2023年山东省菏泽市鄄城县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年山东省菏泽市鄄城县中考数学一模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省菏泽市鄄城县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）
1．中考所用排球的重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图是一根空心方管，它的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
3．一方有难，八方支援！据报道，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情在湖北肆虐期间，先后约有42000名来自外省的医护人员勇敢逆行、驰援湖北．将“42000”用科学记数法表示正确的是（　　）
A．42×103 B．4.2×103 C．4.2×104 D．4.24
4．下列运算正确的是（　　）
A．（a4）3＝a7 B．a3+a2＝a5
C．（a﹣3）2＝a2﹣3a+9 D．（12a2﹣3a）÷3a＝4a﹣1
5．有7名大学生去同一家大型公司去面试，公司只录取3人，每个人仅知道自己的面试成绩（每个人的面试成绩都不相同），要想让他们知道是否被录取，公司只需要公布他们面试成绩的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
6．如图，点C在以AB为直径的圆上，则BC＝（　　）

A．AB•sinB B．AB•cosB C． D．
7．反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b的交点的纵坐标如图所示，则不等式＞kx+b的解集是（　　）

A．x＜﹣1或0＜x＜2 B．x＜﹣2或0＜x＜1
C．﹣1＜x＜0或x＞2 D．﹣2＜x＜0或x＞1
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，下列结论：①a＞0；②c＜0；③4a＝b；④b2﹣4ac＜0；⑤a﹣b+c＞0．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．）
9．分解因式：2ax2﹣8a＝　 　．
10．2022年冬奥会的主题口号是“一起向未来”．从5张上面分别写着“一”“起”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“来”字的概率是 　 　．
11．一个圆柱形蓄水池的底面半径为xcm，蓄水池的侧面积为40πcm2，则这个蓄水池的高h（cm）与底面半径x（cm）之间的函数关系式为 　 　．
12．按一定规律排列的单项式：4a，﹣9a3，16a5，﹣25a7，36a9，⋯，则第n个单项式用含n的式子可表示为 　 　．
13．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，若菱形OABC的面积为6，则k的值为 　 　．

14．如图，AB为半圆O的直径，四边形ABCD是平行四边形，点D在半圆O上，CD与半圆O交于点M．若，则图中阴影部分的面积为 　 　．

三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．）
15．计算：．
16．解不等式组：．
17．先化简：（+）÷，再从﹣2，﹣1，0，1中选出合适的数代入求值．
18．如图，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点G，点E、F分别在边BC、CD上，求证：BE＝CF．

19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都位于方格交点处．
（1）请写出点B关于y轴对称的点的坐标 　 　；
（2）请在图中画出△ABC关于坐标原点O对称的△A1B1C1（点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1）．

20．某校从甲、乙两个班各随机抽取10名学生参加全市义务教育质量监测．样本学生中体育学科的测试成绩（满分100分）如表，学校进一步对样本学生每周课外锻炼时间进行了问卷调查，并绘制了条形统计图，数据如表：

样本学生测试成绩
甲班
53
65
65
65
78
79
81
82
84
93
乙班
61
63
68
75
78
78
78
80
81
83

平均数
方差
中位数
众数
甲班
　 　
129.65
78.5
65
乙班
74.5
53.85
　 　
78
请根据以上调查报告，解答下列问题：

（1）请完成样本学生成绩表中所缺数据；
（2）甲班有50名学生，估计在这些学生中课外锻炼时间达到3小时以上的人数；
（3）从表中分析甲、乙两班样本学生测试成绩（从平均数、方差、中位数、众数中选一个统计量分析即可）．
21．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD的长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°，测得B点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）．（已知≈1.732，tan20°≈0.36，结果精确到0.1）

22．某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如表所示：

甲
乙
进价（元/千克）
x
x+4
售价（元/千克）
20
25
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）若该超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，若全部卖完所购进的这两种水果，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
23．如图，在⊙O中，弦CD与直径AB交于点F，弦DC的延长线与过点A的⊙O的切线交于点E，连接AD，AC，BC，且AC＝CF．
（1）求证：AD＝AE；
（2）若AC＝，tanB＝，求AE的长．

24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0）．点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．
（1）求这个二次函数及直线BC的表达式．
（2）过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，求PD的最大值．
（3）点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠NMO为直角，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．




