期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AC上一动点．
（1）如图1，点E、点F均是射线BD上的点并且满足AE＝AF，∠EAF＝90°．求证：△ABE≌△ACF；
（2）在（1）的条件下，求证：CF⊥BD；
（3）由（1）我们知道∠AFB＝45°，如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作CF⊥BD于F，连接AF．那么∠AFB的度数是否发生变化？请证明你的结论．
【考点】三角形综合题．
【专题】三角形．
【分析】（1）根据SAS证明△ABE≌△ACF即可；
（2）根据全等三角形的性质和垂直的判定解答即可；
（3）根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAF＝∠CAF+∠EAD＝90°
∴∠BAE＝∠CAF
在△ABE和△ACF中
∴△ABE≌△ACF（SAS）
（2）∵∠BAC＝90°
∴∠ABE+∠BDA＝90°，
由（1）得△ABE≌△ACF
∴∠ABE＝∠ACF
∴∠BDA+∠ACF＝90°
又∵∠BDA＝∠CDF
∴∠CDF+∠ACF＝90°
∴∠BFC＝90°
∴CF⊥BD
（3）∠AFB＝45°不变化，理由如下：
过点A作AF的垂线交BM于点E
∵CF⊥BD
∴∠BAC＝90°
∴∠ABD+∠BDA＝90°
同理∠ACF+∠CDF＝90°
∵∠CDF＝∠ADB
∴∠ABD＝∠ACF
同（1）理得∠BAE＝∠CAF
在△ABE和△ACF中
∴△ABE≌△ACF（ASA）
∴AE＝AF
∴△AEF是等腰直角三角形
∴∠AFB＝45°．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质进行推导．
24．（2021秋•西湖区期中）如图1，在线段BE上取一点C，分别以CB，CE为腰作等腰直角△BCA和等腰直角△DCE，连接BD和AE．
（1）请判断线段BD和线段AE的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若B，C，E三点不共线，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）依据等腰直角三角形的性质可得到BC＝AC，DC＝CE，∠BCD＝∠ACE＝90°，然后依据SAS证明△BCD≌△ACE，接下来，依据全等三角形的性质可得到BD＝AE；
（2）依据等腰直角三角形的性质可得到BC＝AC，DC＝CE，∠BCD＝∠ACE＝90°，然后利用等式的性质证明∠BCD＝∠ACE，然后依据SAS证明△BCD≌△ACE，接下来，依据全等三角形的性质可得到BD＝AE．
【解答】解：（1）∵△BCA和△DCE均为等腰直角三角形，
∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCD＝∠ACE＝90°．
在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE．
∴BD＝AE．
（2）成立．
∵△BCA和△DCE均为等腰直角三角形，
∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCD＝∠ACE＝90°．
∴∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE．
在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE．
∴BD＝AE．
【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
考点卡片
1．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
2．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
3．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
4．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
5．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
6．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
7．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
8．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
9．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
10．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
11．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
12．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
13．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
14．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
15．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
16．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
17．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
18．三角形综合题
三角形综合题．
19．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
20．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
21．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
22．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
23．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）