2022扬州中学高二下学期5月月考数学试题含解析

2021-2022学年度高二数学5月月考卷

一、单选题（共40分）

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数函数的性质写出集合B的区间，与A求交集即可.

【详解】根据指数函数的性质， ，

故选：B.

2. 向量，，若，则的值为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】A

【解析】

分析】由可得，进而求解即可.

【详解】因为，所以，

即，所以，

所以，

故选：A

3. 飞沫传播是新冠肺炎传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为，假设甲、乙两人是否被飞沫感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由对立事件概率公式和独立事件的概率公式计算．

【详解】记甲是通过飞沫传播被感染为事件，乙是通过飞沫传播被感染为事件，

，

甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为：

．

故选：D．

4. 2021年10月26日国务院印发《2030年前碳达峰行动方案》，要求我国二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值．低碳生活已经深入民心，新能源汽车备受欢迎，下表是某地区近5个月新能源汽车的销售量与月份统计表：

若根据表中数据求得的与的线性回归方程为，则利用此回归方程预测第6个月新能源汽车的销售量为（    ）

A. 1.7万辆 B. 1.68万辆 C. 1.6万辆 D. 1.58万辆

【答案】B

【解析】

【分析】分别求得，根据样本中心点在回归方程上计算可得，再代入计算即可

【详解】，，因为直线过点，所以，解得，所以，将代入，得（万辆）．

故选：B．

5. 关于的展开式，下列结论不正确的是（       ）

A. 所有项的二项式系数和为64 B. 所有项的系数和为0

C. 常数项为 D. 系数最大的项为第3项

【答案】D

【解析】

【分析】原二项式可化为，再根据二项式展开式的性质求解即可.

【详解】解：，可得二项式系数和为，故A正确；

令得所有项的系数和为0，故B正确；

常数项，故C正确；

，系数为，最大为或，为第3项或第5项，故D错误.

故选：D.

6. 已知函数是定义在上的偶函数，对任意，，都有，，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数单调性和奇偶性的定义可知在上单调递增，；根据对数函数的单调性可知，，易知，由此即可判断，再根据偶函数的性质和单调性即可判断的大小.

【详解】因为对任意，，都有，

所以在上单调递增，

又函数是定义在上的偶函数，所以

因为，又

所以，

又，

所以，

所以

所以.

故选：D.

7. 8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同调换方式有（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先从8人中任取3人，再对3人位置全调，然后利用分步计数原理求解.

【详解】解：从8人中任取3人有种，

3人位置全调，由于不能是自己原来的位置，

所以有种，

所以不同调换方式有种

故选：C

8. 函数的零点个数为(    )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】求f(x)的导数，根据导数正负判断f(x)单调性，根据f(x)单调性和极值或最值即可判断其零点的个数．

【详解】，

令，，

则，故h(x)在上单调递增，

∵，，

∴存在唯一的，使得，即，即，，

∴当时，，，单调递减，

当时，，，单调递增，

∴，

∴函数的零点个数为1．

故选：B．

【点睛】本题关键是求出f(x)导数，通过零点存在性定理判断导数的零点范围，从而得到f(x)的单调性和最小值，利用设而不求的替换思想解决隐零点问题．

二、多选题（共20分）

9. 已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（    ）

A. 是以2为周期的周期函数

B. 点是函数的一个对称中心

C.

D. 函数有3个零点

【答案】BD

【解析】

【分析】首先根据函数的对称性求出的周期和对称中心，然后求得.利用图象法即可判断D.

【详解】依题意，为偶函数，

且，有，即关于对称，

则

，

所以是周期为4的周期函数，故A错误；

因为的周期为4，关于对称，

所以是函数的一个对称中心，故B正确；

因为的周期为4，则，，

所以，故C错误；

作函数和的图象如下图所示，

由图可知，两个函数图象有3个交点，

所以函数有3个零点，故D正确.

故选：BD.

10. 下列说法正确的有（    ）

A. 设随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)＝50，D(X)＝20，则

B. 设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，若，则

C. 若样本数据的方差为3，则数据的方差为12

D. 若从这10件产品(7件正品，3件次品)中任取2件，则恰好取到1件次品的概率

【答案】BC

【解析】

【分析】选项A. 由二项分布的期望和方差公式可求出，从而判断；选项B.  由正态分布曲线的对称性可判断；选项C. 由方差的性质可判断；选项D. 由古典概率可求解判断.

【详解】选项A. 由随机变量X服从二项分布B(n，p)，则

解得，故选项A不正确.

选项B.  由随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，则

所以，故选项B正确.

选项C.  样本数据的方差为3

则数据的方差为，故选项C正确.

选项D.  恰好取到1件次品的概率为 ，故选项D不正确.

故选： BC

11. 某校组织“喜迎二十大，奋进新征程”线上演讲比赛，经预选有甲、乙、丙、丁、戊五名同学进入复赛，在复赛中采用抽签法决定演讲顺序，记事件A：学生甲不是第一个出场，也不是最后一个出场，B：学生乙第一个出场，则下列结论中正确的是（    ）

A. 事件A中包括78种情况 B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】先确定甲的位置，然后将剩下的四个人进行排列即可求出事件A包含情况的种数，即可判断A；求出总事件的个数，再根据古典概型即可判断B；求出事件包含基本事件的个数，再根据古典概型即可判断C；根据条件概率公式即可判断D.

