2023扬州中学高二上学期12月月考试题数学含解析

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江苏省扬州中学2022-2023学年第一学期12月考高二数学2022.12试卷满分：150分，考试时间：120分钟一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．）公众号高中僧试题下载1．已知点，，则直线AB的倾斜角为（        ）A．30°     B．60°     C．30°或150°   D．60°或120°2．已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（        ）A．4     B．3     C．2     D．13．在等比数列中，已知，则（        ）A．4     B．6     C．8     D．104．抛物线的准线方程为（        ）A．    B．    C．    D．5．已知圆E：与x轴相切，且截y轴所得的弦长为，则圆E的面积为（        ）A．    B．    C．    D．6．已知，双曲线的左､右焦点分别为，，点P是双曲线右支上一点，则的最小值为（        ）A．5     B．7     C．9     D．117．已知数列满足，且，则（        ）A．     B．     C．     D．8．已知，，为椭圆C：上不同的三点，直线l：，直线PA交l于点M，直线PB交l于点N，若，则（        ）A．0     B．     C．     D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．下列说法中，正确的有（        ）A．直线在y轴上的截距是2B．直线经过第一、二、三象限C．过点，且倾斜角为90°的直线方程为D．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为10．过点且与圆相切的直线的方程为（        ）A．    B．    C．  D．11．已知，是双曲线E：的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断正确的是（        ）A．         B．E的离心率等于C．双曲线渐近线的方程为    D．的内切圆半径是12．已知数列满足，设数列的前n项和为，其中，则下列四个结论中，正确的是（        ）A．的值为2         B．数列的通项公式为C．数列为递减数列       D．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．曲线在点处的切线的斜率为              ．14．已知数列首项为2，且，则              15．已知直线：与直线：（m，）相交于点M，点N是圆C：上的动点，则的取值范围为              ．16．已知椭圆C：的右焦点和上顶点B，若斜率为的直线l交椭圆C于P，Q两点，且满足，则椭圆的离心率为              ．四、解答题（本大题共6小题，计70分．）17．已知二次函数，其图象过点，且．（1）求a、b的值；（2）设函数，求曲线在处的切线方程．18．已知抛物线C：上的点到抛物线C的焦点的距离为2．（1）求抛物线C的方程；（2）直线l：与抛物线交于P，Q两个不同的点，若，求实数m的值．19．已知数列前n项和．（1）求数列的通项公式；（2），求数列的前n项和．20．已知圆C：．（1）若直线l过点且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；（2）若直线l过点且与圆C相交于M，N两点，求△CMN的面积的最大值，并求此时直线l的方程．21．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，．各项均为正数的等比数列满足，．（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．22．已知椭圆C：的离心率为，直线过椭圆C的两个顶点，且原点O到直线的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点，过点的直线l不经过点A，且与椭圆C交于M，N两点，证明：直线AM的斜率与直线AN的斜率之和是定值．参考答案：1．B【分析】由两点间的斜率公式可求其斜率k，即可知直线的倾斜角．