2022扬州中学高二下学期期中考试数学含解析

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江苏省扬州中学2021-2022学年度第二学期期中试题高二数学试卷满分：150分， 考试时间：120分钟注意事项：1．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码.2．将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效.3．考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1. 已知从甲地到乙地有乘飞机或者坐轮渡两种交通方式，从乙地到丙地有乘大巴车、高铁或者乘飞机三种交通方式，则从甲地经乙地到丙地不同的交通方式的种数为（    ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 8【答案】C【解析】【分析】根据分步乘法原理求解即可.【详解】解：由题意可知，从甲地经乙地到丙地所有可能的交通方式的种数为种.故选：C2. 直三棱柱中，若，，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的线性运算直接可得解.【详解】由已知得，故选：A.3. 设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】因为两个独立事件A和B，所以,结合,即可求出答案.【详解】由题设条件可得, , 又 ,解得. 所以 .故选：A.4. 设为正整数，的展开式中二项式系数的最大值为，的展开式中的二项式系数的最大值为.若，则的值为（    ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】C【解析】【分析】根据二项式系数的性质得到a，b的值，列出方程求出m.【详解】的展开式中二项式系数的最大值为，故，的展开式中的二项式系数的最大值为或，两者相等，不妨令，则有，解得：.故选：C5. 青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为，且两题是否答对相互之间没有影响，则至少答对一个问题的概率是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】结合相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.【详解】依题意，至少答对一个问题的概率是.故选：A6. 椭圆的左、右焦点为、，P是椭圆上一点，O为坐标原点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用为等边三角形，构造焦点三角形，根据几何关系以及椭圆定义，得到的等量关系，即可求得离心率.【详解】连接，根据题意，作图如下：因为为等边三角形，即可得：，则则，由椭圆定义可知：，故可得：．故选：A.7. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，则直线与平面BDE所成角的正弦值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】以点D为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求平面BDE的一个法向量，进而可求直线与平面BDE所成角.【详解】以点D为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，，所以，，，设平面BDE的一个法向量，则，即，令，则，，所以平面BDE的一个法向量，设直线与平面BDE所成角为，所以．故选：D.8. ，则a，b，c的大小顺序为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数，应用导数研究其单调性，进而比较，，的大小，若有两个解，则，，构造，利用导数确定，进而得到，即可判断a、c的大小，即可知正确选项.【详解】令，则，，，而且，即时单调增，时单调减，又，∴，.若有两个解，则，，即，，令，则，即在上递增，∴，即在上，，若即，故，有∴当时，，故，综上：.故选：A【点睛】关键点点睛：利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）9. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（　　）A. B. C. D. 与夹角的余弦值为【答案】BCD【解析】【分析】由空间向量平行的性质及空间向量模长，数量积，夹角的坐标运算进行判断即可.【详解】对于A选项：，不存在，使得，故A错误；对于B选项：，，故B正确；对于C选项：，，则，故C正确；对于D选项：，，所以，故D正确；故选：BCD.10. 已知随机变量 满足.若,则下列结论正确的是(　　)A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】由已知得，，由期望公式求出，再根据方差公式求出，作差比较大小，由此能求出结果．【详解】∵随机变量满足，，∴，又， ，∴,又，，所以，所以．故选：AC.11. 已知，则（    ）A.  B. 这7个数中只有3个有理数C.  D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据二项式定理对选项逐一判断【详解】由二项式定理知展开式的通项公式为对于A，令，得，则，A正确．对于B，这7个数中，当为偶数时，对应为有理数，B错误．对于C，，C正确．对于D，对两边同时求导，得，令，得，D正确．故选：ACD12. 如图，已知椭圆，过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，连、并延长分别交于、两点，连接，与的面积分别记为、．则下列说法正确的是（    ）A. 若记直线、的斜率分别为、，则的大小是定值B. 的面积是定值C. 线段、长度的平方和是定值D. 设，则【答案】ABD【解析】【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合斜率公式可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用弦长公式可判断C选项；利用三角形的面积公式结合基本不等式可判断D选项.【详解】对于A选项，抛物线的焦点为，若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，联立可得，，则，，A对；对于B选项，设，则，联立可得，解得，不妨设点在第三象限，则，设点在第四象限，同理可得，点到直线的距离为，，所以，，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，，当且仅当时，等号成立，D对.故选：ABD.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13. 已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则_________.X123P0.2a0.5 【答案】2.3【解析】【分析】先由概率总和为1求出参数，再根据期望公式即可求得结果.【详解】由题，由概率性质，，可解得，故，故答案为：2.314. 