人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布课后作业题

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考点一：两点分布：
考点二：独立重复实验
①独立重复实验的定义
一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．
②独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
一般地，如果在1次实验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率，k＝0,1,2，…，n.
考点三：二项分布
①二项式分布
一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，则事件恰好发生次的概率为，k＝0,1,2，…，n.则称随机变量服从二项分布,记作,并称为成功概率.
②判断一个随机变置是否服从二项分布，看两点
1.是否为n次独立重复试验，
2.随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数．
考点四：超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则,其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，则称分布列
为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布.
考点五：二项式分布与超几何分布的区别和联系
超几何分布和二项分布的相同点为：随机变量均是取连续非负整数值的离散型分布列．
超几何分布和二项分布最明显的区别有两点：
①超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取，也就是说二项分布中每个事件之间是相互独立的，而超几何分布不是；
②超几何分布需要知道总体的容量，也就是总体个数有限；而二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”．
超几何分布和二项分布二者之间也有联系：当总体很大时，超几何分布近似于二项分布，或者说超几何分布的极限就是二项分布．
【题型目录】
题型一：两点分布的概念及分布列
题型二：两点分布的期望方差
题型三：独立重复实验发生k次的概率
题型四：二项分布的概念
题型五：二项分布的期望方差
题型六：二项分布的概率最大值问题
题型七：超几何分布的概率
题型八：超几何分布的期望方差
【典型例题】
题型一：两点分布的概念及分布列
【例1】（多选题）下列选项中的随机变量服从两点分布的是（ ）
A．抛掷一枚骰子，所得点数
B．某射击手射击一次，击中目标的次数
C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球､3个白球的袋中任取1个球，设
D．某医生做一次手术，手术成功的次数
【答案】BCD
【分析】由两点分布的定义依次判断，即得解
【详解】由题意可知B，C，D中的随机事件只有两种结果，随机变量均服从两点分布，
而抛掷一枚骰子，所得点数的取值为1，2，3，4，5，6，所以A中的随机变量不服从两点分布.
故选:BCD
【例2】设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（ ）
A．0.3B．0.35C．0.65D．0.7
【答案】C
【分析】根据两点分布概率性质可得解.
【详解】随机变量服从两点分布，，
根据两点分布概率性质可知：，
解得.
故选：C.
【例3】对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”．定义，如果，那么X的分布为______．
【答案】
【分析】根据两点分布的定义即可得到结果.
【详解】由题意可知，因为，则
故答案为:
【题型专练】
1．（多选题）下列选项中的随机变量服从两点分布的是（ ）．
A．抛掷一枚骰子，所得点数X
B．某射手射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分，射手的得分X
C．从装有5个红球，3个白球的袋子中取1个球，定义：“取出白球”，“取出红球”
D．某医生做一次手术，手术成功的次数X
【答案】CD
【分析】利用两点分布的定义，逐项分析判断即可作答.
【详解】两点分布又叫0-1分布，试验结果只有两个，并且随机变量的取值只有0，1两个，C，D满足题意；
抛掷一枚骰子，所得点数X可能的结果为1，2，3，4，5，6，共6个，不是两点分布，A不满足题意；
某射手射击一次的试验结果有两个，但随机变量X的取值是0，2，B不满足题意．
故选：CD
2．下列问题中的随机变量不是伯努利型的序号是______．
①某运动员射击一次，击中目标的次数为随机变量X；
②某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X；
③抛掷一颗骰子，所得点数为随机变量X；
④从装有5个红球、3个白球的袋中取1个球，令随机变量，取出白球；，取出红球．
【答案】③
【分析】分析随机变量X的可能取值是否为两种情况，从而作出判断.
【详解】伯努利型分布即两点分布，
其中①某运动员射击一次，击中目标的次数有两种可能，故为伯努利型；
②某医生做一次手术，手术成功的次数为两种可能，故为伯努利型；
③抛掷一颗骰子，所得点数可能为1,2,3,4,5,6，故不是伯努利型；
④从装有5个红球、3个白球的袋中取1个球，令随机变量，取出白球；，取出红球，两种可能，故为伯努利型.
故答案为：③
3．已知随机变量服从两点分布，且，设，那么_________．
【答案】
【分析】根据两点分布得基本性质即可求解
【详解】由题意得，当时，即，
所以
故答案为：
4．一个袋中有除颜色外其余完全相同的3个白球和4个红球．
(1)从袋中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，则有求X的分布列；
(2)从袋中任意摸出两个球，用“0”表示两个球全是白球，用“”表示两个球不全是白球，求Y的分布列．
【答案】(1)分布列见解析；(2)分布列见解析
【分析】（1）由已知得符合两点分布，且，，由此能求出的分布列．
（2）由已知Y符合两点分布，利用古典概型概率公式分别求出，，由此能求出的Y分布列．
(1)
由题意符合两点分布，且，，
的分布列如下：
(2)
从中任意摸出两个球，用“”表示两个球全是白球，用“”两个球不全是白球，
符合两点分布，
，
．
的分布列为：
5．已知X服从参数为0.3的两点分布，则________；若，则________.
