2023年山东省菏泽市成武县育青中学中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年山东省菏泽市成武县育青中学中考数学一模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省菏泽市成武县育青中学中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下列各数，是无理数的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  医学家发现新冠病毒直径约为米，数据用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列四个图案中，不是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  函数中，自变量的取值范围是(    )A.  B. 且 C.  D. 且5.  如图，在中，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，，若，，则的面积为(    )
A.  B.  C.  D. 6.  如图，一条抛物线与轴相交于、两点点在点的左侧，其顶点在线段上移动．若点、的坐标分别为、，点的横坐标的最大值为，则点的横坐标的最小值为(    )
 A.  B.  C.  D. 7.  如图，与是位似图形，相似比为：，已知，则的长为(    )
A.  B.  C.  D. 8.  如图，在中，，，动点在线段上从顶点出发以每秒个单位的速度向终点点运动，动点在线段上从顶点出发以每秒个单位的速度向终点运动，两点同时出发，有一点到达终点后两点都停止运动．设运动的时间为秒，的面积为，则关于的函数图象大致是(    )A.  B.
C.  D. 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）9.  分解因式： ______ ．10.  如图所示，中，，，点在上，以为圆心的半圆分别与、相切于、两点，且的长度为，则图中的阴影部分面积为______．
11.  已知关于的方程的判别式等于，且是方程的根，则的值为______ ．12.  如图，在中，直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，将绕点逆时针旋转后，得到，且反比例函数的图象恰好经过斜边的中点，若，，则______．
 13.  如图，两个边长为的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为______．
 三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）14.  本小题分
计算：．15.  本小题分
先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解．16.  本小题分
在菱形中，，如图，是延长线上一点，连接，交于点是上一点且，连接，，，求的长．
17.  本小题分
春节期间，小明发现远处大楼的大屏幕时出现了“新年快乐”几个大字，小明想利用刚学过的知识测量“新”字的高度：如图，小明先在处，测得“新”字底端的仰角为，再沿着坡面向上走到处，测得“新”字顶端的仰角为，坡面的坡度：，，假设、、、、在同一平面内．
求点的高度；
求“新”字的高度长保留一位小数，参考数据
18.  本小题分
疫情期间，某学校需购买，两种消毒剂，负责人小李调查发现： 购买数量：
种类：购买数量少于瓶购买数量不少于瓶原价销售全部以原价的折销售原价销售全部以原价的折销售若种消毒剂每瓶原价比种消毒剂每瓶原价少元，用元以原价购买种消毒剂与用元以原价购买种消毒剂的数量相同．
求，两种消毒剂每瓶原价各为多少元？
该学校预计购买，两种消毒剂共瓶，且种消毒剂不少于种消毒剂数量的，如何购买使所需费用最少，最少费用为多少元？19.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的、两点，与轴交于点．点为轴负半轴上一点，连接，延长交反比例函数于点，连接已知，，．
求反比例函数和直线的解析式；
求的面积．
20.  本小题分
教育部去年月份发布关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知，提出多项措施改善和保证学生睡眠时间．今年年初，某中学为了解九年级学生的睡眠状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，睡眠时间时，分为：，：，：，：四个睡眠时间段．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

本次抽样调查共抽取了______名学生，请补全条形统计图；
若该中学九年级共有名学生，请你估计该中学九年级学生中睡眠时间段为的学生有多少名？
若从睡眠时间段为的名男生名女生中随机的抽取名学生，了解睡眠时间较少的原因，求所抽取的两人恰好都是女生的概率．21.  本小题分
如图，四边形内接于，，、的延长线交于点，点在上，且．
求证：是的切线；
若，，，求．
22.  本小题分
在习题课上，老师让同学们以课本一道习题“如图，，，，四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓库和分别位于和上，且证明两条直路且”为背景开展数学探究．
独立思考：将上题条件中的去掉，将结论中的变为条件，其他条件不变，那么还成立吗？请写出答案并说明理由；
合作交流：“祖冲之”小组的同学受此问题的启发提出：如图，在正方形内有一点，过点作，点、分别在正方形的对边、上，点、分别在正方形的对边、上，那么与相等吗？并说明理由．
拓展应用：“杨辉”小组的同学受“祖冲之”小组的启发，想到了利用图的结论解决以下问题：
如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，折痕为，点在边上，点在边上．请你画出折痕，则折痕的长是______；线段的长是______．
 23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的动点．
求抛物线的解析式；
连接与，交于点，求当的值最大时点的坐标；
点与点关于抛物线的对称轴成轴对称，当点的纵坐标为时，过点作直线轴，点为直线上的一个动点，过点作轴于点，在线段上任取一点，当有且只有一个点满足时，请直接写出此时线段的长．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、是无理数，故本选项符合题意；
D、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：．
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 2.【答案】 【解析】解：，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 3.【答案】 【解析】解：、是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，符合题意；
C、是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念即可求解．
本题考查了中心对称的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
 4.【答案】 【解析】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：且，
解得：且．
故选：．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，分母不等于，就可以求解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
 5.【答案】 【解析】解：，，，

