2022-2023学年上学期杭州市初中数学八年级期末典型试卷1

这是一份2022-2023学年上学期杭州市初中数学八年级期末典型试卷1，共26页。试卷主要包含了平方厘米等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上学期杭州市初中数学八年级期末典型试卷1
一．选择题（共10小题）
1．（2020秋•西湖区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y＝﹣2x+4分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点在线段AB上的是（　　）
A．y＝x+2 B．y＝x+2 C．y＝4x﹣12 D．y＝x﹣3
2．（2020秋•江干区期末）点A（a，y1）、B（2a，y2）都在一次函数y＝﹣2ax+a（a≠0）的图象上，则y1、y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不确定
3．（2020秋•下城区期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在边BC上，AD＝AB（　　）

A．若AC＝2AB，则∠C＝30°
B．若AC＝2AB，则3BD＝2CD
C．若∠B＝2∠C，则AC＝2AB
D．若∠B＝2∠C，则S△ABD＝2S△ACD
4．（2020秋•下城区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P在边AB上．BC＝6，AC＝8（　　）
A．若∠ACP＝45°，则CP＝5 B．若∠ACP＝∠B，则CP＝5
C．若∠ACP＝45°，则CP＝ D．若∠ACP＝∠B，则CP＝
5．（2020秋•江干区期末）已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（　　）
A．n2+2mn+m2＝0 B．m2+2mn﹣n2＝0
C．m2﹣2mn﹣n2＝0 D．m2﹣2mn+n2＝0
6．（2020秋•下城区期末）甲，乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行．乙车出发2h后休息，当两车相遇时，两车立即按原速度继续向目的地行驶．设甲车行驶的时间为x（h），甲，乙两车到B地的距离分别为y1（km），y2（km），y1，y2关于x的函数图象如图．下列结论：①甲车的速度是km/h；②乙车休息了0.5h；③两车相距akm时，甲车行驶了h．正确的是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
7．（2020秋•江干区期末）已知点A的坐标为（a+1，3﹣a），下列说法正确的是（　　）
A．若点A在y轴上，则a＝3
B．若点A在一三象限角平分线上，则a＝1
C．若点A到x轴的距离是3，则a＝±6
D．若点A在第四象限，则a的值可以为﹣2
8．（2020秋•西湖区期末）在以下图形中，根据尺规作图痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（　　）
A．图1和图2 B．图1和图3 C．图3 D．图2和图3
9．（2020秋•西湖区期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则△ABC的面积为（　　）平方厘米．

A．8 B．12 C．16 D．18
10．（2020秋•西湖区期末）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而增大；②函数y＝ax+d不经过第二象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4；④a﹣c＝（d﹣b），其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
二．填空题（共6小题）
11．（2020秋•西湖区期末）若点P（2，3）关于y轴的对称点是点P'（a+1，3），则a＝　 　．
12．（2020秋•下城区期末）设一次函数y＝kx+3．若当x＝2时，y＝﹣1，则k＝　 　．
13．（2020秋•西湖区期末）已知△AOC和△BCD如图摆放，其中∠AOC＝∠BCD＝90°，∠B＝30°，OA＝OC，点O在BD
上，则∠AOD＝　 　°．

14．（2020秋•江干区期末）若方程组的解x、y满足y﹣x＜3，则a的取值范围为 　 　．
15．（2020秋•西湖区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，点D，E，F分别是线段AC，AB，DC的中点，下列结论：①△EFB为等边三角形．②S四边形DFBE＝S△ABC．③AE＝DF．④AC＝8DG．其中正确的是 　 　．

16．（2020秋•西湖区期末）如图，将长，宽分别为，1的长方形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），则四个等腰三角形的腰长均为 　 　．

三．解答题（共8小题）
17．（2020秋•江干区期末）解不等式组，并把不等式组的解在数轴上表示出来．
18．（2020秋•下城区期末）一次函数的图象过点A（﹣1，2）和点B（1，﹣4）．
（1）求该一次函数表达式．
（2）若点P（m﹣1，n1）和点Q（m+1，n2）在该一次函数的图象上，求n1﹣n2的值．
19．（2020秋•西湖区期末）如图，在△ABC中，点D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF．求证：△ABC是等腰三角形．