【详解】解：由学生甲不是第一个出场，也不是最后一个出场，

则学生甲只能在中间3个出场，

所以事件A中包括种情况，故A错误；

，故B正确；

，故C正确；

，

则，故D错误.

故选：BC.

12. 如图，在长方体中，，，点P，E分别为AB，的中点，点M为直线上的动点，点N为直线上的动点，则（    ）

A. 对任意的点N，一定存在点M，使得

B. 向量，，共面

C. 异面直线PM和所成角的最小值为

D. 存在点M，使得直线PM与平面所成角为

【答案】BCD

【解析】

【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量的方法可判断ACD的正误，利用中位线和长方体的性质可判断B的正误.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

，

故，设，，，

而，故即，

故，

若，则即，

当时，不存在，故当为中点，不存在，使得，故A错误.

连接，则，由长方体可得，故，

故，，即，，共面，故B正确.

，故

，

当时，，此时；

当时，，

令，设，则，

故，

所以异面直线PM和所成角的范围为，故直线PM和所成角的最小值为，

故C正确.

平面的法向量为，

故，

若直线PM与平面所成角为，则，

故，所以或，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】思路点睛：空间位置关系中的最值问题，可通过建立空间直角坐标系，把角的最值问题或存在性问题转化为函数的最值或方程的解的问题.

三、填空题（共20分）

13. 设：，：（）．若是的必要条件，则m的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】记的解集为，的解集为，因为是的必要条件，所以，讨论，两种情况，利用包含关系得出m的取值范围.

【详解】记的解集为，的解集为

因为是的必要条件，所以

当时，即，不满足；

当时，要使得，则，解得

故答案为：

14. 已知点，平面a经过原点O，且垂直于向量，则点A到平面a的距离为______.

【答案】

【解析】

【分析】利用点到平面的距离为，即可求得结论.

【详解】由题意，，，

，

所以点到平面的距离为.

故答案为：.

15. 已知函数，函数，若对任意，存在，使得，则实数m的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】由题可得，利用导数求函数的最值问题即得.

【详解】由题意得

由题可得，时，

故在上单调递增，，

由题可得，时，时，

故在上单调递增，在上单调递减，，

，即，

解得

故答案为：.

16. 考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘数字142857，因为，，……所以这组数字又叫走马灯数．该组数字还有如下规律：，，……若从这个数字中任意取出个数字构成一个三位数，则的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为______．

【答案】

【解析】

【分析】先求出个数字中任意取出个数字构成一个三位数共种，再求出相加等于的数字有组，可得的结果恰好是剩下3个数字的种数为，再根据古典概型的概率计算公式计算即可.

【详解】从这个数字中任意取出个数字构成一个三位数，基本事件的总数为，

因为从这个数字中：，，共三组，

所以的结果恰好是剩下个数字构成的一个三位数的基本事件的个数为，

所以的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题的关键是发现和为的数字的组合规律，准确的计算出总的基本事件的个数和使得所求事件发生的基本事件的个数.

四、解答题（共70分）

17. 已知正整数n满足.

（1）求n；

（2）求的展开式中的系数.（用数字表示结果）

【答案】（1）   

（2）330

【解析】

【分析】（1）利用组合数公式及排列数公式得到方程，解得即可；

（2）依题意可得展开式中的系数为，再根据组合数的性质计算可得；

【小问1详解】

解：因为，

所以，

即，

解得或（舍去）.

【小问2详解】

解：由（1）可得，所以展开式中的系数为

.

所以展开式中的系数为330.

18. 已知函数．

（1）若为偶函数，求；

（2）若命题“，”为假命题，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据偶函数的定义直接求解即可；

（2）由题知命题“，”为真命题，进而得对，且恒成立，再分离参数求解即可得的取值范围是

【小问1详解】

解：因函数为偶函数，

所以，即，

所以，即，

所以.

【小问2详解】

解：因为命题“，”为假命题，

所以命题“，”为真命题，

所以，对，且恒成立，

所以，对，且恒成立，

由对勾函数性质知，函数在上单调递增，

所以，且，即实数的取值范围是.