参考答案
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）
1．中考所用排球的重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可．
解：∵|+0.9|＝0.9，|﹣1.1|＝1.1，|+1|＝1，|﹣0.5|＝0.5，
0.5＜0.9＜1＜1.1，
∴最接近标准的是选项D中的排球．
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键，主要考查学生的理解能力，题目具有一定的代表性，难度也不大．
2．如图是一根空心方管，它的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的棱都应表现在俯视图中．
解：中空的正方体的俯视图是正方形，里面有两条用虚线表示的看不到的棱，
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
3．一方有难，八方支援！据报道，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情在湖北肆虐期间，先后约有42000名来自外省的医护人员勇敢逆行、驰援湖北．将“42000”用科学记数法表示正确的是（　　）
A．42×103 B．4.2×103 C．4.2×104 D．4.24
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：42000＝4.2×104，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．下列运算正确的是（　　）
A．（a4）3＝a7 B．a3+a2＝a5
C．（a﹣3）2＝a2﹣3a+9 D．（12a2﹣3a）÷3a＝4a﹣1
【分析】利用合并同类项的法则，完全平方公式，整式的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
解：A、（a4）3＝a12，故A不符合题意；
B、a3与a2不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、（a﹣3）2＝a2﹣6a+9，故C不符合题意；
D、（12a2﹣3a）÷3a＝4a﹣1，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．有7名大学生去同一家大型公司去面试，公司只录取3人，每个人仅知道自己的面试成绩（每个人的面试成绩都不相同），要想让他们知道是否被录取，公司只需要公布他们面试成绩的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】总共有7名大学生参加面试，只要确定每个人与成绩的第4名的成绩的多少即可判断，然后根据中位数定义即可判断．
解：知道自己是否被录取，只需公布第4名的成绩，即中位数．
故选：B．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
6．如图，点C在以AB为直径的圆上，则BC＝（　　）

A．AB•sinB B．AB•cosB C． D．
【分析】连接AC，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，解直角三角形得出cosB＝，再求出BC即可．
解：连接AC，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵cosB＝，
∴BC＝AB•cosB，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形和圆周角定理，能根据圆周角定理得出∠ACB＝90°是解此题的关键．
7．反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b的交点的纵坐标如图所示，则不等式＞kx+b的解集是（　　）

A．x＜﹣1或0＜x＜2 B．x＜﹣2或0＜x＜1
C．﹣1＜x＜0或x＞2 D．﹣2＜x＜0或x＞1
【分析】先求出交点横坐标，再根据图象即可确定不等式的解集．
解：根据图象可知，反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b的交点的纵坐标分别为1，﹣2，
将交点纵坐标分别代入反比例函数解析式，得交点横坐标分别为2，﹣1，
∴不等式＞kx+b的解集是x＜﹣1或0＜x＜2，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象是解题的关键．
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，下列结论：①a＞0；②c＜0；③4a＝b；④b2﹣4ac＜0；⑤a﹣b+c＞0．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用二次函数的性质，结合函数的特性，利用数形结合的方法对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
解：∵抛物线的开口方向向上，
∴a＞0，
∴①的结论正确；
令x＝0，则y＝c，
∴抛物线与y轴交于点（0，c）．
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∴②的结论正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，
∴﹣＝﹣2，
∴b＝4a．
∴③的结论正确；
由图象知：抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴④的结论不正确；
由图象知：当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴⑤的结论不正确．
综上，正确的结论有：①②③，
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，利用数形结合法解答是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．）
9．分解因式：2ax2﹣8a＝　2a（x+2）（x﹣2）　．
【分析】首先提公因式2a，再利用平方差进行二次分解即可．
解：原式＝2a（x2﹣4）＝2a（x+2）（x﹣2）．
故答案为：2a（x+2）（x﹣2）．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
10．2022年冬奥会的主题口号是“一起向未来”．从5张上面分别写着“一”“起”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“来”字的概率是 　　．
【分析】利用概率公式直接求解即可．
解：∵五个字中有一个“来”字，
∴从5张上面分别写着“一”“起”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“来”字的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
11．一个圆柱形蓄水池的底面半径为xcm，蓄水池的侧面积为40πcm2，则这个蓄水池的高h（cm）与底面半径x（cm）之间的函数关系式为 　h＝　．
【分析】根据蓄水池的侧面积为长方形，长方形的面积公式＝2πx•h，然后即可得这个蓄水池的高h（cm）与底面半径x（cm）之间的函数关系式．
解：由题意可得，
40π＝2πx•h，
∴20＝xh，
∴h＝．
故答案为：h＝．
【点评】本题考查反比例函数的应用、长方形的面积，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式．
12．按一定规律排列的单项式：4a，﹣9a3，16a5，﹣25a7，36a9，⋯，则第n个单项式用含n的式子可表示为 　（﹣1）n+1（n+1）2a2n﹣1　．
【分析】通过观察发现：系数的规律是：（﹣1）n+1（n+1）2，a的指数的规律是2n﹣1，即可求解．
解：∵4a，﹣9a3，16a5，﹣25a7，36a9，⋯，
∴系数的规律是：（﹣1）n+1（n+1）2，a的指数的规律是2n﹣1，
∴第n个单项式是：（﹣1）n+1（n+1）2a2n﹣1．
故答案为：（﹣1）n+1（n+1）2a2n﹣1．
【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察单项式的系数和字母的指数，找到一般规律是解题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，若菱形OABC的面积为6，则k的值为 　3　．