在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为，且两两夹角为，则的长为________.【答案】【解析】【分析】由已知可得，且，利用空间向量数量积的运算求出的值，即可得解.【详解】由已知可得，且，由空间向量数量积的定义可得，所以，，因此，故答案为：.15. 若的展开式中各项的二项式系数之和为256，且仅有展开式的第5项的系数最大，则a的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，求出幂指数n的值，再求出第r+1项的系数，列出不等式并求解作答.【详解】因的展开式中各项的二项式系数之和为256，则，解得，的展开式中第r+1项的系数为，，而，则当r为奇数时，第r+1项的系数为负，当r为偶数时，第r+1项的系数为正，由仅有展开式的第5项的系数最大得：，化简整理得：，解得，所以a的取值范围为.故答案为：【点睛】关键点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解二项式问题先正确求出通项公式，再结合具体条件推理计算作答．16. 已知函数，．当a=1时，函数在点P（1，）处的切线方程为________；若，，则实数a的最大值为________．【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】求导，代入求出，用点斜式求出切线方程；（2）对函数变形，利用同构及函数单调性得到，参变分离构造新函数，通过其单调性求出极值，最值，进而求出实数a的最大值.【详解】由题意当时，，，则，，所以函数在点处的切线方程为．因为，即，则，令，故，在上恒成立，故在上单调递减，故，得，即，记，则，当时，，当时，，故函数在单调递减，在单调递增，故的最小值是，故，即实数a的最大值是．故答案为：；.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17. （1）计算：；（2）若，求正整数.【答案】（1）1；（2）8.【解析】分析】（1）（2）按照排列数公式计算即可.【详解】（1）；（2）∵，∴，又，化简得，解得.18. 已知.求：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】（1）分别令、可求得、的值，即可求得的值；（2）分别令、，将所得两式作差可求得的值；（3）分析可知当为偶数时，，当为奇数时，，然后令可得出所求代数式的值.【小问1详解】解：令，则，令，则，①因此，.【小问2详解】解：令可得，②①②可得.【小问3详解】解：展开式通项为，则，其中且，当为偶数时，；当为奇数时，.所以，.19. 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与P，投中得1分，投不中得0分．乙投球两次均未命中的概率为．（1）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；（2）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和的数学期望．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用对立事件的概率去求解四次投球中至少一次命中的概率；（2）先求得概率P的值，再去列两人得分之和的分布列求数学期望．【小问1详解】记“这四次投球中至少一次命中”为事件C，则“这四次投球均未命中”是事件C对立事件，则 【小问2详解】依题意，，则记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0，1，2，，，，则ξ的分布列为：ξ012P20. 如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点，分别是，的中点.（1）证明：平面平面；（2）若，点是线段上的动点，问：点运动到何处时，平面与平面所成的锐二面角最小.【答案】（1）证明见解析；    （2）点G为BD中点时.【解析】【分析】（1）由面面垂直可得AE平面BCD，得出CDAE，再由CDEF可得CD平面AEF，即可得出平面平面；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出锐二面角的余弦值，当最大，最小，即可得出此时点G为BD的中点.【小问1详解】(1)因为△ABC是正三角形，点E是BC中点，所以AEBC，又因为平面ABC平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE平面ABC，所以AE平面BCD，又因为CD平面BCD，所以CDAE， 因为点E，F分别是BC，CD的中点，所以EF//BD，又因为BDCD，所以CDEF，又因为CDAE，AE∩EF，AE平面AEF，EF平面AEF，所以CD平面AEF，又因为CD平面ACD，所以平面ACD平面AEF.【小问2详解】在平面BCD中，过点E作EH⊥BD，垂足为H,设BC=4，则，DF=FC=l，.以为正交基底，建立如图空间直角坐标系E-xyz,则,设，则,，设平面AEG的法向量为,由，得，令，故，设平面ACD的法向量为，则,即，令，则,设平面AEG与平面ACD所成的锐二面角为,则，当最大，此时锐二面角最小，故当点G为BD的中点时，平面AEG与平面ACD所成的锐二面角最小.21. 已知椭圆的上顶点为B，左焦点为F，P为椭圆C上一点，，且，．（1）求椭圆C的方程．（2）若直线与椭圆C相切，过A作l的垂线，垂足为Q，试问是否为定值？若是定值，求的值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；    （2）是定值，.【解析】【分析】（1）设出点P的坐标，进而根据求出它的坐标代入椭圆方程，再根据，结合斜率公式求得答案；（2）联立并化简，根据判别式为0得到k,m的关系，再联立求出点Q的坐标，进而求出答案.【小问1详解】设，易知，因为，所以，所以，．因为P在椭圆C上，所以，所以．因为，所以，所以．因为，所以，，故椭圆C的方程为．【小问2详解】联立方程组，得，则，得．当时，直线l的方程为，．当时，直线AQ的方程为，联立方程组，得Q的坐标为，所以．因为，所以，所以，故为定值，且．【点睛】本题第（2）问运算量较大，但充分体现了“设而不求”的思想，本题可以作为范题进行归纳总结.22. 设函数，其中且，e是自然对数的底数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，证明：.【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得，即可得到，再求出函数的导函数，即可求出，最后利用点斜式求出切线方程；（2）依题意即证，令、，，利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的最值，从而得证；【小问1详解】解：当时，所以，又，所以，即切点为，切线的斜率，所以切线方程为，即【小问2详解】解：函数的定义域为，当时，，令，，所以，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，当时， ，令，，所以，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，当时， ，因此，，，而的最大值与的最小值不同时取得，即上述不等式中不能同时取等号，于是得：，成立，即成立，所以.