【答案】 0.7## 0.3##
【分析】根据两点分布的基本性质即可求解.
【详解】因为服从参数为0.3的两点分布，
所以， .
当时，，所以.
故答案为：0.7，0.3
题型二：两点分布的期望方差
【例1】已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ）
A．0B．1C．0.3D．
【答案】D
【分析】直接利用两点分布的性质，即可得出结论,
【详解】随机变量服从两点分布，设成功的概率为，
.
故选：D.
【例2】若随机变量服从两点分布，其中，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意确定，求出期望，继而根据方差的公式求得答案。
【详解】由题意可知，，
则，
故，
故选：A
【例3】已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两点分布的性质可得，结合题意求得，再根据两点分布的期望公式即可得解.
【详解】解：因为随机变量X的分布列服从两点分布，
所以，
则，解得或，
又因，
所以，则，
所以.
故选：C.
【例4】（多选题）若随机变量服从两点分布，其中分别为随机变量的均值和方差，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据随机分布的定义和随机分布的期望方差计算进行求解即可.
【详解】对于选项A：随机变量X服从两点分布，因为
故，故选项A正确；
对于选项B：，故选项B错误；
对于选项C：，故选项C正确；
对于选项D：，故D正确.
故选：ACD
【题型专练】
1．若随机变量服从两点分布，其中，则和的值分别是（ ）
A．和B．和C．和D．和
【答案】B
【分析】根据两点分布求出，再应用期望、方差公式求、，最后根据期望、方差的性质求结果.
【详解】由于服从两点分布，，，
因此，，
所以，．
故选：B．
2．设随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7
【答案】D
【分析】由题意可得，再结合，可求出，从而可求出
【详解】由题意得，
因为，
所以解得，
所以，
故选：D
3．随机变量的概率分布为，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分布列的性质及期望公式得到方程组，求出，，再根据两点分布的方差公式计算可得；
【详解】解：由题意，得，∴，．
由题意知随机变量服从参数为的两点分布，故．
故选：D
4．（多选题）若随机变量服从两点分布，其中，、分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根据随机变量服从两点分布推出，再根据公式计算出，由此分别计算其他选项得到结果.，
【详解】根据随机变量服从两点分布，其中，，故A正确；
，故B正确；
则，故C错误；
，则，故D错误.
故选：AB.
5．（多选题）若随机变量服从两点分布，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】求出,即得解.
【详解】解：依题意，
所以， .
所以， ，
所以AB选项正确，CD选项错误.
故选：AB
6．（多选题）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据随机变量服从两点分布推出，根据公式先计算出、，由此分别计算四个选项得出结果．
【详解】随机变量服从两点分布，其中，，
，
，
在A中，，故A正确；
在B中，，故B正确；
在C中，，故C错误；
在D中，，故D正确．
故选：ABD．
题型三：独立重复实验发生k次的概率
【例1】若某射手每次射击击中目标的概率均为，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有两次击中目标的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用独立重复实验的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】他连续4次射击中，恰好有两次击中目标的概率为.
故选：B.
【例2】（多选题）下图是一块改造的高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，6的球槽内.用表示小球经过第7层通过的空隙编号（从左向右的空隙编号依次为0，1，2，…，6），用表示小球最后落入球槽的号码，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若放入80个小球，则落入1号球槽的小球个数的期望为5
【答案】ACD
【分析】小球下落过程中，每次向左、向右落下的概率均为 ，并且相互独立，根据独立重复试验事件发生的概率公式，对各个选项做出判断即可.
【详解】对于选项A，小球从通道口落下通过第七层空隙要经过6次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为 ，并且相互独立，做了6次独立重复试验，此时小球经过第七层通过的空隙编号时，说明小球经过的6次碰撞中，向右，（6-）次向左，即 ，A正确；
对于选项B，小球从通道口落入3号球槽要经过7次碰撞，其中3次向右，4次向左，根据独立重复试验事件发生的概率公式；由选项A可得，故 故B错误；
对于选项C ，小球从通道口落入2号球槽要经过7次碰撞，其中2次向右，5次向左，根据独立重复试验事件发生的概率公式可得， 同理可得：，故选项C正确；
对于选项D，
又因为80个小球，每个小球落入1号球槽的概率都相同，且互不影响，故 ,故落入1号球槽的小球个数的数学期望为，
D正确；
故选：ACD
【例3】设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为、、．
(1)三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；
(2)若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率．
【答案】(1)至少有一人命中目标的概率为，恰有两人命中目标的概率为；(2)
【分析】（1）利用对立事件、互斥事件、独立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】（1）解：三人各向目标射击一次，至少有一人命中目标的概率为,
恰有两人命中目标的概率为.