【分析】连接AC交OB于D，由菱形的性质可知AC⊥OB．根据反比例函数中k的几何意义，再根据菱形的面积为6，即可求出k的值．
解：连接AC交OB于D．

∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，
∴菱形的面积＝4S△AOD，
∵顶点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴解得：k＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查菱形的性质、反比例函数系数k的几何意义，掌握菱形的性质，理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提．
14．如图，AB为半圆O的直径，四边形ABCD是平行四边形，点D在半圆O上，CD与半圆O交于点M．若，则图中阴影部分的面积为 　　．

【分析】连接BD，OM，先根据证出四边形OADM是菱形，四边形OBCM是平行四边形，从而可得，再根据圆的性质可得S扇形BOM＝S扇形DOM＝S扇形AOD，从而可得图中阴影部分的面积为S▱OBCM＝S△ABD，然后根据圆周角定理、勾股定理可求出BD＝12，利用直角三角形的面积公式求解即可得．
解：如图，连接BD，OM，

∵，AO＝DO＝BO，
∴△AOD是等边三角形，，
∴∠AOD＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠ODM＝∠AOD＝60°，
∵OD＝OM，
∴△DOM是等边三角形，
∴DM＝OM＝AO＝AD，∠DOM＝60°，
∴四边形OADM是菱形，
∴AD∥OM，S△DOM＝S△AOD，
∴BC∥OM，
∴四边形OBCM是平行四边形，
∴，
又∵∠AOD＝60°，∠DOM＝60°，
∴∠BOM＝60°＝∠AOD＝∠DOM，
∴S扇形BOM＝S扇形DOM＝S扇形AOD，
∴图中阴影部分的面积为S▱OBCM＝S△ABD，
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴，
则图中阴影部分的面积为，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理等知识点，熟练掌握各定理与性质是解题关键．
三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．）
15．计算：．
【分析】根据二次根式的性质、去绝对值及负指数幂直接求解即可得到．
解：原式＝＝＝．
【点评】本题考查了实数的运算以及负整数指数幂，解题的关键是注意符号选取．
16．解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：由x﹣2＞1，得：x＞3，
由﹣2（x﹣1）＞6得：x＜﹣2，
则不等式组无解．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．先化简：（+）÷，再从﹣2，﹣1，0，1中选出合适的数代入求值．
【分析】直接将括号里面进行加减运算，再利用分式的除法运算法则计算得出答案．
解：原式＝[+]×
＝×
＝×
＝，
∵a+2≠0，a（a﹣2）≠0，
∴a≠﹣2，0，2，
当a＝1时，原式＝﹣1；
当a＝﹣1时，原式＝．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．如图，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点G，点E、F分别在边BC、CD上，求证：BE＝CF．

【分析】根据∠BGE＝90°，利用同角的余角相等得出∠GEB＝∠CFB，再根据AAS即可证出△ABE≌△BCF，进而可以解决问题．
【解答】证明：∵正方形ABCD中，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∴∠GBE+∠CFB＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠BGE＝90°，
∴∠GBE+∠GEB＝90°，
∴∠GEB＝∠CFB，
∴△ABE≌△BCF（AAS）．
∴BE＝CF．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是得到△ABE≌△BCF．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都位于方格交点处．
（1）请写出点B关于y轴对称的点的坐标 　（1，1）　；
（2）请在图中画出△ABC关于坐标原点O对称的△A1B1C1（点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1）．

