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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布背景图课件ppt
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布背景图课件ppt，共58页。PPT课件主要包含了41二项分布，问题引入，探究新知，伯努利试验，中靶次数X的分布列，二项分布，二项分布的判断，典型例题，所以ξ的分布列为，超几何分布的概念等内容，欢迎下载使用。
第7章 随机变量及其分布
人教A版（2019） 选择性必修第三册
投掷一枚硬币，设正面向上的概率为p，连续投掷3次，则3次都出现正面向上的概率为多少？
分析：设Ai=”第i次正面朝上“(i=0,1,2,3) B3=”3次都正面朝上”，则B3=A1A2A3. 连续投掷3次硬币，每次结果相互独立，因此事件A1,A2,A3相互独立. 则P(B3)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3).
投掷一枚硬币，设正面向上的概率为p，连续投掷3次，则只出现1次正面向上的概率为多少？
投掷一枚硬币，设正面向上的概率为p，连续投掷3次，出现k(k=0,1,2,3)次正面向上的概率为多少？
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
n重伯努利试验的特征：
将一次伯努利试验独立的重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
1、同一个伯努利试验重复做n次；
2、各次试验的结果相互独立.
思考：下面3个随机试验是否为n重伯努利试验?如果是，那么其中的伯努利试验是什么?对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大？重复试验的次数是多少?
(1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次.(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8,连续射击3次.(3)一批产品的次品率为5%,有放回地随机抽取20件.
在伯努利试验中，我们关注某个事件A是否发生.而在n重伯努利试验中,我们关注事件A发生的次数X.进一步，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是X的分布列.
探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？
用Ai表示“第i次射击中靶”(i=1，2，3)，用如下图的树状图表示试验的可能结果：
试验结果 X的值
由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有23=8种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积，由概率的加法公式和乘法公式得：
中靶次数X的分布列为：
思考:如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些?写出中靶次数X的分布列.
表示中靶次数X等于2的结果
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p)
1、在一次试验中，事件A发生与不发生二者必居其一2、事件A在每次的试验中发生的概率相同3、试验重复的进行了n（n≥2）次，且每次试验结果相互独立，互不影响
例1：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：（1）恰好出现5次正面朝上的概率（2）正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率
例2：如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，...，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列。
确定二项分布模型的步骤：
1、明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；2、明确重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；3、设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B(n,p)
思考：假设随机变量X服从二项分布X~B(n,p)，则X的均值和方差各是什么？
（1）当n=1时，X服从两点分布，分布列为：P(X=0)=1-p，P(X=1)=p均值和方差分别为E(X)=p，D(X)=p(1-p)（2）当n=2时，X的分布列为：P(X=0)=(1-p)2，P(X=1)=2p(1-p)，P(X=2)=p2，均值和方差分别为：E(X)=0 x (1-p)2+1 x 2p(1-p)+2 x p2=2pD(X)=02 x (1-p)2+12 x 2p(1-p)+22 x p2 - (2p)2=2p(1-p)
一般地，如果X~B(n,p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p)
【例1】 甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 ,假设每次射击是否击中目标,相互之间没有影响.(结果需用分数作答)(1)求甲射击3次,至少有1次未击中目标的概率;(2)若两人各射击2次,求甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.
变式探究1在本例(2)的条件下,求甲、乙均击中目标1次的概率.
变式探究2在本例(2)的条件下,求甲未击中,乙击中2次的概率.
规律方法 n重伯努利试验概率求法的三个步骤(1)判断:依据n重伯努利试验的特征,判断所给试验是不是n重伯努利试验.(2)分拆:将复杂事件表示成若干个互斥事件的并.(3)计算:就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式计算.
变式训练1某气象站天气预报的准确率为80%,计算:(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率;(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率.
解(1)5次预报相当于5次伯努利试验.“恰有2次准确”的概率为
因此5次预报中恰有2次准确的概率为0.051 2.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”.
所以所求概率为1-P=1-0.006 72=0.993 28.所以“5次预报中至少有2次准确”的概率为0.993 28.
【例2】 某运动员投篮命中率为p=0.6.(1)求投篮1次时命中次数X的均值;(2)求重复5次投篮时,命中次数Y的均值.