（2）解：若甲单独向目标射击三次，则他恰好命中两次的概率为.
【例4】甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是0.9，乙机床产品的正品率是0.95．
(1)从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用数字作答）；
(2)从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率（用数字作答）．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据已知条件，结合独立重复试验下事件的概率计算公式求解即可；
（2）根据对立事件的概率计算公式，先求得都是次品的概率，再求解即可.
【详解】（1）根据题意，从甲机床生产的产品中任取3件，恰有2件为正品，则1件为次品，
故其概率为：.
（2）因为甲乙机床生产产品相互独立，
故从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，都是次品的概率为，
故其对立事件至少有1件正品的概率为：.
【例5】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，求甲队以获胜的概率．
【答案】0.18
【分析】前四场中有一场输，第五场赢，前四场输分客场输和主场输两种情况进行求解，再相加即可.
【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是，
前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是，
综上所述，甲队以获胜的概率是．
【题型专练】
1．（多选题）某同学投篮1次，投中的概率是0.8，他连续投篮4次，且他每次投篮互不影响，则下列四个选项中，正确的（ ）
A．他第3次投中的概率是0.8
B．他恰投中3次的概率是
C．他至少投中1次的概率是
D．他恰好有连续2次投中的概率为
【答案】AC
【分析】利用相互独立事件的概率和独立重复试验的概率公式判断即可.
【详解】A选项：投篮1次，投中的概率为0.8，所以第3次投中的概率为0.8，故A正确；
B选项：恰投中3次的概率为，故B错；
C选项：至少投中1次对立事件为都没有投中，所以至少投中1次的概率为，故C正确；
D选项：恰好有连续2次投中的概率为，故D错.
故选：AC.
2．某校为了增强学生对传统文化的继承和发扬，组织了一场类似《诗词大会》PK赛（共4局），A､B两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK，除第三局胜者得2分外，其余各胜者均得1分，每局的负者得0分.假设每局比赛A队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为______.
【答案】
【分析】根据题意得到比赛结束时队的得分高于队的得分的情况有三种，分别是队全胜，队三胜一负，队胜第三局，另外三局一胜二负，再分别计算概率求解即可.
【详解】比赛结束时队的得分高于队的得分的情况有三种，
第一种：队全胜，概率为.
第二种：队三胜一负，概率为，
第三种：队胜第三局，另外三局一胜二负，概率为：.
所以比赛结束时队的得分高于队的得分的概率为.
故答案为：
3．一枚均匀的硬币连续抛掷三次，至少出现一次正面朝上的概率为___________．
【答案】##0.875
【分析】“至少出现一次正面朝上”的对立事件为“全部为反面”，求出其概率，从而得到答案．
【详解】“至少出现一次正面朝上”的对立事件为“全部为反面”，
事件“全部为反面”的概率为，
故至少出现一次正面朝上的概率为，
故答案为：．
4．现对一批设备的性能进行抽检，第一次检测每台设备合格的概率是0.5，不合格的设备重新调试后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.6，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理. 设每台设备是否合格相互独立，则每台设备报废的概率为___________.检测3台设备，则恰有2台合格的概率为___________.
【答案】 0.2； 0.384
【分析】①设备报废即连续两次检测都不合格，则可得每台设备报废概率；
②由①得出每台设备合格的概率P， 即可由独立重复试验概率公式求得概率
【详解】①设备报废即连续两次检测都不合格，则每台设备报废概率为：；
②每台设备合格的概率，每台设备是否合格相互独立，
则检测3台设备，则恰有2台合格的概率为.
故答案为：0.2；0.384.
5．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击相互独立．
(1)若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率；
(2)若甲、乙各射击两次，求两人命中目标的次数相等的概率．
【答案】(1)；(2)
【分析】(1)利用独立事件的概率的乘法公式即可求解；(2)结合独立重复事件的概率和独立事件概率的乘法公式即可求解.
【详解】（1）设甲命中为事件，乙命中为事件，则、相互独立，，，
则，
故甲命中但乙未命中目标的概率为.
（2）由题意可知，两人命中目标的次数相等，则命中次数可以为0，1，2，
，
，
，
从而两人命中目标的次数相等的概率.
