2021-2022学年上学期杭州市初中数学七年级期末典型试卷1

这是一份2021-2022学年上学期杭州市初中数学七年级期末典型试卷1，共34页。
2021-2022学年上学期杭州市初中数学七年级期末典型试卷1
一．选择题（共10小题）
1．（2020秋•下城区期末）若a，b均为整数，且b≠0，则不可能是（　　）
A．正数 B．负数 C．无理数 D．实数
2．（2019秋•西湖区期末）用代数式表示：“a，b两数的平方和与a，b乘积的差”，正确的是（　　）
A．a2+b2﹣ab B．（a+b）2﹣ab C．a2b2﹣ab D．（a2+b2）ab
3．（2020秋•西湖区期末）关于的叙述，正确的是（　　）
A．是有理数
B．面积为4的正方形边长是
C．是无限不循环小数
D．在数轴上找不到可以表示的点
4．（2020秋•拱墅区校级期末）下列四个数中，结果为负数的是（　　）
A．﹣1 B．|﹣1| C．（﹣1）2 D．﹣（﹣1）
5．（2020秋•拱墅区校级期末）在﹣，﹣π，0，3.14，﹣，0.，﹣7，﹣3中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2020秋•下城区期末）下列选项中，结果小于﹣1的是（　　）
A．2020﹣2021 B．（﹣2021）2020
C．﹣ D．|﹣2020|×（﹣2021）
7．（2020秋•下城区期末）如图，点C，点D在线段AB上，若AC＝3BC，点D是AC的中点，则（　　）

A．2AD＝3BC B．3AD＝5BD C．AC+BD＝3DC D．AC﹣BD＝2DC
8．（2020秋•下城区期末）对于实数a，b，定义运算“△”满足：a△b＝k1a2+k2ab+k3b2．若2△（﹣3）＝（﹣3）△2，则（　　）
A．k1＝k2 B．k1＝k3 C．k2＝k3 D．k1+k3＝2k2
9．（2020秋•下城区期末）在计算1÷（﹣）时，下列四个过程：①原式＝1÷；②原式＝1÷﹣1÷；③原式＝6÷（2﹣3）；④原式＝1×（3﹣2）．其中正确的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
10．（2020秋•下城区期末）一个密封的长方体容器内装有部分水，液体部分的截面恰好是一个正方形（如图1），液面到容器顶端的距离是6cm．若把该容器横放（如图2），液面到容器顶端的距离是4cm，则这个容器的截面面积是（　　）

A．112cm2 B．160cm2 C．216cm2 D．280cm2
二．填空题（共6小题）
11．（2020秋•拱墅区校级期末）计算：＝　 　；59°57′+18°28′＝　 　．（结果用度表示）
12．（2020秋•西湖区期末）若∠A＝40o17'，则∠A的补角的度数为　 　．
13．（2020秋•下城区期末）如图，在数轴上，点A，点B表示的数分别是﹣8，10．点P以2个单位/秒的速度从A出发沿数轴向右运动，同时点Q以3个单位/秒的速度从点B出发沿数轴在B，A之间往返运动．当点P到达点B时，点Q表示的数是　 　．

14．（2020秋•西湖区期末）某快递公司在市区的收费标准为：寄一件物品，不超过1千克付费10元；超出1千克的部分加收2元/千克．乐乐在该公司寄市区内的一件物品，重x（x＞1）千克，则需支付　 　元（用含x的代数式表示）．
15．（2020秋•西湖区期末）对于三个互不相等的有理数a，b，c，我们规定符号max{a，b，c}表示a，b，c三个数中较大的数，例如max{2，3，4}＝4．按照这个规定则方程max{x，﹣x，0}＝3x﹣2的解为　 　．
16．（2020秋•拱墅区校级期末）从起始站A市坐火车到终点站G市中途共停靠5次，各站点到A市距离如下：
站点
B
C
D
E
F
G
距A市距离（千米）
445
805
1135
1495
1825
2270
若火车车票的价格由路程决定，则沿途总共有　 　种不同的票价．
三．解答题（共8小题）
17．（2020秋•西湖区期末）计算：
（1）（﹣）﹣（﹣）+（﹣）﹣；
（2）﹣8÷（﹣2）2．
18．（2020秋•拱墅区校级期末）计算：
（1）12×（）；
（2）﹣32+5×（﹣6）﹣（﹣4）2÷（﹣2）．
19．（2020秋•拱墅区校级期末）已知（a+b）2014+|b﹣|＝0，求（5a2b﹣2ab2﹣3ab）﹣2（2ab+5a2b﹣2ab2）的值．
20．（2020秋•西湖区期末）在平面内有三点A，B，C．
（1）如图，作出A，C两点之间的最短路线；在射线BC上找一点D，使线段AD长最短．
（2）若A，B，C三点共线，若AB＝20cm，BC＝14cm，点E，F分别是线段AB，BC的中点，求线段EF的长．