【详解】由题意可知A，B两点间的斜率，设直线AB的倾斜角为α，则，所以故选：B2．A【分析】根据平均变化率的定义直接求解．【详解】因为函数，所以该函数在区间上的平均变化率为，故选：A3．A【分析】用基本量，q表示出来可以求；或者考虑下标和公式．【详解】在等比数列中，，解得，则．故选：A．4．D【分析】由抛物线定义，求出p，则可求准线方程．【详解】抛物线的方程可变为，由，则其准线方程为．故选：D．5．A【分析】根据圆E与x轴相切，可得，再结合圆心到y轴的距离、半弦长、半径满足勾股定理，建立方程即可求解．【详解】∵圆E：与x轴相切，截y轴所得的弦长为，∴圆心为，半径为，半弦长为，圆心到y轴的距离为，∴，解得，∴，即圆E的面积为：．故选：A．6．C【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理，利用三角形三边关系，可得答案．【详解】由双曲线，则，，即，且，，由题意，作图如下：，当且仅当A，P，共线时，等号成立．故选：C．7．C【分析】对所给式子化简、变形，构造新数列，通过等比数列的定义求出新数列的通项公式，再用累加法求出，进而得到数列的通项公式，即可得到答案．【详解】因为，所以，则，有，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，则，所以则，所以．故选：C．【点睛】利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值。比较复杂的递推公式求通项公式一般需用构造法构造来求，构造法求数列通项公式一般而言包括：取倒数，取对数，待定系数法等，其中待定系数法较为常见．一、倒数变换法，适用于（A，B，C为常数）二、取对数运算三、待定系数法1、构造等差数列法2、构造等比数列法①定义构造法。利用等比数列的定义通过变换，构造等比数列的方法．②（A，B为常数）型递推式可构造为形如的等比数列．③（A，B，C为常数，下同）型递推式，可构造为形如的等比数列．四、函数构造法对于某些比较复杂的递推式，通过分析结构，联想到与该递推式结构相同或相近的公式、函数，再构造“桥函数”来求出所给的递推数列的通项公式的方法．8．B【分析】根据三角形面积公式及或得，再应用相交弦长公式列方程，即可求．【详解】由，则由图知：当P位置变化时，或，故，所以，而直线AP、BP斜率存在且不为0（），故，，所以，即或，当，化简得．当时，，显然，无解．所以．故选：B．9．BC【分析】根据直线相关概念一一对答案进行核对即可。【详解】对于A：令时，，故在y轴上的截距是2，A错．对于B：直线的斜率为2，在x、y轴上的截距分别为、5，故直线经过第一、二、三象限，B对．对于C：过点，倾斜角为90°的直线方程为，故C对．对于D：当直线的截距不为0时，设直线的方程为：，把点代入直线得，所以直线方程为：，当截距为0时，设直线方程为：，把点代入直线得，直线方程为：，故D错．故选：BC10．AC【分析】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解．【详解】设切线为l，圆心到切线的距离为d，圆的半径为若l的斜率不存在，则直线方程为，圆心到直线的距离，满足题意；若l的斜率存在，设直线方程为，即，因为直线与圆相切，所以，解得，所以切线方程为．故选：AC．11．ACD【分析】根据已知条件可得出轴，可判断A项；根据双曲线的定义结合直角三角形的性质，构造齐次方程可求解离心率，故可判断B项；结合，得到，即可求得渐近线方程，可判断C项；利用三角形等面积法得到内切圆半径r的表达式与c有关，可判断D项正确．【详解】如图所示，因为M，O分别是，的中点，所以中，，所以轴，A选项中，因为直线的倾斜角为，所以，故A正确；B选项中，中，，，，所以，得：，故B不正确；C选项中，由，即，即，即，所以双曲线的渐近线方程为：，故C正确；D选项中，的周长为，设内切圆为r，根据三角形的等面积法，有，得：，所以D正确故选：ACD．12．ACD【分析】对于A．只需令即可得出的值；对于B．已知数列的前n项和，根据前n项和与数列的关系即可求出的通项公式，继而得到的通项公式；对于C．已知的通项公式，利用递减数列定义列式判断即可；对于D．化简得出数列，裂项相消即可得出．【详解】对于A．，即，故A正确；对于B．①，②，①－②得，，当时，故数列的通项公式为，B错误．对于C．令因为，所以，数列为递减数列，故C正确对于D．故D正确．故选：ACD【点睛】思路点睛：给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与n之间的关系，再求．13．