解(1)投篮1次,命中次数X的分布列如下表.
则E(X)=0.6.(2)由题意,重复5次投篮,命中的次数Y服从二项分布,即Y~B(5,0.6),则E(Y)=5×0.6=3.
规律方法 常见的两种分布的均值设p为一次试验中成功的概率,则(1)两点分布E(X)=p;(2)二项分布E(X)=np.熟练应用上述公式可大大减少运算量,提高解题速度.
变式训练2(2022重庆期末)某射击队对9位运动员进行射击测试,每位运动员进行3次射击,至少命中2次则通过测试,已知每位运动员每次射击命中的概率均为 ,各次射击是否命中相互独立,且每位运动员本次测试是否通过相互独立,设9位运动员中有X人通过本次测试,则E(X)= .
【例3】 高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知,某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为 ,该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验.(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子),求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率.(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子),如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验,否则将继续进行下次试验,直到种子发芽成功为止,但试验的次数最多不超过5次.求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的分布列.
解(1)至少有3次发芽成功,即有3次、4次、5次发芽成功.设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X,
规律方法 1.二项分布的简单应用是求n重伯努利试验中事件A恰好发生k次的概率.解题的一般思路是:根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n,p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率.2.利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率,其实质是求在某一取值范围内的概率,一般转化为几个互斥事件发生的概率的和,或者利用对立事件求概率.
变式训练3在一次抗洪抢险中,相关人员准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐,已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆,每次射击是相互独立的,且命中的概率都是 .(1)求油罐被引爆的概率;(2)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为X,求X不小于4的概率.
7.4.2 超几何分布
理解超几何分布应注意的问题（1）超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，N——总体中的个体总数，M——总体中的特殊个体总数（如次品总数），n——样本容量，k——样本中的特殊个体数（如次品数）.求分布列时可以直接利用组合数的意义列式计算，不必机械地记忆这个概率分布列.（2）超几何分布中，“任取n件，恰有z件次品”，是一次性抽取，不可理解成n次抽取，因此求概率用组合数列式，要熟练掌握组合数的性质及计算方法，以便简化计算. （3）超几何分布中，各对应项的概率和必须为1，可以由此验证分布列是否出错.
超几何分布与二项分布的关系
二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似.
【例1】 从放有10个红球与15个白球的暗箱中,随机摸出5个球,规定取到一个白球得1分,一个红球得2分,求某人摸出5个球,恰好得7分的概率.
解设摸出的红球个数为X,则X服从超几何分布,其中N=25,M=10,n=5,由于摸出5个球,得7分,仅有恰好摸出两个红球、三个白球一种可能情况,那么
规律方法 1.解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布.2.注意公式中M,N,n的含义.
变式训练1在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为 .(结果用最简分数表示)
解析 从这30瓶饮料中任取2瓶,设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A,
【例2】 一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号为1,2,3;黑球有2个,编号为1,2;白球有1个,编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球.(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率;(2)记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列.
变式探究在本例条件下,若记取到白球的个数为随机变量η,求随机变量η的分布列.
解由题意可知η=0,1,服从两点分布.
规律方法 超几何分布的求解步骤(1)辨模型:结合实际情境分析所求概率分布问题是否能转化为超几何分布模型.(2)算概率:可以直接借助公式P(X=k)= 求解,也可以利用排列、组合及概率的知识求解,需注意借助公式求解时应理解参数M,N,n,k的含义.(3)列分布列:把求得的概率值通过表格表示出来.
【例3】 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515],由此得到样本的频率分布直方图如图.
(1)根据频率分布直方图,求质量超过505克的产品数量;(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X为质量超过505克的产品数量,求X的分布列,并求其均值;(3)从该流水线上任取2件产品,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列.
解 (1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3,所以质量超过505克的产品数量为40×0.3=12(件).(2)质量超过505克的产品数量为12件,则质量未超过505克的产品数量为28件,X的可能取值为0,1,2,X服从超几何分布.
规律方法 不放回抽样服从超几何分布,放回抽样服从二项分布,求均值可利用公式代入计算.
变式训练2在10件产品中有2件次品,连续抽3次,每次抽1件,求:(1)不放回抽样时,抽取次品数X的均值;(2)放回抽样时,抽取次品数Y的均值与方差.