20．（2020秋•西湖区期末）如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上．
（1）求证：BC＝DE；
（2）若∠B＝30°，∠APC＝70°．
①求∠E的度数；
②求证：CP＝CE．

21．（2020秋•西湖区期末）已知一次函数y1＝ax+b，y2＝bx+a（ab≠0，且a≠b）．
（1）若y1过点（1，2）与点（2，b﹣a﹣3）求y1的函数表达式；
（2）y1与y2的图象交于点A（m，n），用含a，b的代数式表示n；
（3）设y3＝y1﹣y2，y4＝y2﹣y1，当y3＞y4时，求x的取值范围．
22．（2020秋•江干区期末）设一次函数y＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）．
（1）若一次函数y＝x+2和y＝kx+b的图象交于x轴同一点，求的值．
（2）若k＝﹣1，b＝1，点P（x1，m）和Q（﹣3，n）在一次函数y的图象上，且m＞n，求x1的取值范围．
（3）若k+b＜0，点Q（5，m）（m＞0）在该一次函数上，求证：k＞0．
23．（2020秋•下城区期末）某水果店购买某种水果的进价为18元/千克，在销售过程中有10%的水果损耗，该水果店以a元/千克的标价出售该种水果．
（1）为避免亏本，求a的最小值．
（2）若该水果店以标价销售了70%的该种水果，在扣除10%损耗后，剩下的20%水果按10元/千克的价格售完．为确保销售该种水果所得的利润率不低于20%，求a的最小值．
24．（2020秋•江干区期末）某校八年级举行数学说题比赛，准备用2400元钱（全部用完）购买A，B两种钢笔作为奖品，已知A，B两种每支分别为10元和20元，设购入A种x支，B种y支．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）若购进A种的数量不少于B种的数量，则至少购进A种多少支？

2022-2023学年上学期杭州市初中数学八年级期末典型试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2020秋•西湖区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y＝﹣2x+4分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点在线段AB上的是（　　）
A．y＝x+2 B．y＝x+2 C．y＝4x﹣12 D．y＝x﹣3
【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】计算题；一次函数及其应用；运算能力．
【分析】先确定A、B的坐标，从而确定交点横坐标的取值范围，再求A、B、C、D四个选项与x轴的交点，判断是否在交点横坐标的取值范围，就可以选出正确答案．
【解答】解：∵直线y＝2x+2和直线y＝﹣2x+4分别交x轴于点A和点B，
∴令y＝0，x＝﹣1，x＝2，
∴A（﹣1，0），B（2，0），
∴﹣1≤x≤2，
A：∵y＝x+2交x轴于点（﹣2，0），
x＝﹣2不在﹣1≤x≤2范围，
∴y＝x+2与x轴的交点不在线段AB上；
B：∵y＝x+2交x轴于点（﹣，0），
x＝﹣不在﹣1≤x≤2范围，
∴y＝x+2与x轴的交点不在线段AB上；
C：∵y＝4x﹣12交x轴于点（3，0），
x＝3不在﹣1≤x≤2范围，
∴y＝4x﹣12与x轴的交点不在线段AB上；
D：∵y＝x﹣3交x轴于点（，0），
x＝在﹣1≤x≤2范围，
∴y＝x﹣3与x轴的交点在线段AB上．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，掌握求函数与x轴交点坐标的方法进而求出x的取值范围是解题的关键．
2．（2020秋•江干区期末）点A（a，y1）、B（2a，y2）都在一次函数y＝﹣2ax+a（a≠0）的图象上，则y1、y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不确定
【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【分析】（方法一）分a＞0及a＜0两种情况考虑，当a＞0时，k＝﹣2a＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合a＜2a可得出y1＞y2；当a＜0时，k＝﹣2a＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合a＞2a可得出y1＞y2.综上，此题得解；
（方法二）利用一次函数图象上点的坐标特征可得出y1＝﹣2a2+a，y1＝﹣4a2+a，二者做差后可得出y1﹣y2＝2a2，结合a≠0可得出2a2＞0，进而可得出y1＞y2．
【解答】解：（方法一）当a＞0时，k＝﹣2a＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵a＜2a，且点A（a，y1）、B（2a，y2）都在一次函数y＝﹣2ax+a的图象上，
∴y1＞y2；
当a＜0时，k＝﹣2a＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵a＞2a，且点A（a，y1）、B（2a，y2）都在一次函数y＝﹣2ax+a的图象上，
∴y1＞y2．
（方法二）∵点A（a，y1）、B（2a，y2）都在一次函数y＝﹣2ax+a（a≠0）的图象上，
∴y1＝﹣2a2+a，y1＝﹣2a（2a）+a＝﹣4a2+a，
∴y1﹣y2＝（﹣2a2+a）﹣（﹣4a2+a）＝2a2．
又∵a≠0，
∴2a2＞0，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（方法一）牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”；（方法二）利用做差法，找出y1＞y2．
3．（2020秋•下城区期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在边BC上，AD＝AB（　　）