【分析】（1）关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同，由此可得答案．
（2）根据中心对称的性质画图即可．
解：（1）∵B（﹣1，1），
∴点B关于y轴对称的点的坐标为（1，1）．
故答案为：（1，1）．
（2）如图，△A1B1C1即为所求．

【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、中心对称，熟练掌握轴对称和中心对称的性质是解答本题的关键．
20．某校从甲、乙两个班各随机抽取10名学生参加全市义务教育质量监测．样本学生中体育学科的测试成绩（满分100分）如表，学校进一步对样本学生每周课外锻炼时间进行了问卷调查，并绘制了条形统计图，数据如表：

样本学生测试成绩
甲班
53
65
65
65
78
79
81
82
84
93
乙班
61
63
68
75
78
78
78
80
81
83

平均数
方差
中位数
众数
甲班
　74.5　
129.65
78.5
65
乙班
74.5
53.85
　78　
78
请根据以上调查报告，解答下列问题：

（1）请完成样本学生成绩表中所缺数据；
（2）甲班有50名学生，估计在这些学生中课外锻炼时间达到3小时以上的人数；
（3）从表中分析甲、乙两班样本学生测试成绩（从平均数、方差、中位数、众数中选一个统计量分析即可）．
【分析】（1）根据平均数和中位数的定义求解即可；
（2）总人数乘以甲班课外锻炼时间达到3小时以上的人数所占比例即可；
（3）根据平均数、中位数、方差的意义求解即可（答案不唯一）．
解：（1）甲班平均数为＝74.5，
乙班中位数为＝78，
故答案为：74.5，78；
（2）50×＝15（名），
答：估计在这些学生中课外锻炼时间达到3小时以上的人数为15名；
（3）从中位数看，甲班成绩的中位数大于乙班，
所以甲班高分人数多于乙班．
【点评】本题考查条形统计图、样本估计总体，理解统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
21．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD的长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°，测得B点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）．（已知≈1.732，tan20°≈0.36，结果精确到0.1）

【分析】在Rt△ACD和Rt△BCD中，根据锐角三角函数求出AD、BD，即可求出AB．
解：如图，由题意得，在△ABC中，CD＝100，∠ACD＝30°，∠DCB＝20°，CD⊥AB，
在Rt△ACD中，AD＝CD•tan∠ACD＝100×≈57.73（米），
在Rt△BCD中，BD＝CD•tan∠BCD≈100×0.36≈36（米），
∴AB＝AD+DB＝57.73+36＝93.73≈93.7（米），
答：斜拉索顶端A点到海平面B点的距离AB约为93.7米．

【点评】考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数的意义，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的前提．
22．某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如表所示：

甲
乙
进价（元/千克）
x
x+4
售价（元/千克）
20
25
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）若该超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，若全部卖完所购进的这两种水果，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）根据用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解之即可；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（100﹣m）千克，利润为y，列出y关于m的表达式，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出m的范围，再利用一次函数的性质求出最大值．
解：（1）由题意得，，
解得x＝16，
经检验，x＝16是原方程的解，
答：甲的进价是16元/千克，乙的进价是20元/千克；
（2）假设购买甲a千克，则购买乙（100﹣a）千克，总利润是W元．
W＝4a+5（100﹣a）＝﹣a+500，
∵a≥3（100﹣a），
∴a≥75，
∵﹣1＜0，
∴a越小，W越大，
即a＝75时，W最大，为425元．
答：当超市进甲75千克，进乙25千克时，利润最大是425元．
【点评】本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式．
23．如图，在⊙O中，弦CD与直径AB交于点F，弦DC的延长线与过点A的⊙O的切线交于点E，连接AD，AC，BC，且AC＝CF．
（1）求证：AD＝AE；
（2）若AC＝，tanB＝，求AE的长．

【分析】（1）由圆周角定理，切线的性质，可以证明∠D＝∠E，于是推出AD＝AE；
（2）作CH⊥AF于H，由三角形面积公式求出CH的长，由条件可以证明CH是△FAE的中位线，即可求出AE的长．
【解答】（1）证明：∵AC＝CF，
∴∠AFC＝∠CAF，
∵AE切圆于A，
∴直径AB⊥AE，
∴∠FAE＝90°，
∴∠EAC+∠FAC＝∠E+∠AFE＝90°，
∴∠E＝∠EAC，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠CAE，
∴∠B＝∠E，
∵∠D＝∠B，
∴∠D＝∠E，
∴AD＝AE；
（2）解：作CH⊥AF于H，
∵tanB＝＝，AC＝，
∴BC＝2，
∴AB＝＝5，
∵AB•CH＝AC•BC，
∴5CH＝×2，
∴CH＝2，
∵AC＝FC，CH⊥AB，
∴AH＝HF，
∵∠E＝∠EAC，
∴CA＝CE，
∴CE＝FC，
∴CH是△FAE的中位线，
∴CH＝AE，
∴AE＝2×2＝4．