题型四：二项分布的概念
【例1】已知随机变量服从二项分布，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由二项分布的概率公式计算．
【详解】．
故选：D．
【例2】下列说法正确的个数是（ ）．
①某同学投篮的命中率为，他次投篮中命中的次数是一个随机变量，且服从二项分布；
②某福彩中奖概率为，某人一次买了张彩票，中奖张数是一个随机变量，且服从二项分布；
③从装有大小与质地相同的个红球、个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数是随机变量，且服从二项分布．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】利用独立重复实验的概率模型，判断3个命题的真假，推出结果即可．
【详解】解：①某同学投篮投中的概率，该运动员重复次投篮，
则命中次数服从二项分布，正确；
②福彩中奖概率为，某人一次买了张，中奖张数是一个随机变量，
满足二项分布；所以②正确；
③从装有个红球、个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，
则摸球次数是随机变量，则的可能取值为、、、、、，
且，，，，，，
不是二项分布，所以③不正确；
故选：C．
【例3】同时抛掷三枚硬币，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二项分布的概率公式求解.
【详解】每枚硬币正面向上的概率都等于，
故恰好有两枚正面向上的概率为：.
故选B.
【点睛】本题考查二项分布.本题也可根据古典概型概率计算公式求解.
【例4】已知随机变量，Y服从两点分布，若，，则（ ）
A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8
【答案】C
【分析】利用二项分布的概率公式可求p,然后利用两点分布概率公式计算可得结果.
【详解】随机变量,，
解得（舍去，注意：），．
故选:C．
【例5】某高三学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为，则连续测试4次，至少有3次通过的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】次独立重复实验，故概率为.
【题型专练】
1．设，其中，且，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二项分布概率公式求得，再根据二项分布概率公式求解即可.
【详解】解：根据题意得，即，
解得或（舍去），
故.
故选：D
2．若随机变量，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接利用二项分布的概率公式求解.
【详解】由二项分布的概率公式得.
故选：A
【点睛】本题主要考查二项分布的概率公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先把取一次取得次品的概率算出来，再根据离散型随机变量的概率即可算出．
【详解】因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为．从中取3次，为取得次品的次数，则,
,选择D答案．
【点睛】本题考查离散型随机变量的概率,解题时要注意二项分布公式的灵活运用.属于基础题．
4．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，正面向上的次数为，则
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】将一枚硬币连续抛掷5次，每次向上的 概率都是0.5.
正面向上的次数.
故选：D.
5．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
(1)求甲正确完成两个面试题的概率；
(2)求乙正确完成面试题数的分布列．
【答案】(1)；(2)答案见解析.
【分析】设考生甲正确完成题数为，则取值分别为，，，；乙正确完成题数，取值分别为，，，求出取每个值时的概率，即得分布列．
【详解】（1）设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是．
.
（2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是．
，，，．
应聘者乙正确完成题数的分布列为
题型五：二项分布的期望方差
【例1】若离散型随机变量，，且，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二项分布的期望公式及二项分布的概率公式即得.
【详解】因为，
所以，得，
所以
.
故选：C.
【例2】某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答题道，已知该同学每道题答对的概率为，则该同学答对题目数量的数学期望和方差分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由条件确定该同学答对题目数量的分布列，再由二项分布的期望和方差公式求随机变量的期望及方差.
【详解】设该同学答对题目数量为，因为该同学每道题答对的概率为，共答道题，
所以，
所以，，
故选：C.
【例3】（多选题）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A＝（例如10100），其中A的各位数中（k＝2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时（ ）
A．X服从二项分布B．
C．X的均值D．X的方差
【答案】ABC
【分析】分别写出的可能取值，并计算其概率，推导出，再根据二项分布的性质求出结果即可．
【详解】由于二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有5类：
①后4个数位出现4个0，，记其概率为；
②后4个数位出现1个1，，记其概率为；
③后4个数位出现2个1，，记其概率为，
④后4个数位出现3个1，，记其概率为，
⑤后4个数位出现4个1，，记其概率为，
所以，故A正确；
又，故B正确；
，，故C正确；
，的方差，故D错误．
故选：ABC．
【例4】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有，参加过计算机培训的有．假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.
(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
(2)任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望.
【答案】(1)0.9；(2)分布列见详解，
【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式结合对立事件运算求解；（2）根据题意结合二项分布的概率和期望运算求解.
【详解】（1）任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，
由题意可知：事件A与B事件独立，，则，
任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率，
故任选1名下岗人员，该人参加过培训的概率
（2）由题意结合（1）可知：3人中参加过培训的人数服从二项分布，则，
，，
，，
的分布列：
的期望.
【例5】某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为,且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点(即取最大值时对应的的值).
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的作为的值,已知每件产品的检验费用为3元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付28元的赔偿费用.
①若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用之和记为,求;
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
【答案】(1)；(2)①564;②应该对余下的产品不进行检验
【分析】(1)利用独立重复实验成功次数对应的概率,求得,之后对其求导,利用导数在相应区间上的符号,确定其单调性,从而得到其最大值点;
(2)先根据第一问的条件,确定出,①先求件数对应的期望,之后应用变量之间的关系,求得赔偿费用的期望;②求出对余下的产品作检验的费用,通过比较两个值的大小,得到结果.
【详解】（1）件产品中恰有件不合格品的概率为.