A．若AC＝2AB，则∠C＝30°
B．若AC＝2AB，则3BD＝2CD
C．若∠B＝2∠C，则AC＝2AB
D．若∠B＝2∠C，则S△ABD＝2S△ACD
【考点】三角形的面积；含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据直角三角形30°角所对边是斜边的一半，可得BC＝2AB＞AC，从而可判断选项A、C；作AE⊥BC于E，根据勾股定理和等面积法克求得BC、BD和DC，从而得出BD和CD的关系，可判断选项B；可先得出AD为中线，根据三角形中线平分三角形的面积可判断选项D．
【解答】解：A．设AB＝a，则AC＝2AB＝2a，由勾股定理得：BC＝＝＝a，
所以AB≠BC，
即∠C度数不是30°，故本选项不符合题意；
B．设AB＝a，则AC＝2AB＝2a，由勾股定理得：BC＝＝＝a，
作AE⊥BC于E，

∵S△ABC＝AB•AC＝BC•AE，
∴AE＝＝＝a，
∵AD＝AB，
∴BE＝DE＝＝a，
∴BD＝a，DC＝BC﹣BD＝a，
∴3BD＝2CD，，故本选项符合题意；
C．若∠B＝2∠C，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠C＝30°，∠B＝60°，
∴BC＝2AB，AC＜2AB，故本选项不符合题意；
D．若∠B＝2∠C，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠C＝30°，∠B＝60°，
∵AD＝AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝30°＝∠C，
∴AD＝DC＝BD，即AD为△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ACD，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握这些定理，能根据已知条件，选择合适的定理分析是解题的关键．
4．（2020秋•下城区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P在边AB上．BC＝6，AC＝8（　　）
A．若∠ACP＝45°，则CP＝5 B．若∠ACP＝∠B，则CP＝5
C．若∠ACP＝45°，则CP＝ D．若∠ACP＝∠B，则CP＝
【考点】直角三角形的性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】由勾股定理可求解AB的长，再逐项根据CP的位置计算可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝，
若∠ACP＝45°，则CP是∠ACB的平分线，
∵AC≠BC，
∴CP≠AB＝5，故A选项错误；
若∠ACP＝∠B时，
∵∠BCP+∠ACP＝90°，
∴∠BCP+∠B＝90°，
∴CP⊥AB，
∴CP＝，故选项B，C错误，选项D正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查勾股定理，直角三角形的性质，确定CP是解题的关键．
5．（2020秋•江干区期末）已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（　　）
A．n2+2mn+m2＝0 B．m2+2mn﹣n2＝0
C．m2﹣2mn﹣n2＝0 D．m2﹣2mn+n2＝0
【考点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m2+m2＝（n﹣m）2，整理即可求解
【解答】解：如图，
m2+m2＝（n﹣m）2，
2m2＝n2﹣2mn+m2，
m2+2mn﹣n2＝0．
故选：B．

