初中人教版24.1.1 圆第2课时复习练习题

第2课时　切线的判定和性质

知能演练提升

一、能力提升

1.(2020·黑龙江哈尔滨中考)如图,AB为☉O的切线,点A为切点,OB交☉O于点C,点D在☉O上,连接AD,CD,OA,若∠ADC=35°,则∠ABO的度数为(　　)

A.25° B.20° C.30° D.35°

2.如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门,小红到影视城游玩,她了解到这扇门的相关数据:这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的,AB=CD=0.25 m,BD=1.5 m,且AB,CD与水平地面都是垂直的.根据以上数据,请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是(　　)

A.2 m B.2.5 m C.2.4 m D.2.1 m

3.如图,☉O与△ABC各边分别相切于点D,E,F,△ABC的周长为20 cm.若AF=5 cm,CF=3 cm,则BE=　　　　 cm. 

4.如图,四边形ABCD内接于☉O,AB是直径,过点C的切线与AB的延长线交于点P,若∠P=40°,则∠D的度数为　　　　　. 

5.如图①,将一个量角器与一张等腰直角三角形(△ABC)纸片放置成轴对称图形,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,半圆(量角器)的圆心与点D重合,测得CE=5 cm,将量角器沿DC方向平移2 cm,半圆(量角器)恰与△ABC的边AC,BC相切,如图②,则AB=　　　　　 cm. 

6.(2020·江苏泰州中考)如图,直线a⊥b,垂足为H,点P在直线b上,PH=4 cm,O为直线b上一动点,若以1 cm为半径的☉O与直线a相切,则OP的长为　　　　　. 

7.如图所示,AB是☉O的直径,点C为☉O上一点,过点B作BD⊥CD,垂足为点D,连接BC,BC平分∠ABD.求证:CD为☉O的切线.

8.如图,Rt△ABC内接于☉O,点D是Rt△ABC斜边AB上的一点,过点D作AB的垂线交AC于点E,过点C作∠ECP=∠AED,CP交DE的延长线于点P,连接PO交☉O于点F.

(1)求证:PC是☉O的切线;

(2)若PC=3,PF=1,求AB的长.

★9.如图,△ABC是边长为4的等边三角形,点O在边AB上,☉O过点B且分别与边AB,BC相交于点D,E,EF⊥AC,垂足为F.

(1)求证:直线EF是☉O的切线;

(2)当直线DF与☉O相切时,求☉O的半径.

二、创新应用

★10.

如图,AB是☉O的直径,AM,BN分别与☉O相切于点A,B,CD交AM,BN于点D,C,DO平分∠ADC.

(1)求证:CD是☉O的切线;

(2)若AD=4,BC=9,求☉O的半径R.

知能演练·提升

一、能力提升

1.B

2.B　设圆弧形门所在圆的圆心为O,取BD的中点F,连接AC.连接OF,交AC于点E.

∵BD是☉O的切线,

∴OF⊥BD.

∵四边形ABDC是矩形,

∴AC∥BD,

∴OE⊥AC,EF=AB.

设圆O的半径为R m,在Rt△AOE中,AE==0.75,OE=R-AB=R-0.25.

∵AE2+OE2=OA2,

∴0.752+(R-0.25)2=R2,

解得R=1.25.

1.25×2=2.5(m).故选B.

3.2

4.115°　连接OC,则OC⊥PC.

∵∠P=40°,∴∠COP=50°,

∴∠OBC=65°,∴∠D=180°-∠OBC=180°-65°=115°.

5.(6+16)　设量角器的半径为x cm,则由题图②知,△GCH为等腰直角三角形,且GH=GC=x cm,CH=(3+x)cm,根据勾股定理,得x=3(+1),从而CD=(3(+1)+5)cm,AB=2CD=(6+16)cm.

6.3 cm或5 cm

7.证明 ∵BC平分∠ABD,

∴∠OBC=∠DBC.

∵OB=OC,

∴∠OBC=∠OCB.

∴∠OCB=∠DBC.∴OC∥BD.

∵BD⊥CD,∴OC⊥CD.

∵OC是☉O的半径,

∴CD为☉O的切线.

8.(1)证明 如图,连接OC.

∵Rt△ABC内接于☉O,

∴圆心O是斜边AB的中点.

∵OA=OC,∴∠A=∠OCA.

∵PD⊥AB,

∴∠A+∠AED=90°.

又∠ECP=∠AED,

∴∠A+∠ECP=90°,

∴∠OCA+∠ECP=90°,

即∠OCP=90°.

∴OC⊥PC,

∴PC是☉O的切线.

(2)解 设☉O的半径为r,

由(1)得OC⊥PC,

在Rt△OCP中,根据勾股定理,得OC2+PC2=OP2,

即r2+32=(r+1)2,解得r=4.

故直径AB的长为8.

9.(1)证明 连接OE,则OB=OE.

∵△ABC是等边三角形,

∴∠ABC=∠C=60°.

∴△OBE是等边三角形.

∴∠OEB=∠C=60°.

∴OE∥AC.

∵EF⊥AC,∴∠EFC=90°.

∴∠OEF=∠EFC=90°.

∴EF是☉O的切线.

(2)解 ∵DF是☉O的切线,

∴∠ADF=90°.

设☉O的半径为r,则BE=r,EC=4-r,AD=4-2r.

在Rt△ADF中,∵∠A=60°,

∴AF=2AD=8-4r.

∴FC=4-(8-4r)=4r-4.

在Rt△CEF中,∵∠C=60°,

∴EC=2FC,

∴4-r=2(4r-4).

解得r=.

∴☉O的半径是.

二、创新应用

10.(1)证明 过点O作OE⊥CD,垂足为E.∵AM与☉O相切于点A,

∴OA⊥AD.

又DO平分∠ADC,

∴OE=OA.

又OA是☉O的半径,

∴OE为☉O的半径.

∴CD是☉O的切线.

(2)解 过点D作DF⊥BC,垂足为F.

∵AM,BN分别与☉O相切于点A,B,

∴AB⊥AD,AB⊥BC.

∴四边形ABFD是矩形.

∴AD=BF,AB=DF.

又AD=4,BC=9,

∴FC=9-4=5.

又AM,BN,DC分别与☉O相切于点A,B,E,

∴DA=DE,CB=CE.

∴DC=AD+BC=4+9=13.

在Rt△DFC中,

DC2=DF2+FC2,

∴DF===12.

∴AB=12.

∴☉O的半径R是6.