因此.
令,得.
当时,;当时,.
的最大值点为.
（2）由(1)知p＝0.1,
①令表示余下的件产品中的不合格品件数,依题意知,
,即,
.
②如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为600元.由于,
所以应该对余下的产品不进行检验.
【题型专练】
1．已知随机变量X服从二项分布，若，则等于（ ）
A．B．8C．12D．24
【答案】D
【分析】根据二项分布的数学期望和方差公式，再结合数学期望和方差性质求解即可.
【详解】随机变量X服从二项分布，，
因为，所以.
因为，
所以.
故选：D
2．（多选题）已知随机变量，则（ ）
A．
B．
C．从装有3个红球、9个黑球的袋中一次性摸出3个球，则可表示摸出的红球个数
D．桐人和茅场晶彦进行3场决斗，且桐人每场决斗的胜率均为（不存在平手），则可表示桐人的胜场数
【答案】AD
【分析】根据二项分布求期望和方差的公式求出期望和方差；
根据超几何分布和二项分布特征得到C为超几何分布，D为二项分布.
【详解】，A正确；
，B错误；
超几何分布：描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）；
二项分布：n个独立的成功/失败试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p；
故C选项中的X符合超几何分布，C错误；D正确．
故选：AD．
3．已知随机变量，若X服从二项分布，则、分别为______．
【答案】；##
【分析】由X服从二项分布，可求出，再根据，结合期望与方差的性质求解即可．
【详解】服从二项分布，
又，则，
故答案为：，
4．2022年，某省启动高考综合改革，改革后，不再分文理科，改为采用是“”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目，某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理.根据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择B组合的概率为，选择C组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的.
(1)求这三位同学恰好有两位同学选择相同组合的概率.
(2)记X表示这三人中选择含地理的组合的人数，求X的分布列及数学期望.
【答案】(1)；(2)分布列见解析，.
【分析】（1）用表示第i位同学选择A组合，用表示第i位同学选择B组合，用表示第i位同学选择C组合，，则由题意可得，分别求出三位同学恰好有两位同学选择组合的情况，最后相加可求出概率；
（2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，且，然后求出各自所对应的概率，从而可得的分布列及数学期望.
【详解】（1）解：用表示第i位同学选择A组合，用表示第i位同学选择B组合，用表示第i位同学选择C组合，．
由题意可知，互相独立，
且．
故三位同学恰好有两位同学选择组合的概率为．
三位同学恰好有两位同学选择组合的概率为．
三位同学恰好有两位同学选择组合的概率为
所以这三位同学恰好有两位同学选择相同组合的概率为：.
（2）选择含地理的组合的概率为，
由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，
且，
所以，
，
，
，
所以的分布列为
所以．
5．为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，几对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校学生中随机选取了100名学生，调查得到如下表所示的统计数据．
(1)从该校任选1名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于36min的概率；
(2)估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数；
(3)以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在的人数为随机变量，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)；(2)；(3)分布列见解析，.
【分析】（1）由频率估计概率即得；
（2）设中位数为，由中位数定义知，即得；
（3）由题可得，然后利用二项分布的概率公式可得概率，进而可得分布列及期望.
【详解】（1）由表格数据可知：学生每日使用手机的时间小于36min共有人，
所求概率；
（2）设中位数为，
由表格数据知：使用手机的时间小于分钟的频率为，使用手机的时间小于分钟的频率为，
故，
，
解得：，
即估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数为；
（3）由题可得学生每日使用手机的时间在内的概率为，
则，
所以,
,
,
,
所以的分布列为：
所以.
6．某公司在年会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择.方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得奖金500元，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则需进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1000元；若未中奖，则所获得奖金为0元.方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金500元.
(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金（元）的分布列；
(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？请说明理由.
【答案】(1)答案见解析；(2)选择方案甲更划算，理由见解析
【分析】（1）运用独立事件乘法公式，考虑抽奖的具体过程，按步骤写出X的分布列；
（2）分别求出两种方案的数学期望，比较得出结论.
【详解】（1），，，
所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金（元）的分布列为
（2）由（1）可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金的均值，
若选择方案乙进行抽奖中奖次数，则，
抽奖所获奖金的均值，
故选择方案甲更划算.
综上，方案甲更划算.
7．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，期望，方差．
(1)求n和p的值，并写出X的分布列.；
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．
【答案】(1)，，分布列.见解析；(2)
【分析】（1）根据二项分布的知识列方程组，求得，并求得的分布列.
（2）结合（1）的分布列求得正确答案.
（1）
由题意知，随机变量X服从二项分布，
，．
由，解得，．
所以，的可能取值为，
，
，
，
，
所以X的分布列为：
（2）记事件A表示“需要补种沙柳”，则，
得，
所以需要补种沙柳的概率为．
8．近两年肆虐全球的新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状､发热､咳嗽､气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎､严重急性呼吸综合征､肾衰竭，甚至死亡.核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，若有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为.现有4例疑似病例，分别对其取样､检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验.现有以下三种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：四个样本混合在一起化验；
方案三：平均分成两组，分别混合在一起化验.