【点评】考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，根据勾股定理得到等量关系．
6．（2020秋•下城区期末）甲，乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行．乙车出发2h后休息，当两车相遇时，两车立即按原速度继续向目的地行驶．设甲车行驶的时间为x（h），甲，乙两车到B地的距离分别为y1（km），y2（km），y1，y2关于x的函数图象如图．下列结论：①甲车的速度是km/h；②乙车休息了0.5h；③两车相距akm时，甲车行驶了h．正确的是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【分析】观察图象可知，甲5h行驶了4akm，乙2h行驶了2akm，由此可求出甲、乙的速度，然后算出相遇时甲所用的时间，即可求得乙休息的时间，设两车相距akm时，甲车行驶了th，分两种情况：相遇前和相遇后，通过计算即可得到甲车行驶的时间．
【解答】解：由图象可得：
甲车的速度为4a÷5＝（km/h），故①正确；
甲车与乙车相遇时，甲车行驶的时间为（4a﹣2a）÷＝2.5h，
∴乙车休息的时间为2.5﹣2＝0.5h，故②正确；
乙车速度为2a÷2＝a（km/h），
设两车相距akm时，甲车行驶了th，
有两种情况：
当两车相遇前，
at+•t+a＝4a，
解得t＝，
当两车相遇后，
a（t﹣0.5）+•t﹣a＝4a，
解得t＝，
∴两车相距akm时，甲车行驶了h或h，故③错误，
综上，正确的是①②，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是理解图中交点坐标的含义．
7．（2020秋•江干区期末）已知点A的坐标为（a+1，3﹣a），下列说法正确的是（　　）
A．若点A在y轴上，则a＝3
B．若点A在一三象限角平分线上，则a＝1
C．若点A到x轴的距离是3，则a＝±6
D．若点A在第四象限，则a的值可以为﹣2
【考点】点的坐标．
【专题】一次函数及其应用．
【分析】依据坐标轴上的点、一三象限角平分线上的点以及不同象限内点的坐标特征，即可得出结论．
【解答】解：A．若点A在y轴上，则a+1＝0，解得a＝﹣1，故本选项错误；
B．若点A在一三象限角平分线上，则a+1＝3﹣a，解得a＝1，故本选项正确；
C．若点A到x轴的距离是3，则|3﹣a|＝3，解得a＝6或0，故本选项错误；
D．若点A在第四象限，则a+1＞0，且3﹣a＜0，解得a＞3，故a的值不可以为﹣2；
故选：B．
【点评】本题主要考查了坐标轴上的点、一三象限角平分线上的点以及不同象限内点的坐标特征，解题时注意：横轴上点的纵坐标为0，纵轴上点的横坐标为0．
8．（2020秋•西湖区期末）在以下图形中，根据尺规作图痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（　　）
A．图1和图2 B．图1和图3 C．图3 D．图2和图3
【考点】全等三角形的判定与性质；作图—基本作图．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】根据角平分线的作法即可进行判断．
【解答】解：在图1中，利用基本作图可判断AD平分∠BAC；
在图2中，根据作法可知：
AE＝AF，AM＝AN，
在△AMF和△ANE中，
，
∴△AMF≌△ANE（SAS），
∴∠AMD＝∠AND，
∵∠MDE＝∠NDF，
∵AE＝AF，AM＝AN，
∴ME＝NF，
在△MDE和△NDF中，
，
∴△MDE≌△NDF（AAS），
所以D点到AM和AN的距离相等，
∴AD平分∠BAC．

在图3中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线；
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
9．（2020秋•西湖区期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则△ABC的面积为（　　）平方厘米．