21．（2020秋•下城区期末）某景区门票上绘制了简易游览图（如图）．从游客中心到观景台有1km山路，从观景台到山顶有2km山路．圆圆同学从导游口中得知：离观景台500m处有一个凉亭，离凉亭200m处有一个小卖部．

（1）圆圆同学把这张图中的游览线路抽象成一条数轴，其中游客中心是原点，往山顶方向为正方向，1km为1个单位长度，请在数轴上标出小卖部P所有可能的位置，并用数字表示出来．
（2）圆圆同学上山时从游客中心到山顶共用了h小时，下山时从山顶到游客中心的平均速度为v千米/小时，求圆圆同学上山、下山全程的平均速度（用含h和v的代数式表示）．
（3）若凉亭在观景台到山顶的途中．方方同学上午8：00从游客中心出发匀速上山，于8：40到达观景台，在观景台停留30分钟后，以同样的速度继续上山，途中又在凉亭休息了15分钟，到山顶游玩了35分钟后下山（下山途中不再停留），为了在下午13：00准时回到游客中心，方方同学下山的速度比上山的速度快a%，求a的值．
22．（2020秋•拱墅区校级期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠CON的度数；
（2）将图1中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第几秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC？
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．

23．（2020秋•拱墅区校级期末）A、B两地果园分别有苹果20吨和30吨，C、D两地分别需要苹果15吨和35吨；已知从A、B到C、D的运价如下表：

A果园
B果园
到C地
每吨15元
每吨10元
到D地
每吨12元
每吨9元
（1）若从A果园运到C地的苹果为x吨，则从A果园运到D地的苹果为　 　吨，从B果园将苹果运往C地的苹果为　 　吨，从B果园将苹果运往D地的苹果为　 　吨．
（2）若从A果园运到C地的苹果为x吨，用含x的代数式表示从A果园到C、D两地的总运费是　 　元；用含x的代数式表示从B果园到C、D两地的总运费是　 　元．
（3）若从A果园运到C地的苹果为x吨，从A果园到C、D两地的总运费和B果园到C、D两地的总运费之和是545元，若从A果园运到C地的苹果为多少吨？
24．（2020秋•西湖区期末）如图，数轴上有A，B两点，A在B的左侧，表示的有理数分别为a，b，已知AB＝12，原点O是线段AB上的一点，且OA＝5OB．
（1）求a，b的值．
（2）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向数轴正方向匀速运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动，当t为何值时，2OP﹣OQ＝3．
（3）在（2）的条件下，若当点P开始运动时，动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度也向数轴正方向匀速运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后点M就停止运动．求点M停止时，点M在数轴上所对应的数．