在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”.
(1)若按方案一，求4个疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；
(2)现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一､二､三中哪个最“优”？并说明理由.
【答案】(1)；(2)选择方案一最“优”，理由见解析
【分析】（1）根据二项分布求解即可.
（2）根据题意得到方案一检验次数为4，方案二平均检测次数为，方案三平均检测次数为，即可得到答案.
【详解】（1）（1）用表示4个疑似病例中化验呈阳性的人数，则
由题意可知，.
（2）方案一：逐个检验，检验次数为4；
方案二：混合在一起检测，记检测次数为，则随机变量的可能取值为1，5，，
所以随机变量的分布列为
所以
方案三：每组两个样本检测时，若呈阴性则检测次数为1次，其概率为；
若呈阳性则检测次数为3次，其概率为.
设方案三的检测次数为随机变量，则的可能取值为，
所以随机变量的分布列为
所以.
由上可知，
故选择方案一最“优”.
9．年月日是中国传统二十四节气“立秋”，该日，“秋天的第一杯奶茶”再度出圈，据此，学校社会实践小组随机调查了该地区位奶茶爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图.
(1)估计奶茶爱好者的平均年龄；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)估计奶茶爱好者年龄位于区间的概率；
(3)以频率替代概率进行计算，若从该地区所有奶茶爱好者中任选人，求人中年龄在岁以下的人数的分布列和期望.
【答案】(1)岁；(2)；(3)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）由频率分布直方图估计平均数的方法直接计算即可；
（2）根据频率分布直方图可计算得到的频率，用频率估计概率即可；
（3）根据频率分布直方图可计算得到年龄在岁以下的频率，可得，由二项分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据二项分布数学期望计算公式可求得期望.
【详解】（1）由频率分布直方图估计奶茶爱好者的平均年龄为：
（岁）.
（2）由频率分布直方图得：奶茶爱好者年龄位于区间的频率为，
由频率估计概率可知：奶茶爱好者年龄位于区间的概率为.
（3）由频率分布直方图得：从该地区所有奶茶爱好者中任选人，年龄在岁以下的概率为，；
则所有可能的取值为，
；；；；
的分布列为：
则数学期望.
10．第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京举办，为了普及冬奥知识，某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了10名学生，得到他们的分数统计如下表：
规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀．将频率视为概率．
(1)此次比赛中该校学生成绩的优秀率是多少？
(2)从全校学生中随机抽取2人，以X表示这2人中成绩良好和优秀的人数之和，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，
【分析】（1）用样本的频率来估计总体的概率即可；
（2）利用二项分布求概率的方法求概率，得到分布列，然后求期望即可.
【详解】（1）∵80分及以上为优秀，∴．
∴此次比赛中该校学生成绩的优秀率是．
（2）在全校学生中任选一人，其成绩良好或优秀的概率为．
X的所有可能取值为0，1，2，
，
，
，
∴X的分布列为
∴．
题型六：二项分布的概率最大值问题
【例1】某人在11次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则k＝（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】若最大，则，解出的范围，代入数值.
【详解】因为 ，若最大，则
，化简得： ， .
代入已知数值得： ，所以 时最大.
故选：C.
【例2】（多选题）下列选项中正确的是（ ）
A．已知随机变量服从二项分布，则
B．口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球，从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量，则的数学期望
C．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，所得的样本空间为，令事件，事件，则事件与事件相互独立
D．某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是7次
【答案】BC
【分析】由二项分布的方差公式、超几何分布的均值公式；条件概率与事件相互独立的关系以及二项分布的性质判断各选项．
【详解】A选项，，，，A错误；
B选项，X服从超几何分布，N＝10，M＝7，n＝2，；
C选项，，，AB＝{2}，，A，B相互独立；
D选项，设9次射击击中k次概率最大，
则，解得7≤k≤8，
P（X＝7）＝P（X＝8）同时最大，故k＝7或8，D错误．
故选：BC．
【例3】高中生的数学阅读水平与其数学阅读认知、阅读习惯和方法等密切相关．为了解高中生的数学阅读现状，调查者在某校随机抽取100名学生发放调查问卷，在问卷中对于学生每周数学阅读时间统计如下：
(1)为了解学生数学阅读时间偏少的原因，采用样本量比例分配的分层随机抽样从这100名学生中随机抽取10名学生，再从这10人中随机抽取2名进行详细调查，求这2名学生中恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率；
(2)用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有名学生数学阅读时间在小时的概率，求取最大值时对应的的值．
【答案】(1)；(2)4
【分析】(1)根据表中数据，即可知10人有4人阅读时间大于0.5，由组合即可求解概率，(2)将频率视为概率则，利用二项分布概率公式及不等式法求取得最大时对应的值．
（1）
抽取的10人中，周阅读时间大于0.5小时的有4人，小于等于0.5小时的有6人， 故恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率为
（2）
周阅读时间在小时的频率为，故概率为，
则，所以，
由得：，化简得
解得，又，故，
【例4】某单位为了激发党员学习党史的积极性，现利用“学习强国”APP中特有的“四人赛”答题活动进行比赛，活动规则如下：一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，第一局获胜得3分，第二局获胜得2分，失败均得1分，小张周一到周五每天都参加了两局“四人赛”活动，已知小张第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p（0＜p＜1），，且各局比赛互不影响.