由作图可知，垂直平分线段，
，，
的面积．
故选：．
利用勾股定理求出，解直角三角形求出，可得结论．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 6.【答案】 【解析】解：根据题意知，
点的横坐标的最大值为，此时对称轴过点，点的横坐标最大，此时的点坐标为，
当对称轴过点时，点的横坐标最小，此时的点坐标为，点的坐标为，
故点的横坐标的最小值为，
故选：．
根据顶点在线段上移动，又知点、的坐标分别为、，分别求出对称轴过点和时的情况，即可判断出点横坐标的最小值．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解二次函数在平行于轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．
 7.【答案】 【解析】解：与是位似图形，相似比为：，
，
，
，
故选：．
根据相似图形的相似比的概念计算即可．
本题考查的是位似图形的概念，正确理解位似图形的相似比的概念是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：过点作于点，则在边上的高为，

由题意知，，
，
，
，
，
，
满足条件的图象为选项，
故选：．
当点运动到点时，点还没有到达点，即，过点作于，用表示出的底边和高，即可确定图象．
本题主要考查动点问题的函数图象，关键是要把和之间的函数关系式求出来，再根据关系式即可确定对应的图象．
 9.【答案】 【解析】解：


．
故答案为：．
根据，可推断出．
本题主要考查运用公式法进行因式分解，熟练掌握运用公式法进行因式分解是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：如图，连接、、，

半圆分别与，相切于点，．
，，
，
，
，
的长为，
，
，
，
在中，，，
，
，
，



．
故答案为：．
连接、、，根据半圆分别与，相切于点，可得，，由，可得，得，再根据的长为，可得，连接，根据中，，，可得，进而可求图中阴影部分的面积．
本题考查了切线的性质、弧长的计算、扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握弧长和扇形面积的计算公式．
 11.【答案】 【解析】解：由题意可得：，
即，
再将代入原方程得：，
根据题意得：
两方程相加可得，
解得，
把代入中，
可得，
则．
故答案为．
由得一关于，的方程，再将代入原方程又得一关于，的方程．联立两个方程组成方程组，解方程组即可求出、的值．
此题考查了根的判别式，以及方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为解方程组的问题．
 12.【答案】 【解析】解：设点坐标为，作交边于点，
，
，
，
，，
≌，
，，
点为斜边的中点，，
，，
，，
．
故答案为．
先根据，求出、的长度，再根据点为斜边的中点，求出点的坐标，点的横纵坐标之积即为值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键在于读懂题意，作出合适的辅助线，求出点的坐标，然后根据点的横纵坐标之积等于值求解即可．
 13.【答案】 【解析】解：如图，连接、，则，

，
是正方形，为正方形的中心，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故答案是：．
连接、，证明≌，得阴影部分的面积等于的面积，再由的面积与正方形的面积的关系求得结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，关键是构造全等三角形得到阴影部分的面积等于的面积．
 14.【答案】解：原式