2021-2022学年上学期杭州市初中数学七年级期末典型试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2020秋•下城区期末）若a，b均为整数，且b≠0，则不可能是（　　）
A．正数 B．负数 C．无理数 D．实数
【考点】实数．
【专题】实数；数感．
【分析】根据实数的概念判断即可得到答案．
【解答】解：∵a，b均为整数，且b≠0，
∴是一个分数，即为有理数，
∴不可能是无理数，
故选：C．
【点评】此题考查的是实数的概念，掌握其概念是解决此题关键．
2．（2019秋•西湖区期末）用代数式表示：“a，b两数的平方和与a，b乘积的差”，正确的是（　　）
A．a2+b2﹣ab B．（a+b）2﹣ab C．a2b2﹣ab D．（a2+b2）ab
【考点】列代数式．
【分析】先求得a，b两数的平方和为a2+b2，再减去a，b乘积列式得出答案即可．
【解答】解：“a，b两数的平方和与a，b乘积的差”，列示为a2+b2﹣ab．
故选：A．
【点评】此题考查列代数式，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
3．（2020秋•西湖区期末）关于的叙述，正确的是（　　）
A．是有理数
B．面积为4的正方形边长是
C．是无限不循环小数
D．在数轴上找不到可以表示的点
【考点】实数；实数与数轴．
【专题】实数；数感．
【分析】根据有理数的概念分析A；根据正方形面积与边长的关系分析B；根据算术平方根的意义判断C；根据数轴上点与实数的对应关系判断D即可．
【解答】解：A、开不尽，所以是无理数，故选项错误；
B、面积为4的正方形边长是＝2，故选项错误；
C、是无限不循环小数，故选项正确的；
D、数轴上点与实数是一一对应的，故选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查实数的有关概念，熟悉数轴与实数的关系，理解平方根的意义是解题的关键．
4．（2020秋•拱墅区校级期末）下列四个数中，结果为负数的是（　　）
A．﹣1 B．|﹣1| C．（﹣1）2 D．﹣（﹣1）
【考点】正数和负数；相反数；绝对值；有理数的乘方．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据有理数的运算法则即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝﹣1，故A结果为负数．
B、原式＝1，故B结果为正数．
C、原式＝1，故C结果为正数．
D、原式＝1，故D结果为正数．
故选：A．
【点评】本题考查有理数的运算，解题的关键是熟练运用有理数的运算法则，本题属于基础题型．
5．（2020秋•拱墅区校级期末）在﹣，﹣π，0，3.14，﹣，0.，﹣7，﹣3中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】算术平方根；无理数．
【专题】实数；数感．
【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：在﹣，﹣π，0，3.14，﹣，0.，﹣7，﹣3中，无理数有﹣π，，共2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
6．（2020秋•下城区期末）下列选项中，结果小于﹣1的是（　　）
A．2020﹣2021 B．（﹣2021）2020
C．﹣ D．|﹣2020|×（﹣2021）
【考点】绝对值；有理数大小比较；有理数的减法；有理数的乘法；有理数的乘方．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据有理数的乘法法则、乘方法则及减法法则分别进行计算，然后将结果与﹣1比较大小即可．
【解答】解：选项A、2020﹣2021＝﹣1，不符合题意；
选项B、（﹣2021）2020＝20212020＞1，不符合题意；
选项C、∵|﹣|＜|﹣1|，∴﹣＞﹣1，不符合题意；
选项D、|﹣2020|×（﹣2021）＝﹣2020×2021＜﹣1，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了有理数的乘法、乘方运算和大小比较，解题关键是能够准确进行有理数的运算．
7．（2020秋•下城区期末）如图，点C，点D在线段AB上，若AC＝3BC，点D是AC的中点，则（　　）