(1)若，记小张一天中参加“四人赛”活动的得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)设小张在这5天的“四人赛”活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为，试问当p为何值时，取得最大值.
【答案】(1)分布列见解析，；(2)
【分析】（1）根据随机变量的取值，求对应事件的概率，进而可得分布列和期望.（2）列出的表达式，利用导数研究单调性，进而可得最值.
【详解】（1）由题可知，X的可能取值为2，3，4，5.
因为，所以，，，
.
故X的分布列为
.
（2）设一天得分不低于4分为事件A，
则，
则，
则.
当时，；当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值.
【题型专练】
1．（多选题）某同学共投篮12次，每次投篮命中的概率为0.8，假设每次投篮相互独立，记他投篮命中的次数为随机变量，下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．D．该同学投篮最有可能命中9次
【答案】AB
【分析】由二项分布的定义以及方差、期望的性质判断ABC，再由判断D.
【详解】由二项分布的定义可知，，，，故AB正确，C错误；
设该同学投篮最有可能命中次，则 ，即，因为为正整数，所以，故D错误；
故选：AB
2．若随机变量X服从二项分布，则使取得最大值时，______．
【答案】3或4
【分析】先求得的表达式，利用列不等式组的方法来求得使取得最大值时的值.
【详解】依题意，
依题意，
，
，，
所以、不是的最大项，
当时，由，
整理得，即，
整理得，，
所以当为3或4时，取得最大值.
故答案为：3或4
3．已知随机变量，若最大，则______．
【答案】24
【分析】先根据解出，再根据二项分布的方差公式求出，再计算即可.
【详解】由题意知：，要使最大，有，
化简得，解得，故，又，
故.
故答案为：24.
4．小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.
(1)从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户.若抽取的5户中购买量在（单位：）的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在（单位：）的户数为，求的分布列和期望；
(2)将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于时，则该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k的值.
【答案】(1)答案见解析；(2).
【分析】（1）随机变量所有可能的取值为0，1，2．求出概率得到分布列，然后求解期望．
（2）每天对甲类物资的购买量平均值，求出从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为，判断，设户的可能性最大，列出不等式组，求解即可．
【详解】（1）随机变量所有可能的取值为0，1，2.则
，，，
所以.
（2）根据频率分布直方图可知，每天对甲类生活物资的需求平均值为
（）
则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为.
若从小区随机抽取10户，且抽到X户为“迫切需求户”，则，
若k户的可能性最大，则，
，得，
即，解得，由于，故.
5．一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．则当______时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为______．
【答案】 5或6##6或5 ##0.3125
【分析】由题设可得补播种的概率，进而可得3个坑要补播种的概率为，应用不等式法求最大概率并确定对应n值即可.
【详解】对一个坑而言，要补播种的概率，
所以补播种坑的数量服从，则3个坑要补播种的概率为．
要使最大，只需，解得，
当或，.
所以，当或时有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为．
故答案为：5或6，.
题型七：超几何分布的概率
【例1】设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据超几何分布的概率公式即可求解.
【详解】从袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球共有种取法，
恰好有6个红球，则有4个白球，故取法有中，
由古典概型的概率公式得概率为.
故选：D
【例2】袋中有6个大小相同的黑球，编号为，还有4个同样大小的白球，编号为，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（ ）
①取出的最大号码服从超几何分布；
②取出的黑球个数服从超几何分布；
③取出2个白球的概率为；
④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
A．①②B．②④C．③④D．①③④
【答案】B
【分析】根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取可判断①②；利用超几何分布求概率的方式即可判断③④
【详解】对于①，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号码不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①错误；
对于②，取出的黑球个数符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故②正确；
对于③，取出2个白球的概率为，故③错误；
对于④，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，
总得分最大的概率为，故④正确．
故选：B
【例3】厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家对一批产品发给商家时，商家按规定拾取一定数量的产品做检验，以决定是否验收这批产品：
(1)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.3，从中任意取出4种进行检验，求至少有1件是合格产品的概率；
(2)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，来进行检验，只有2件产品合格时才接收这些产品，否则拒收，分别求出该商家检验出不合格产品为1件和2件的概率，并求该商家拒收这些产品的概率．
【答案】(1)0.7599；(2)答案见详解.