解 (1)(方法一)由题意知X的可能取值为0,1,2.
∴随机变量X的分布列为
第7章 随机变量及其分布
人教A版（2019） 选择性必修第三册
投掷一枚硬币，设正面向上的概率为p，连续投掷3次，则3次都出现正面向上的概率为多少？
分析：设Ai=”第i次正面朝上“(i=0,1,2,3) B3=”3次都正面朝上”，则B3=A1A2A3. 连续投掷3次硬币，每次结果相互独立，因此事件A1,A2,A3相互独立. 则P(B3)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3).
投掷一枚硬币，设正面向上的概率为p，连续投掷3次，则只出现1次正面向上的概率为多少？
投掷一枚硬币，设正面向上的概率为p，连续投掷3次，出现k(k=0,1,2,3)次正面向上的概率为多少？
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
n重伯努利试验的特征：
将一次伯努利试验独立的重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
1、同一个伯努利试验重复做n次；
2、各次试验的结果相互独立.
思考：下面3个随机试验是否为n重伯努利试验?如果是，那么其中的伯努利试验是什么?对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大？重复试验的次数是多少?
(1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次.(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8,连续射击3次.(3)一批产品的次品率为5%,有放回地随机抽取20件.
在伯努利试验中，我们关注某个事件A是否发生.而在n重伯努利试验中,我们关注事件A发生的次数X.进一步，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是X的分布列.
探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？
用Ai表示“第i次射击中靶”(i=1，2，3)，用如下图的树状图表示试验的可能结果：
试验结果 X的值
由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有23=8种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积，由概率的加法公式和乘法公式得：
中靶次数X的分布列为：
思考:如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些?写出中靶次数X的分布列.
表示中靶次数X等于2的结果
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p)
1、在一次试验中，事件A发生与不发生二者必居其一2、事件A在每次的试验中发生的概率相同3、试验重复的进行了n（n≥2）次，且每次试验结果相互独立，互不影响
例1：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：（1）恰好出现5次正面朝上的概率（2）正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率
例2：如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，...，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列。
确定二项分布模型的步骤：
1、明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；2、明确重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；3、设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B(n,p)
思考：假设随机变量X服从二项分布X~B(n,p)，则X的均值和方差各是什么？
（1）当n=1时，X服从两点分布，分布列为：P(X=0)=1-p，P(X=1)=p均值和方差分别为E(X)=p，D(X)=p(1-p)（2）当n=2时，X的分布列为：P(X=0)=(1-p)2，P(X=1)=2p(1-p)，P(X=2)=p2，均值和方差分别为：E(X)=0 x (1-p)2+1 x 2p(1-p)+2 x p2=2pD(X)=02 x (1-p)2+12 x 2p(1-p)+22 x p2 - (2p)2=2p(1-p)
一般地，如果X~B(n,p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p)
【例1】 甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 ,假设每次射击是否击中目标,相互之间没有影响.(结果需用分数作答)(1)求甲射击3次,至少有1次未击中目标的概率;(2)若两人各射击2次,求甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.
变式探究1在本例(2)的条件下,求甲、乙均击中目标1次的概率.
变式探究2在本例(2)的条件下,求甲未击中,乙击中2次的概率.
规律方法 n重伯努利试验概率求法的三个步骤(1)判断:依据n重伯努利试验的特征,判断所给试验是不是n重伯努利试验.(2)分拆:将复杂事件表示成若干个互斥事件的并.(3)计算:就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式计算.
变式训练1某气象站天气预报的准确率为80%,计算:(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率;(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率.
解(1)5次预报相当于5次伯努利试验.“恰有2次准确”的概率为
因此5次预报中恰有2次准确的概率为0.051 2.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”.
所以所求概率为1-P=1-0.006 72=0.993 28.所以“5次预报中至少有2次准确”的概率为0.993 28.
【例2】 某运动员投篮命中率为p=0.6.(1)求投篮1次时命中次数X的均值;(2)求重复5次投篮时,命中次数Y的均值.
解(1)投篮1次,命中次数X的分布列如下表.