A．8 B．12 C．16 D．18
【考点】三角形的面积．
【专题】转化思想；整体思想；几何直观．
【分析】本题利用中线平分面积这一结论，由F为CE的中点，可以得到△AEC的面积为8，因为D是AC的中点，可以得到△ADE的面积，同理，得到△ABE和△BEC的面积，问题即可解决．
【解答】解：∵F为CE的中点，
∴EF＝CF，
∴S△AEC＝2S△AEF＝8，
∵D是AC的中点，
∴AD＝CD，
∴S△AED＝S△CED＝4，
∵E为BD的中点，
∴S△AEB＝S△AED＝4，
同理，S△BEC＝S△CED＝4，
∴△ABC的面积为：S△ABE+S△BEC+S△AEC＝4+4+8＝16，
故选：C．
【点评】本题是一道三角形的面积题目，考查了中线平分三角形的面积这一结论的应用，利用题目中的中点条件，将面积进行转化是解决本题的关键．
10．（2020秋•西湖区期末）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而增大；②函数y＝ax+d不经过第二象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4；④a﹣c＝（d﹣b），其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【考点】一次函数的图象；一次函数的性质；一次函数与一元一次不等式．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观．
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而增大，故①正确；
a＞0，d＞0，则函数y＝ax+d经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②不正确；
由ax﹣d≥cx﹣b可得ax+b≥cx+d，故不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4，故③正确；
4a+b＝4c+d可以得到a﹣c＝（d﹣b），故④正确；
故选：B．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二．填空题（共6小题）
11．（2020秋•西湖区期末）若点P（2，3）关于y轴的对称点是点P'（a+1，3），则a＝　﹣3　．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【分析】关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．据此可得a的值．
【解答】解：根据两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变，
可得a+1＝﹣2，
∴a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查了关于y轴的对称点的坐标特点，点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
12．（2020秋•下城区期末）设一次函数y＝kx+3．若当x＝2时，y＝﹣1，则k＝　﹣2　．
【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【分析】把x＝2时，y＝﹣1代入一次函数y＝kx+3，解得k的值．
【解答】解：把当x＝2时，y＝﹣1代入一次函数y＝kx+3，
则得到2k+3＝﹣1，
解得k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据条件得出关于k的方程是解题的关键．
13．（2020秋•西湖区期末）已知△AOC和△BCD如图摆放，其中∠AOC＝∠BCD＝90°，∠B＝30°，OA＝OC，点O在BD
上，则∠AOD＝　15　°．

【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】由三角形的内角和定理可求得∠BDC＝60°，∠A＝45°，再利用三角形外角的性质可求解．
【解答】解：∵∠BCD＝90°，∠B＝30°，
∴∠BDC＝180°﹣∠BCD﹣∠B＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠A＝∠OCA＝45°，
∵∠BDC＝∠A+∠AOD，
∴∠AOD＝∠BDC﹣∠A＝60°﹣45°＝15°．
故答案为15．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，求解∠BDC，∠A的度数是解题的关键．
14．（2020秋•江干区期末）若方程组的解x、y满足y﹣x＜3，则a的取值范围为 　a＞﹣4　．
【考点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】方程组两方程相加，表示出y﹣x，代入已知不等式求出a的范围即可．
【解答】解：方程组两方程相加得：2y﹣2x＝2﹣a，即y﹣x＝，
根据题意得：＜3，
解得：a＞﹣4．
故答案为：a＞﹣4．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
15．（2020秋•西湖区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，点D，E，F分别是线段AC，AB，DC的中点，下列结论：①△EFB为等边三角形．②S四边形DFBE＝S△ABC．③AE＝DF．④AC＝8DG．其中正确的是 　①②③④　．

【考点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据三角形的中位线定理和全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【解答】解：①∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，
设DF＝1，则AD＝2，AE＝，BC＝2，
∵E为AB中点，
∴BE＝AB，
在△ABC中，D、E为AC和AB的中点，且BC⊥AB，
∴DE⊥AB，DE＝BC＝1，
∵AE＝BE，DE＝DE，∠AED＝∠BED，
∴△AED≌△BED（SAS），
∴DB＝AD＝2，
∵BC＝2，BC＝BD，F为CD中点，
∴BF⊥DC，∠C＝60°，
∴BF＝，
∴∠EBF＝90°﹣30°＝60°，
∴△EFB是等边三角形，①正确；
②S四边形DFBE＝S△BDE+S△BDF
＝
＝，故②正确；
③∵AE＝，DF＝1，
∴AE＝DF，故③正确；
④∵DE＝AD，DF＝DC，
∵AD＝DC，
∴DE＝DF，
∴DG⊥EF，
∴DG＝，
∵AC＝4，
∴AC＝8DG，故④正确；
综上所述，①②③④都正确；
故答案为：①②③④．
【点评】此题考查三角形中位线定理，关键是根据三角形的中位线定理和勾股定理解答．
16．（2020秋•西湖区期末）如图，将长，宽分别为，1的长方形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），则四个等腰三角形的腰长均为 　　．