A．2AD＝3BC B．3AD＝5BD C．AC+BD＝3DC D．AC﹣BD＝2DC
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】由已知条件可得：2AD＝2DC＝AC，再结合图形进行分析即可得出结果．
【解答】解：∵点D是AC的中点，
∴2AD＝2DC＝AC，
∵AC＝3BC，
∴2AD＝3BC，故A选项正确；
∵BD＝DC+BC，
∴5BD＝5（DC+BC）
＝5DC+5BC
＝5AC+5BC，
故B选项错误；
∵AC+BD
＝2DC+DC+BC
＝3DC+BC，
∴C选项错误；
∵AC﹣BD
＝2DC﹣DC﹣BC
＝DC﹣BC，
∴D选项错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查两点间距离，解答的关键是结合图形分析清楚各线段之间的关系．
8．（2020秋•下城区期末）对于实数a，b，定义运算“△”满足：a△b＝k1a2+k2ab+k3b2．若2△（﹣3）＝（﹣3）△2，则（　　）
A．k1＝k2 B．k1＝k3 C．k2＝k3 D．k1+k3＝2k2
【考点】实数的运算．
【专题】实数；符号意识．
【分析】直接利用运算公式代入计算得出答案．
【解答】解：∵a△b＝k1a2+k2ab+k3b2，且2△（﹣3）＝（﹣3）△2，
∴k1×22+k2×2×（﹣3）+k3×（﹣3）2＝k1×（﹣3）2+k2×2×（﹣3）+k3×22，
∴4k1﹣6k2+9k3＝9k1﹣6k2+4k3，
故k3＝k1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
9．（2020秋•下城区期末）在计算1÷（﹣）时，下列四个过程：①原式＝1÷；②原式＝1÷﹣1÷；③原式＝6÷（2﹣3）；④原式＝1×（3﹣2）．其中正确的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据题目中的式子，可以计算出正确的结果，然后即可判断各个小题中的式子是否正确．
【解答】解：1÷（﹣）
＝1÷（﹣）
＝1×（﹣6）
＝﹣6，
①1÷＝1×6＝6，故①错误；
②1÷﹣1÷＝1×3﹣1×2＝3﹣2＝1，故②错误；
③6÷（2﹣3）＝6÷（﹣1）＝﹣6，故③正确；
④1×（3﹣2）＝1×1＝1，故④错误；
故选：C．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
10．（2020秋•下城区期末）一个密封的长方体容器内装有部分水，液体部分的截面恰好是一个正方形（如图1），液面到容器顶端的距离是6cm．若把该容器横放（如图2），液面到容器顶端的距离是4cm，则这个容器的截面面积是（　　）

A．112cm2 B．160cm2 C．216cm2 D．280cm2
【考点】一元一次方程的应用；几何体的表面积；截一个几何体．
【专题】几何图形问题；投影与视图；空间观念；应用意识．
【分析】可设长方体容器多余长是acm，宽是bcm，则高是（b+6）cm，根据液体的体积相等列出方程求出b，再代入b（b+6）即可求出这个容器的截面面积．
【解答】解：设长方体容器多余长是acm，宽是bcm，则高是（b+6）cm，依题意有
ab2＝a（b+6）（b﹣4），
b2＝（b+6）（b﹣4），
b2＝b2+2b﹣24，
解得b＝12，
故这个容器的截面面积是b（b+6）＝12×（12+6）＝216．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，长方体的体积，解题的关键是利用液体的体积相等列出方程．
二．填空题（共6小题）
11．（2020秋•拱墅区校级期末）计算：＝　﹣2　；59°57′+18°28′＝　78.42°　．（结果用度表示）
【考点】立方根；度分秒的换算．
【专题】实数；线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】分别根据立方根的定义以及角的单位换算求解即可．
【解答】解：；
59°57′+18°28′＝77°85′≈78.42°．
故答案为：﹣2；78.42°．
【点评】本题主要考查了立方根以及度分秒的换算，熟记立方根的定义以及角的换算是解答本题的关键，
12．（2020秋•西湖区期末）若∠A＝40o17'，则∠A的补角的度数为　139°43'　．
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】和为180度的两个角互为补角，依此计算即可求解．
【解答】解：∵∠A＝40o17'，
∴∠A的补角的度数为180°﹣40°17'＝139°43'．
故答案为：139°43'．
【点评】本题考查了补角，属于基础题，较简单，主要记住互为补角的两个角的和为180度．
13．（2020秋•下城区期末）如图，在数轴上，点A，点B表示的数分别是﹣8，10．点P以2个单位/秒的速度从A出发沿数轴向右运动，同时点Q以3个单位/秒的速度从点B出发沿数轴在B，A之间往返运动．当点P到达点B时，点Q表示的数是　1　．