则E(X)=0.6.(2)由题意,重复5次投篮,命中的次数Y服从二项分布,即Y~B(5,0.6),则E(Y)=5×0.6=3.
规律方法 常见的两种分布的均值设p为一次试验中成功的概率,则(1)两点分布E(X)=p;(2)二项分布E(X)=np.熟练应用上述公式可大大减少运算量,提高解题速度.
变式训练2(2022重庆期末)某射击队对9位运动员进行射击测试,每位运动员进行3次射击,至少命中2次则通过测试,已知每位运动员每次射击命中的概率均为 ,各次射击是否命中相互独立,且每位运动员本次测试是否通过相互独立,设9位运动员中有X人通过本次测试,则E(X)= .
【例3】 高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知,某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为 ,该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验.(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子),求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率.(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子),如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验,否则将继续进行下次试验,直到种子发芽成功为止,但试验的次数最多不超过5次.求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的分布列.
解(1)至少有3次发芽成功,即有3次、4次、5次发芽成功.设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X,
规律方法 1.二项分布的简单应用是求n重伯努利试验中事件A恰好发生k次的概率.解题的一般思路是:根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n,p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率.2.利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率,其实质是求在某一取值范围内的概率,一般转化为几个互斥事件发生的概率的和,或者利用对立事件求概率.
变式训练3在一次抗洪抢险中,相关人员准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐,已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆,每次射击是相互独立的,且命中的概率都是 .(1)求油罐被引爆的概率;(2)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为X,求X不小于4的概率.
7.4.2 超几何分布
理解超几何分布应注意的问题（1）超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，N——总体中的个体总数，M——总体中的特殊个体总数（如次品总数），n——样本容量，k——样本中的特殊个体数（如次品数）.求分布列时可以直接利用组合数的意义列式计算，不必机械地记忆这个概率分布列.（2）超几何分布中，“任取n件，恰有z件次品”，是一次性抽取，不可理解成n次抽取，因此求概率用组合数列式，要熟练掌握组合数的性质及计算方法，以便简化计算. （3）超几何分布中，各对应项的概率和必须为1，可以由此验证分布列是否出错.
超几何分布与二项分布的关系
二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似.
【例1】 从放有10个红球与15个白球的暗箱中,随机摸出5个球,规定取到一个白球得1分,一个红球得2分,求某人摸出5个球,恰好得7分的概率.
解设摸出的红球个数为X,则X服从超几何分布,其中N=25,M=10,n=5,由于摸出5个球,得7分,仅有恰好摸出两个红球、三个白球一种可能情况,那么
规律方法 1.解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布.2.注意公式中M,N,n的含义.
变式训练1在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为 .(结果用最简分数表示)
解析 从这30瓶饮料中任取2瓶,设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A,
【例2】 一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号为1,2,3;黑球有2个,编号为1,2;白球有1个,编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球.(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率;(2)记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列.
变式探究在本例条件下,若记取到白球的个数为随机变量η,求随机变量η的分布列.
解由题意可知η=0,1,服从两点分布.
规律方法 超几何分布的求解步骤(1)辨模型:结合实际情境分析所求概率分布问题是否能转化为超几何分布模型.(2)算概率:可以直接借助公式P(X=k)= 求解,也可以利用排列、组合及概率的知识求解,需注意借助公式求解时应理解参数M,N,n,k的含义.(3)列分布列:把求得的概率值通过表格表示出来.
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(1)根据频率分布直方图,求质量超过505克的产品数量;(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X为质量超过505克的产品数量,求X的分布列,并求其均值;(3)从该流水线上任取2件产品,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列.
解 (1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3,所以质量超过505克的产品数量为40×0.3=12(件).(2)质量超过505克的产品数量为12件,则质量未超过505克的产品数量为28件,X的可能取值为0,1,2,X服从超几何分布.
规律方法 不放回抽样服从超几何分布,放回抽样服从二项分布,求均值可利用公式代入计算.
变式训练2在10件产品中有2件次品,连续抽3次,每次抽1件,求:(1)不放回抽样时,抽取次品数X的均值;(2)放回抽样时,抽取次品数Y的均值与方差.
解 (1)(方法一)由题意知X的可能取值为0,1,2.
∴随机变量X的分布列为
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