【考点】等腰三角形的性质；矩形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】由矩形的性质得OA＝OC＝OB＝OD，再由勾股定理求出AC＝，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ADC＝90°，
∴OA＝OC＝OB＝OD，AC＝＝＝，
∴OA＝OC＝OB＝OD＝AC＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证出OA＝OC＝OB＝OD是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．（2020秋•江干区期末）解不等式组，并把不等式组的解在数轴上表示出来．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x＞0.5，
解不等式②，得x≤1，
所以不等式组的解集是0.5＜x≤1，
在数轴上表示为：
．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
18．（2020秋•下城区期末）一次函数的图象过点A（﹣1，2）和点B（1，﹣4）．
（1）求该一次函数表达式．
（2）若点P（m﹣1，n1）和点Q（m+1，n2）在该一次函数的图象上，求n1﹣n2的值．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）设一次函数表达式为：y＝kx+b，把点A（﹣1，2）和点B（1，﹣4）代入解析式解方程组即可得到结论；
（2）把点P（m﹣1，n1）和点Q（m+1，n2）代入y＝﹣3x﹣1，解方程组即可得到结论．
【解答】解：（1）设一次函数表达式为：y＝kx+b，
∵一次函数的图象过点A（﹣1，2）和点B（1，﹣4）．
∴，
解得：，
∴一次函数表达式为：y＝﹣3x﹣1；
（2）∵点P（m﹣1，n1）和点Q（m+1，n2）在该一次函数的图象上，
∴，
解得：n1﹣n2＝6．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．
19．（2020秋•西湖区期末）如图，在△ABC中，点D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF．求证：△ABC是等腰三角形．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；几何直观．
【分析】根据HL证明△BDE≌△CDF，进而解答即可．
【解答】证明：∵点D是BC中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题考查三角形全等的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
20．（2020秋•西湖区期末）如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上．
（1）求证：BC＝DE；
（2）若∠B＝30°，∠APC＝70°．
①求∠E的度数；
②求证：CP＝CE．