【考点】数轴．
【专题】数与式；空间观念；应用意识．
【分析】先求出点P到达点B所用时间，从而可知Q运动的路程，即可得到Q表示的数．
【解答】解：∵点A，点B表示的数分别是﹣8，10，
∴AB＝10﹣（﹣8）＝18，
∴点P到达点B所用时间是18÷2＝9（秒），
∴Q所运动的路程为9×3＝27，
∴Q运动到A后，又返回了27﹣18＝9个单位，
∴Q表示的数是﹣8+9＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查数轴上点表示的数，计算出Q运动的路程是解题的关键．
14．（2020秋•西湖区期末）某快递公司在市区的收费标准为：寄一件物品，不超过1千克付费10元；超出1千克的部分加收2元/千克．乐乐在该公司寄市区内的一件物品，重x（x＞1）千克，则需支付　（2x+8）　元（用含x的代数式表示）．
【考点】列代数式．
【专题】经济问题；应用意识．
【分析】当所寄物品质量大于1千克时，需支付费用＝不超过1千克的付费+2×超出1千克部分的质量．依此列式即可．
【解答】解：依题意可知，乐乐在该公司寄市区内的一件物品，重x（x＞1）千克，则需支付
10+2（x﹣1）＝（2x+8）元．
故答案为：（2x+8）．
【点评】本题考查了列代数式，理解快递公司在市区的收费标准是解题的关键．
15．（2020秋•西湖区期末）对于三个互不相等的有理数a，b，c，我们规定符号max{a，b，c}表示a，b，c三个数中较大的数，例如max{2，3，4}＝4．按照这个规定则方程max{x，﹣x，0}＝3x﹣2的解为　x＝1　．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】根据题意，分两种情况：（1）x≥0；（2）x＜0，应用解一元一次方程的方法，求出方程max{x，﹣x，0}＝3x﹣2的解为多少即可．
【解答】解：（1）x≥0时，
∵max{x，﹣x，0}＝3x﹣2，
∴x＝3x﹣2，
解得x＝1，
∵x＝1＞0，
∴x＝1是方程max{x，﹣x，0}＝3x﹣2的解．
（2）x＜0时，
∵max{x，﹣x，0}＝3x﹣2，
∴﹣x＝3x﹣2，
解得x＝0.5，
∵x＝0.5＞0，
∴x＝0.5不是方程max{x，﹣x，0}＝3x﹣2的解．
综上，可得：
方程max{x，﹣x，0}＝3x﹣2的解为x＝1．
故答案为：x＝1．
【点评】此题主要考查了定义新运算，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
16．（2020秋•拱墅区校级期末）从起始站A市坐火车到终点站G市中途共停靠5次，各站点到A市距离如下：
站点
B
C
D
E
F
G
距A市距离（千米）
445
805
1135
1495
1825
2270
若火车车票的价格由路程决定，则沿途总共有　14　种不同的票价．
【考点】直线、射线、线段．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】分别求出BC、CD、DE、EF、FG的大小，得出AB＝FG，BC＝DE，CD＝EF，根据票价是根据路程决定，分别求出从A、B、C、D、E、F出发的情况，再相加即可．
【解答】解：∵①从A分别到B、C、D、E、F、G共6种票价，
如图
BC＝805﹣445＝360，
CD＝1135﹣805＝330，
DE＝1495﹣1135＝360，
EF＝1825﹣1495＝330，
FG＝2270﹣1825＝445，
即AB＝FG，BC＝DE，CD＝EF，
②∵BC＝360，BD＝690，BE＝1050，BF＝1380，BG＝1825＝AF，
∴从B出发的有4种票价，有BC、BD、BE、BF，4种；
③∵CD＝330，CE＝690＝BD，CF＝1020，CG＝1465，
∴从C出发的（除去路程相同的）有3种票价，有CD，CF，CG，3种；
④∵DE＝360＝BC，DF＝690＝BD，DG＝1135＝AD，
∴从D出发的（除去路程相同的）有0种票价；
⑤∵EF＝330＝CD，EG＝775，
∴从E出发的（除去路程相同的）有1种票价，有EG，1种；
⑥∵FG＝445＝AB，
∴从F出发的（除去路程相同的）有0种票价；
∴6+4+3+0+1+0＝14，
故答案为：14．
【点评】本题考查了线段、射线、直线等知识点的应用，能求出所有情况是解此题的关键，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目，注意要做到不重不漏啊．
三．解答题（共8小题）
17．（2020秋•西湖区期末）计算：
（1）（﹣）﹣（﹣）+（﹣）﹣；
（2）﹣8÷（﹣2）2．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【分析】（1）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用实数运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：（1）原式＝（﹣﹣）+（﹣）
＝﹣2﹣
＝﹣2；