【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，关键是作CH⊥AF于H，构造三角形的中位线．
24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0）．点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．
（1）求这个二次函数及直线BC的表达式．
（2）过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，求PD的最大值．
（3）点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠NMO为直角，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．


【分析】（1）将B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，列方程组并且解该方程组求出b、c的值，设直线BC的表达式为y＝kx+3，则3k+3＝0，解方程求出k的值，得到二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3，直线BC的表达式为y＝﹣x+3；
（2）设P（x，﹣x2+2x+3），则D（x，﹣x+3），所以PD＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，即可求得PD的最大值为；
（3）设N（m，﹣m2+2m+3），先求得抛物线的对称轴是直线x＝1，设直线x＝1交x轴于点G，则G（1，0），MG⊥x轴，作NF⊥MG于点F，可证明△FMN≌△GOM，再分四种情况讨论，一是点M在x轴上方，且点N在直线OM左侧，可列方程﹣m2+2m+3﹣（1﹣m）＝1；二是点M在x轴上方，且点N在直线OM右侧，可列方程m﹣1﹣（﹣m2+2m+3）＝1；三是点M在x轴下方，且点N在直线OM右侧，可列方程﹣m2+2m+3﹣（1﹣m）＝1；四是点M在x轴下方，且点N在直线OM左侧，可列方程m﹣1﹣（﹣m2+2m+3）＝1，分别求出相应的符合题意的m值，再求出对应的点N的纵坐标即可．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，3），
∴，
解得，
设直线BC的表达式为y＝kx+3，则3k+3＝0，
解得k＝﹣1，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3，直线BC的表达式为y＝﹣x+3．
（2）如图1，设P（x，﹣x2+2x+3），
∵PD∥y轴交直线BC于点D，，
∴D（x，﹣x+3），
∴PD＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，
∵PD＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，PD最大＝，
∴PD的最大值为．
（3）存在，设N（m，﹣m2+2m+3），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴是直线x＝1，
设直线x＝1交x轴于点G，则G（1，0），MG⊥x轴，
作NF⊥MG于点F，则∠MFN＝∠OGM＝90°，F（1，﹣m2+2m+3），
如图2，点M在x轴上方，且点N在直线OM左侧，
∵∠NMO＝90°，MN＝OM，
∴∠FMN＝∠GOM＝90°﹣∠OMG，
∴△FMN≌△GOM（AAS），
∴MF＝OG＝1，FN＝GM＝1﹣m，
∴﹣m2+2m+3﹣（1﹣m）＝1，
解得m1＝，m2＝（不符合题意，舍去），
∴GF＝GM+MF＝1﹣+1＝，
∴N（，）；
如图3，点M在x轴上方，且点N在直线OM右侧，
同理可得△FMN≌△GOM（AAS），
∴MF＝OG＝1，FN＝GM＝m﹣1，
∴m﹣1﹣（﹣m2+2m+3）＝1，
解得m1＝，m2＝（不符合题意，舍去），
∴GF＝GM﹣MF＝﹣1﹣1＝，
∴N（，）；
如图4，点M在x轴下方，且点N在直线OM右侧，
同理可得△FMN≌△GOM（AAS），
∴MF＝OG＝1，FN＝GM＝m﹣1，
∴M（1，1﹣m），
∴﹣m2+2m+3﹣（1﹣m）＝1，
解得m1＝，m2＝（不符合题意，舍去），
∴GF＝GM﹣MF＝﹣1﹣1＝，
∴yN＝yF＝﹣＝，
∴N（，）；
如图5，点M在x轴下方，且点N在直线OM左侧，
同理可得△FMN≌△GOM（AAS），
∴MF＝OG＝1，FN＝GM＝1﹣m，
∴M（1，m﹣1），
∴m﹣1﹣（﹣m2+2m+3）＝1，
解得m1＝，m2＝（不符合题意，舍去），
∴GF＝GM+MF＝1﹣+1＝，
∴yN＝yF＝﹣＝，
∴N（，），
综上所述，点N的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．



【点评】此题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解一元二次方程、二次根式的化简、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．