19. 如图，AB是圆柱底面圆O的直径，、为圆柱的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且，E、F分别为、的中点．

（1）证明：EF平面ABCD；

（2）求平面OEF与平面夹角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）．

【解析】

【分析】(1)取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形得∥即可；

(2)以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，设，求出各点坐标，利用向量法即可求平面OEF与平面夹角的余弦值．

【小问1详解】

取的中点，连接、，

为的中点，为的中点，

∥，，又∥，，

∥，，

四边形为平行四边形，∥，

又平面，平面，

∥平面．

【小问2详解】

设，，．

由题意知、、两两垂直，故以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系．

则、、、、，

的中点的坐标为，

∴，，

设平面的一个法向量为，

则，即，即，

令，得，

，，，

平面，

平面的一个法向量为，，

∴平面与平面夹角的余弦值为．

20. 第24届冬季奥林匹克运动会（XXIVOlympicWINTERGames），即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.北京冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京某中学研究小组为了研究该校学生参加冰雪运动与性别的关系，随机对学校500名学生进行了跟踪调查，其中喜欢冰雪运动的学生有200人，在余下的学生中，女生占到，根据数据制成了下图所示的列联表

（1）根据题意，完成上述列联表，并判断是否有99.9%的把握认为喜欢冰雪运动和性别有关？

（2）将频率视为概率，用样本估计总体，若从全市所有的中学生中，采用随机抽样的方法抽取4名学生，记被抽取的4名学生为男生的人数为，求的分布列和数学期望.

，其中.

【答案】（1）列联表答案见解析，有99.9%的把握认为喜欢冰雪运动和性别有关   

（2）分布列答案见解析，数学期望：

【解析】

【分析】（1）由题意，分别求得男生中不喜欢的人数和女生中部喜欢的人数，得出的列联表，利用公式求得的值，结合附表，即可求解；

（2）根据题意求得抽取的学生为男生的概率为，得出随机变量的取值，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解.

【小问1详解】

解：由题意，随机对学校500名学生进行了跟踪调查，其中喜欢冰雪运动的学生有200人，在余下的学生中，女生占到，可得剩余的300人中，有150名女生不喜欢，150名男生不喜欢，可如下的的列联表：

则，

所以有99.9%的把握认为喜欢冰雪运动和性别有关.

【小问2详解】

解：根据题意，被抽取的学生为男生的概率为，

所以随机变量的取值可以为0，1，2，3，4

可得，，，，

.

故随机变量的分布列为：

所以.

21. 某学校组织教职工运动会，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目.比赛规则如下：两人对垒，开局前抽签决定由谁先发球(机会均等)，此后均由每个球的赢球者发下一个球.对于每一个球，若发球者赢此球，发球者得1分，对手得0分；若对手赢得此球，发球者得0分，对手得2分；有一人得6分及以上或是两人分差达3分时比赛均结束，得分高者获胜.已知在选手甲和乙的对垒中，甲发球时甲赢得此球的概率是0.6，乙发球时甲赢得此球的概率是0.5，各球结果相互独立.

（1）假设开局前抽签结果是甲发第一个球，求三次发球后比赛结束的概率；

（2）在某局3∶3平后，接下来由甲发球，两人又打了X个球后比赛结束，求X的分布列及数学期望.

【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，.

【解析】

【分析】（1）由题意分析可得，不会出现一方连续两次得2分的情况，所以三次发球能结束比赛必是两人分差达3分，然后分别讨论甲乙赢得比赛情况，计算总得分，找到符合题意的情况，计算概率即可.

（2）利用二叉树表呈现打X个球和甲乙得分情况，可得X的所有可能取值为2，3，4，分别计算概率、列分布列求期望.

【详解】（1）因为由赢球者发下一个球，故不会出现一方连续两次得2分的情况，所以三次发球能结束比赛必是两人分差达3分：

①若第一个球甲赢，则甲得1分，故后两个球只能都是甲赢，这种情况的概率为；

②若第一个球乙赢，则乙得2分，且由乙发第二个球，此球，若乙赢则比赛结束，不符合题意；若甲赢，两人2∶2，第三个球结束分差不可能达3分，也不符合题意；

故所求概率为0.216. 

（2）分析接下来的比赛过程中甲､乙的得分情况：

标记甲赢为事件A，乙赢为事件B

；  

故X的所有可能取值为2，3，4，

，

，，

X的分布列为

.

【点睛】本题考查了随机事件独立性的综合应用、分布列和数学期望等基本数学知识，考查了理解辨析、分类讨论、数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.

22. 已知函数，其中.

（1）若，求函数的极值；

（2）设.若在上恒成立，求实数取值范围.

【答案】（1）极小值为1，无极大值   

（2）

【解析】

【分析】（1）求定义域，求导，得到单调区间，从而得到极值情况；（2）问题转化为在上恒成立，构造函数，求导后，对进行分类讨论，得到符合要求，其他范围均不合题意，求出实数的取值范围.

【小问1详解】

当时，定义域为.

则

令，解得：（舍去），

当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增，

所以的极小值为，无极大值..

【小问2详解】

已知，

若在上恒成立，

即在上恒成立.

构造函数，

则

令

（i）若，可知恒成立.

在上单调递增..

①当，即时，

在上恒成立，即在上恒成立.

在上恒成立，

满足条件.

②当即时，

存在唯一的，使得.

当时，，即

在单调递减.，这与矛盾.

（ii）若，由，可得（舍去），

易知上单调递减.

在上恒成立，即在上恒成立..

在上单调递减.

在上恒成立，这与矛盾.

综上，实数的取值范围为.

【点睛】导函数求解函数恒成立问题，一般要求出导函数后，对函数进行分类讨论，求出不同范围下的单调性，极值，最值，求出相应的答案.