（2）原式＝﹣3﹣8÷4
＝﹣3﹣2
＝﹣5．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（2020秋•拱墅区校级期末）计算：
（1）12×（）；
（2）﹣32+5×（﹣6）﹣（﹣4）2÷（﹣2）．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【分析】（1）根据乘法分配律可以解答本题；
（2）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题．
【解答】解：（1）12×（）
＝12×﹣12×+12×
＝6﹣4+3
＝5；
（2）﹣32+5×（﹣6）﹣（﹣4）2÷（﹣2）
＝﹣9+（﹣30）﹣16×（﹣）
＝﹣9+（﹣30）+8
＝（﹣39）+8
＝﹣31．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
19．（2020秋•拱墅区校级期末）已知（a+b）2014+|b﹣|＝0，求（5a2b﹣2ab2﹣3ab）﹣2（2ab+5a2b﹣2ab2）的值．
【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；整式的加减—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【分析】原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝5a2b﹣2ab2﹣3ab﹣4ab﹣10a2b+4ab2
＝﹣5a2b+2ab2﹣7ab，
∵（a+b）2014+|b﹣|＝0，
∴a+b＝0，b﹣＝0，
解得：a＝﹣，b＝，
当a＝﹣，b＝时，原式＝﹣5×（﹣）2×+2×（﹣）×（）2﹣7×（﹣）×＝﹣﹣+＝．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（2020秋•西湖区期末）在平面内有三点A，B，C．
（1）如图，作出A，C两点之间的最短路线；在射线BC上找一点D，使线段AD长最短．
（2）若A，B，C三点共线，若AB＝20cm，BC＝14cm，点E，F分别是线段AB，BC的中点，求线段EF的长．

【考点】线段的性质：两点之间线段最短；两点间的距离．
【专题】计算题；作图题；运算能力．
【分析】（1）根据两点之间线段最短，点到直线的距离等概念，利用直尺即可作出图形；
（2）根据线段的定义即可求解．
【解答】解：（1）①连接AC，线段AC即为所求；
②作射线BC，过点A作射线BC的垂线，交BC于D，线段AD即为所求．

（2）有两种情况：
①当点C在线段AB的延长线上时，如图1：

因为E，F分别是AB，BC的中点，AB＝20cm，BC＝14cm，
所以AE＝AB＝×20＝10（cm），BF＝BC＝×14＝7（cm），
所以EF＝EB+BF＝10+7＝17（cm）；
②当点C在线段AB上时，如图2：

根据题意，如图2，BE＝AB＝10cm，BF＝BC＝7cm，
所以EF＝BE﹣BF＝10﹣7＝3（cm），
综上可知，线段EF的长度为17cm或3cm．
【点评】本题考查了两点间的距离，线段、射线以及垂线段的作图，是一个基础题，在作图的过程中要注意延伸性．
21．（2020秋•下城区期末）某景区门票上绘制了简易游览图（如图）．从游客中心到观景台有1km山路，从观景台到山顶有2km山路．圆圆同学从导游口中得知：离观景台500m处有一个凉亭，离凉亭200m处有一个小卖部．