． 【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 15.【答案】解：原式


，
不等式组，
解得：，
不等式组的整数解是或或或，
当，，时，原式没有意义；
当时，原式． 【解析】先化简式子为，再求解不等式的整数解为，最后将代入化简的式子中即可求解．
本题考查分式的化简，一元一次不等式组的解法；熟练掌握分式的化简技巧，准确解一元一次不等式组是解题的关键．
 16.【答案】解：作，交的延长线于，作于，
，
点、、、共圆，
，，
四边形是菱形，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
． 【解析】作，交的延长线于，作于，可推出点、、、共圆，从而，，可推出，从而，进而得出，从而，进而推出≌，从而，进一步得出结果．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
 17.【答案】解：坡面的坡度：，
：，
，
；
如图，过作于，
由勾股定理得，，
，
在中，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
答：“新”字的高度约为． 【解析】由坡度的概念求出即可；
由勾股定理求出，再由锐角三角函数定义求出和，即可解决问题．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 18.【答案】解：设种消毒剂每瓶原价为元瓶、则种消毒剂每瓶原价元瓶，
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：，两种消毒剂每瓶原价分别为元瓶，元瓶；
设购买种消毒剂瓶，则购买种消毒剂瓶，费用为元，
种消毒剂不少于种消毒剂数量的，
，
解得，，
则，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，此时，，
答：当购买种消毒剂瓶，种消毒剂瓶时，所需费用最少，最少费用为元． 【解析】根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以得到，两种消毒剂每瓶原价各为多少元；
根据题意，可以列出相应的函数解析式和不等式，然后根据一次函数的性质，即可解答本题．
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
 19.【答案】解：，则，

则，同理，
故点，则点
故反比例函数表达式为：；
，则一次函数表达式为：，
将点的坐标代入上式并解得：，
故直线的表达式为：；

联立并解得：或，故点，
令，则，故点，而点，
故CE轴，
故的面积． 【解析】，则，求出，则点；，则一次函数表达式为：，将点的坐标代入上式并解得：，故直线的表达式即可求解；
故的面积即可求解．
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，确定点的坐标是突破口，难点在于确定与轴垂直，本题难度适中，综合性较好．
 20.【答案】 【解析】解：本次抽样调查的学生人数为名，类别人数为名，
补全图形如下：

估计该中学九年级学生中睡眠时间段为的学生有名；
画树状图如图：

共有个等可能的结果，所抽取的两人恰好都是女生的结果有个，
抽取的两人恰好都是女生的概率为．
由类别人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去、、人数求出对应人数，从而补全图形；
用总人数乘以样本中对应人数所占比例即可；
画树状图，再由概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 21.【答案】解：如图，连接，
，
点必在上，即：是直径，
，
，
，
，
，
，
，即：，
点在上，
是的切线；
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
． 【解析】先判断出是圆的直径，再判断出，即可得出结论；
根据余角的性质和等腰三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到．
此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键．
 22.【答案】  【解析】解：，
理由如下：，
，
又，，
≌，
；

解：，理由如下：
如图，作交于，作交于，

，，
四边形四边形都是平行四边形，
，，
由知，，
；
解：如图，

为的中点，
，
，
，由可知，
，
设，则．
在中，，
即，
解得．
线段的长为．
故答案为：，．
根据可求出，再由，，可证明≌，则结论得出；
可通过构建与已知条件相关的三角形来求解．作交于，作交于，那么，，中我们已证得、全等，那么，即；
求出长，由可知，设，则将所有未知量转化到直角三角形中，利用勾股定理解答即可．
本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、翻折不变性等知识，熟练掌握正方形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
 23.【答案】解：抛物线与轴交于点、，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
如图，过点作轴，交于，

抛物线的解析式为与轴交于点，
点，
直线解析式为，
设点，则点坐标为，
，
，
，
当时，的值有最大值，
点；
当点在点的右侧，如图，连接，以为斜边，作等腰直角，当以为圆心为半径作圆，与轴相切于，此时有且只有一个点满足，

连接，交于，延长交于，则轴，
设点，
点、，
抛物线的对称轴为直线，
点与点关于抛物线的对称轴成轴对称，
点，轴，
，
，，
，
，
，
又，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
点的坐标，
轴，
，
当点在点的左侧，同理可求，
综上所述：线段的长为或． 【解析】利用待定系数法可求解析式；
过点作轴，交与，先求出直线的解析式，设点，则点坐标为，可求的长，由平行线分线段成比例可得，利用二次函数的性质可求解；
分两种情况讨论，连接，以为斜边，作等腰直角，当以为圆心为半径作圆，与轴相切于，此时有且只有一个点满足，设点，由“”可证≌，可得，，由勾股定理可求的值，可求点坐标，即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．