2【分析】由导数几何意义即可求．【详解】，，∴所求切线斜率为2．故答案为：214．【分析】根据递推关系可得等比数列，求通项公式即可．【详解】由可得，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以，即，故答案为：15．【分析】根据题设易知过定点，过定点且，则M在以AB为直径的圆上，写出圆的方程，并求出与圆C的圆心距，根据动点分别在两圆上知的最大值为两圆心距与两个半径的和，最小值为两圆心距与两个半径的差可得答案．【详解】由题设，：（m，）恒过定点，：（m，）恒过定点，因为，所以，即垂足为M，所以M在以AB为直径的圆上，圆心为，半径为，故M轨迹方程为D：，而C：的圆心为，半径为2，所以两圆圆心的距离为，而M、N分别在两圆上，故的最大值为，最小值为，所以．故答案为：．16．【分析】先由得到F为△APQ的重心，再利用点差法求得a、b、c之间的关系，进而求得椭圆的离心率【详解】设，，，，线段PQ的中点为，由，知F为△BPQ的重心，故，即，解得，，又M为线段PQ的中点，则，，又P、Q为椭圆C上两点，则，，两式相减得，所以，化简得，则解得或（∵故舍去）则，则离心率．故答案为：17．（1）（2）【分析】（1）利用导数和已知条件可得出关于实数a、b的方程组，可求得实数a、b的值；（2）求出切点坐标和切线斜率，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程．（1）解：因为，则，所以，，解得．（2）解：因为的定义域为，且，所以，，，故切点坐标为，所以，函数在处的切线方程为．18．（1）（2）【分析】（1）运用抛物线定义即可；（2）联立方程解到韦达定理，再将OP⊥OQ转化为向量垂直，根据数量积为0列方程，化简，求值即可．【详解】（1）已知抛物线过点，且，则，∴，故抛物线的方程为．（2）设，．联立，消去y整理得∴，则，则，．由OP⊥OQ得，∴或．当时，直线l与抛物线的交点中有一点与原点O重合，不符合题意，综上，实数m的值为．19．（1），（2）【分析】（1）根据已知条件并结合公式即可计算出数列的通项公式；（2）先根据第（1）题结果计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前n项和．【详解】（1）由题意，当时，，当时，，∵当时，也满足上式，∴，．（2）由（1），可得则20．（1）或；（2）最大值为8，或．【分析】（1）求出圆C的圆心和半径，再由弦长，弦心距和半径的关系求出圆心C到直线l的距离，然后分直线l的斜率不存在和存在两情况讨论求解即可；（2）设直线l的方程为，求出圆心C到直线l的距离，而△CMN的面积，从而可求出△CMN的面积的最大值，再由的值可求出，进而可求出直线方程．【详解】（1）圆C的圆心坐标为，半径，因为直线l被圆C截得的弦长为，所以由勾股定理得到圆心C到直线l的距离．①当直线l的斜率不存在时，l：，显然不满足；②当直线l的斜率存在时，设l：，即，由圆心C到直线l的距离，得，即，解得或，故直线l的方程为或．（2）因为直线l过点且与圆C相交，所以直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为，即，则圆心C到直线l的距离为，又△CMN的面积，所以当时，S取最大值8．由，得，解得或，所以直线l的方程为或．21．（1），（2）【分析】（1）由，可得，两式相减化简可得，再求出，可得是首项为1，公差为3的等差数列，从而可求出，再由，可求出数列的公比q，从而可求出；（2）由（1）可得，然后利用错位相减法可求得．【详解】（1）因为，当时，，解得；当时，，两式相减，得，即，又各项均为正数，所以，即．因为满足上式，所以是首项为1，公差为3的等差数列．所以．设等比数列的公比为q，因为，，所以，解得（或舍去），所以．（2），所以，，两式相减得：所以．22．（1）（2）证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得a，b，从而求得椭圆C的标准方程．（2）设出直线l的方程并与椭圆C的方程联立，化简写出根与系数关系，由此计算出直线AM的斜率与直线AN的斜率之和是定值．【详解】（1）由题意得，所以，不妨设直线的方程为，，即，所以原点O到直线的距离为，解得，所以，故椭圆C的标准方程为．（2）由题意得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，即，设，，联立，整理得：，则，解得，，，设直线AM的斜率与直线AN的斜率分别为，，则，故直线AM的斜率与直线AN的斜率之和是定值．