（1）圆圆同学把这张图中的游览线路抽象成一条数轴，其中游客中心是原点，往山顶方向为正方向，1km为1个单位长度，请在数轴上标出小卖部P所有可能的位置，并用数字表示出来．
（2）圆圆同学上山时从游客中心到山顶共用了h小时，下山时从山顶到游客中心的平均速度为v千米/小时，求圆圆同学上山、下山全程的平均速度（用含h和v的代数式表示）．
（3）若凉亭在观景台到山顶的途中．方方同学上午8：00从游客中心出发匀速上山，于8：40到达观景台，在观景台停留30分钟后，以同样的速度继续上山，途中又在凉亭休息了15分钟，到山顶游玩了35分钟后下山（下山途中不再停留），为了在下午13：00准时回到游客中心，方方同学下山的速度比上山的速度快a%，求a的值．
【考点】数轴；列代数式．
【专题】整式；应用意识．
【分析】（1）凉亭可在观景台的左边，也可在观景台的右边，小卖部可在凉亭的左边，也可在凉亭的右边，由此标出小卖部P所有可能
的位置；
（2）根据路程、速度、时间的关系即可求解；
（3）根据路程、速度、时间的关系表示出方方同学上山实际时间，计算出下山前总花费时间从而得出下山的时间，根据路程相等列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设Q表示凉亭的位置，凉亭可在观景台的左边，也可在观景台的右边，则Q1可用数字0.5表示，Q2可用数字1.5表示，小卖部可在凉亭的左边，也可在凉亭的右边，小卖部P所有可能的位置，P1可用数字0.3表示，P2可用数字0.7表示，P3可用数字1.3表示，P4可用数字1.7 表示，如图，

（2）圆圆下山用了小时，全程的平均速度为千米/小时；
（3）上山实际时间：40×3＝120（分），
下山前总花费时间：120+30+15+35＝200（分），
上午8：00 到下午13：00共300分，
300﹣200＝100（分），
设上山的速度是v千米/小时，
根据题意得，120v＝100 （1+a%） v，
解得，a＝20．
【点评】本题考查数轴表示数的意义和方法，两点间的距离，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是注意到点的距离等于某一个数的点可以在这个点的左边，也可以在这个点的右边，这是本题容易出错的地方．
22．（2020秋•拱墅区校级期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠CON的度数；
（2）将图1中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第几秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC？
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．

【考点】一元一次方程的应用；角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；
（2）由∠BOC＝120°可得∠AOC＝60°，则∠AON＝30°或∠NOR＝30°，即顺时针旋转300°或120°时ON平分∠AOC，据此求解；
（3）因为∠MON＝90°，∠AOC＝60°，所以∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，然后作差即可．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
又∵OM平分∠BOC，
∠COM＝∠BOC＝60°，
∴∠CON＝∠COM+90°＝150°；

（2）延长NO，
∵∠BOC＝120°
∴∠AOC＝60°，
设在旋转的过程中，在第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，
当直线ON恰好平分锐角∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD＝30°，
即顺时针旋转300°时NO延长线平分∠AOC，
由题意得10t＝300，
解得t＝30，
当NO平分∠AOC，
∴∠NOR＝30°，
即顺时针旋转120°时NO平分∠AOC，
∴10t＝120，
解得t＝12，
故t＝12或30；

（3）∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°，
所以∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°．

【点评】此题考查了一元一次方程的应用，角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．
23．（2020秋•拱墅区校级期末）A、B两地果园分别有苹果20吨和30吨，C、D两地分别需要苹果15吨和35吨；已知从A、B到C、D的运价如下表：