【考点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；运算能力；推理能力．
【分析】（1）证明△BAC≌△DAE（ASA），由全等三角形的性质得出结论；
（2）①由三角形外角的性质求出∠CAE＝40°，由全等三角形的性质得出AC＝AE，由等腰三角形的性质可求出答案；
②证明△ACP≌△ACE（AAS），由全等三角形的性质得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（ASA），
∴BC＝DE；
（2）①解：∵∠B＝30°，∠APC＝70°，
∴∠BAP＝∠APC﹣∠B＝70°﹣30°＝40°，
∴∠CAE＝40°，
∵△BAC≌△DAE，
∴AC＝AE，
∴∠ACE＝∠E＝＝＝70°；
②证明：∵△BAC≌△DAE，
∴∠ACB＝∠E＝70°，
∴∠ACB＝∠ACE，∠APC＝∠E，
在△ACP和△ACE中，
，
∴△ACP≌△ACE（AAS），
∴CP＝CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，证明△BAC≌△DAE是解题的关键．
21．（2020秋•西湖区期末）已知一次函数y1＝ax+b，y2＝bx+a（ab≠0，且a≠b）．
（1）若y1过点（1，2）与点（2，b﹣a﹣3）求y1的函数表达式；
（2）y1与y2的图象交于点A（m，n），用含a，b的代数式表示n；
（3）设y3＝y1﹣y2，y4＝y2﹣y1，当y3＞y4时，求x的取值范围．
【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【分析】（1）把（1，2）、（2，b﹣a﹣3）分别代入y1＝ax+b得到a、b的方程组，然后解方程组得到y1的函数表达式；
（2）把A（m，n）分别代入y1＝ax+b和y2＝bx+a中得到，先利用加减消元法求出m，然后得到n与a、b的关系式；
（3）先用a、b表示y3和y4，利用y3＞y4得到（a﹣b）x+b﹣a＞（b﹣a）x+a﹣b，然后解不等式即可．
【解答】解：（1）把（1，2）、（2，b﹣a﹣3）分别代入y1＝ax+b得，
解得，
∴y1的函数表达式为y1＝﹣x+3；
（2）∵y1与y2的图象交于点A（m，n），
∴，
∴m＝1，n＝a+b；
（3）y3＝y1﹣y2＝ax+b﹣（bx+a）＝（a﹣b）x+b﹣a，
y4＝y2﹣y1＝bx+a﹣（ax+b）＝（b﹣a）x+a﹣b，
∵y3＞y4，
∴（a﹣b）x+b﹣a＞（b﹣a）x+a﹣b，
整理得（a﹣b）x＞a﹣b，
当a＞b时，x＞1；
当a＜b时，x＜1．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），再把两组对应量代入，然后解关于k，b的二元一次方程组．从而得到一次函数解析式．也考查了一次函数的性质．
22．（2020秋•江干区期末）设一次函数y＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）．
（1）若一次函数y＝x+2和y＝kx+b的图象交于x轴同一点，求的值．
（2）若k＝﹣1，b＝1，点P（x1，m）和Q（﹣3，n）在一次函数y的图象上，且m＞n，求x1的取值范围．
（3）若k+b＜0，点Q（5，m）（m＞0）在该一次函数上，求证：k＞0．
【考点】一次函数图象与系数的关系；两条直线相交或平行问题．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）求得直线y＝x+2与x轴的交点，代入y＝kx+b求得即可；
（2）根据一次函数的性质即可判断；
（3）根据题意得出y随x的增大而增大，即可根据一次函数的性质得到k＞0．
【解答】解：（1）y＝x+2中，令y＝0，则x＝﹣2，
∴一次函数y＝x+2的图象交于x轴于点（﹣2，0），
∵一次函数y＝x+2和y＝kx+b的图象交于x轴同一点，
∴﹣2k+b＝0，
∴＝2；
（2）若k＝﹣1，b＝1，则一次函数为y＝﹣x+1，
∴y随x的增大而减小，
∵点P（x1，m）和Q（﹣3，n）在一次函数y的图象上，且m＞n，
∴x1＜﹣3；
（3）∵k+b＜0，点Q（5，m）（m＞0）在该一次函数上，
∴x＝1时，y＜0；x＝5时，y＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴k＞0．
【点评】本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，明确题意，利用一次函数的性质是解题的关键．
23．（2020秋•下城区期末）某水果店购买某种水果的进价为18元/千克，在销售过程中有10%的水果损耗，该水果店以a元/千克的标价出售该种水果．
（1）为避免亏本，求a的最小值．
（2）若该水果店以标价销售了70%的该种水果，在扣除10%损耗后，剩下的20%水果按10元/千克的价格售完．为确保销售该种水果所得的利润率不低于20%，求a的最小值．
【考点】一元一次不等式的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【分析】（1）设该水果店购进x千克该种水果，则销售收入为（1﹣10%）xa元，进货成本为18x，由该水果店销售该种水果不亏本，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再取其中的最小值即可得出结论；
（2）设该水果店购进x千克该种水果，则销售收入为（70%xa+10×20%x）元，进货成本为18x，由该水果店销售该种水果所得的利润率不低于20%，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该水果店购进x千克该种水果，则销售收入为（1﹣10%）xa元，进货成本为18x，
依题意得：（1﹣10%）xa﹣18x≥0，
解得：a≥20．
答：a的最小值为20．
（2）设该水果店购进x千克该种水果，则销售收入为（70%xa+10×20%x）元，进货成本为18x，
依题意得：70%xa+10×20%x﹣18x≥20%×18x，
解得：a≥28．
答：a的最小值为28．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
24．（2020秋•江干区期末）某校八年级举行数学说题比赛，准备用2400元钱（全部用完）购买A，B两种钢笔作为奖品，已知A，B两种每支分别为10元和20元，设购入A种x支，B种y支．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）若购进A种的数量不少于B种的数量，则至少购进A种多少支？
【考点】一元一次不等式的应用；一次函数的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）根据A种的费用+B种的费用＝2400元，可求y关于x的函数表达式；
（2）根据购进A种的数量不少于B种的数量，列出不等式，可求解．
【解答】解：（1）由题意可得10x+20y＝2400，
∴y＝+120；
（2）∵购进A种的数量不少于B种的数量，
∴x≥y，
∴x≥+120，
解得x≥80．
答：至少购进A种钢笔80支．
【点评】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是学会构建一次函数解决实际问题，属于中考常考题型