A果园
B果园
到C地
每吨15元
每吨10元
到D地
每吨12元
每吨9元
（1）若从A果园运到C地的苹果为x吨，则从A果园运到D地的苹果为　（20﹣x）　吨，从B果园将苹果运往C地的苹果为　（15﹣x）　吨，从B果园将苹果运往D地的苹果为　（x+15）　吨．
（2）若从A果园运到C地的苹果为x吨，用含x的代数式表示从A果园到C、D两地的总运费是　（3x+240）　元；用含x的代数式表示从B果园到C、D两地的总运费是　（285﹣x）　元．
（3）若从A果园运到C地的苹果为x吨，从A果园到C、D两地的总运费和B果园到C、D两地的总运费之和是545元，若从A果园运到C地的苹果为多少吨？
【考点】列代数式；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】（1）由A果园的苹果吨数结合从A果园运到C地的苹果吨数即可得出从A果园运到D地的苹果重量，再根据C、D两地需要的苹果重量即可得出从B果园运到C、D两地苹果的重量；
（2）根据运费＝重量×每吨运费即可得出从A果园到C、D两地的总运费，再根据运费＝重量×单吨运费即可得出从B果园到C、D两地的总运费；
（3）根据（2）的结论结合总运费即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵A果园有苹果20吨，从A果园运到C地的苹果为x吨，
∴从A果园运到D地的苹果为（20﹣x）吨，从B果园将苹果运往C地的苹果为（15﹣x）吨，
∴从B果园将苹果运往D地的苹果为35﹣（20﹣x）＝（x+15）吨．
故答案为：（20﹣x），（15﹣x），（x+15）；
（2）从A果园到C、D两地的总运费是15x+12（20﹣x）＝（3x+240）元；
从B果园到C、D两地的总运费是10（15﹣x）+9（x+15）＝（285﹣x）元．
故答案为：（3x+240），（285﹣x）；
（3）根据题意得：3x+240+285﹣x＝545，
解得：x＝10．
答：从A果园运到C地的苹果为10吨．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数，解题的关键是：（1）根据数量关系：A果园苹果总重量＝A果园运往C地苹果重量+A果园运往D地苹果重量，B果园苹果总重量＝B果园运往C地苹果重量+B果园运往D地苹果重量列出代数式；（2）根据运费＝重量×每吨运费列出代数式；（3）结合（2）结论以及总运费列出关于x的一元一次方程．
24．（2020秋•西湖区期末）如图，数轴上有A，B两点，A在B的左侧，表示的有理数分别为a，b，已知AB＝12，原点O是线段AB上的一点，且OA＝5OB．
（1）求a，b的值．
（2）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向数轴正方向匀速运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动，当t为何值时，2OP﹣OQ＝3．
（3）在（2）的条件下，若当点P开始运动时，动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度也向数轴正方向匀速运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后点M就停止运动．求点M停止时，点M在数轴上所对应的数．

【考点】数轴；一元一次方程的应用．
【专题】几何动点问题；应用意识．
【分析】（1）由AO＝5OB可知，将12平均分成6份，AO占5份为10，OB占一份为2，由图可知，A在原点的左边，B在原点的右边，从而得出结论；
（2）分两种情况：点P在原点的左侧和右侧时，OP表示的代数式不同，OQ＝2+t，分别代入2OP﹣OQ＝3列式即可求出t的值；
（3）设点M运动的时间为t秒，分两种情况：点M追上点Q；点P与点M相遇时；列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵AB＝12，AO＝5OB，
∴AO＝10，OB＝2，
∴A点所表示的数为﹣10，B点所表示的数为2，
∴a＝﹣10，b＝2．
故答案为：﹣10；2；
（2）当0＜t＜5时，如图1，

AP＝2t，OP＝10﹣2t，BQ＝t，OQ＝2+t，
∵2OP﹣OQ＝3，
∴2（10﹣2t）﹣（2+t）＝3，
解得t＝3，
当点P与点Q重合时，如图2，

2t＝12+t，
解得t＝12，
当5＜t＜12时，如图3，

OP＝2t﹣10，OQ＝2+t，
则2（2t﹣10）﹣（2+t）＝3，
解得t＝8，
综上所述，当t为3或8时，2OP﹣OQ＝3；
（3）设点M运动的时间为t秒，
点M追上点Q，
3（t﹣）＝2+t，
解得t＝6，
∴OP＝2（t﹣5）＝2，
此时OM＝3（t﹣）＝8；
点P与点M相遇时，
2t+3t＝6，
解得t＝1.2，
此时OM＝8﹣3×1.2＝4.4．
故点M停止时，点M在数轴上所对应的数是4.4．
【点评】本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．

考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
4．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
5．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．
6．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
7．有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
8．有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
9．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．

10．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
11．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
12．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
13．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
14．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
　　比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．
　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
15．实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数：
16．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
17．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
18．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
19．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
20．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
21．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
22．几何体的表面积
（1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和）
（2）常见的几种几何体的表面积的计算公式
①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）
②圆锥体表面积：πr2+nπ（h2+r2）360（r为圆锥体低圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角）
③长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）
④正方体表面积：6a2 （a为正方体棱长）
23．截一个几何体
（1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．
（2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．
24．直线、射线、线段
（1）直线、射线、线段的表示方法
①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB．
②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．
③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．

（2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．
25．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
26．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
27．度分秒的换算
（1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
（2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
28．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC＝∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
29．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．