【分析】（1）由对立事件概率公式及产品合格的概率为0.3，即可求出从产品中任意取出件进行检验至少有件是合格的概率；
（2）根据超几何分布求出对应的概率，结合对立事件概率公式，即可求得结果.
【详解】（1）记“厂家任取件产品检验，其中至少有件事合格品”为事件A
用A的对立事件来算，有；
（2）设商家检验出不合格产品的件数为，则的可能取值为0,1,2，
，
，
，
所以商家检验出不合格产品为1件、2件的概率分别为、；
记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件，
则商家拒收这批产品的概率
所以商家拒收这批产品的概率为.
【题型专练】
1．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接利用超几何分布概率求解.
【详解】在含有3件次品的50件产品中，任取2件，
则至少取到1件次品的概率为，
故选：D
【点睛】本题主要考查超几何分布概率的求法，属于基础题.
2．（多选题）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A．B．随机变量X服从二项分布
C．随机变量X服从超几何分布D．
【答案】ACD
【分析】由题意知随机变量服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可．
【详解】解：由题意知随机变量服从超几何分布，故错误，正确；
的取值分别为0，1，2，3，4，则，，
，，，
，
故，正确．
故选：．
3．一机床生产了个汽车零件，其中有个一等品、个合格品、个次品，从中随机地抽出个零件作为样本.用表示样本中一等品的个数.
（1）若有放回地抽取，求的分布列；
（2）若不放回地抽取，用样本中一等品的比例去估计总体中一等品的比例.
①求误差不超过的的值；
②求误差不超过的概率（结果不用计算，用式子表示即可）
【答案】（1）分布列答案见解析；（2）①或；②.
【分析】（1）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列；
（2）①分析可知样本中一等品的比例为，可得出关于的不等式，即可得出的取值；
②根据超几何的概率公式可求得结果.
【详解】（1）对于有放回抽取，每次抽到一等品的概率为，且各次试验之间的结果是独立的，
因此，从而，，，，，
所以的分布列如下：
（2）对于不放回抽取，各次试验结果不独立，服从超几何分布，样本中一等品的比例为，而总体中一等品的比例为，由题意，
①或；
②.
题型八：超几何分布的期望方差
【例1】某冷饮店的冰淇淋在一天中销量为200个，三种口味各自销量如表所示：把频率视作概率，从卖出的冰淇淋中随机抽取10个，记其中草莓味的个数为X，则（ ）
A．5B．3C．2D．1
【答案】C
【详解】按照所给的数据，卖出草莓味冰淇淋的频率为 ，抽取的草莓味的冰淇淋个数分布列服从超几何分布，按照超几何分布的公式计算即可.
【分析】由题意可得卖出草莓味冰淇淋的频率为，
由于把频率视作概率，故卖出草莓味冰淇淋的概率为，
已知Ⅹ表示抽取卖出的冰淇淋中草莓味的个数，
则X服从超几何分布，且，，
，由超几何分布的定义知，，．
所以；
故选：C．
【例2】在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A．B．随机变量服从二项分布
C．随机变量服从几何分布D．
【答案】C
【分析】由题意知随机变量服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可．
【详解】解：由题意知随机变量服从超几何分布，故B错误，C正确；
的取值分别为0，1，2，3，4，则，，
，，，
，
故A，D错误．
故选：C．
【例3】设随机变量（且），最大时，（ ）
A．1.98B．1.99C．2.00D．2.01
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出最大时的M值，再利用超几何分布的期望公式计算作答.
【详解】随机变量，则，
因最大，则有，
即，，
整理得，解得，
而，则，所以.
故选：C
【点睛】关键点睛：熟练掌握组合数公式，这是正确计算的关键．
【例4】（多选题）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，，1，2，3．则下列判断正确的是（ ）
A．随机变量X服从二项分布B．随机变量Y服从超几何分布
C．D．
【答案】ABD
【分析】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知“有放回”是二项分布，“无放回”是超几何分布，故两个选项均正确；C，D选项，可进行计算判断.
【详解】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确；
对于D选项，该批产品有M件，则，，因此D正确；
对于C选项，假若C正确可得，则D错误，矛盾！故C错误．
故选：ABD.
【例5】一个箱子中有6个大小相同产品，其中4个正品、2个次品，从中任取3个产品，记其中正品的个数为随机变量，则的均值___________．
【答案】2
【分析】先求得的可能取值为1，2，3对应的概率，进而利用期望的定义求得的值
【详解】任取3个产品，记其中正品的个数为随机变量，则的可能取值为1，2，3
则
则
故答案为：2
【例6】全国第36届中国化学奥林匹克竞赛已经结束，我校学生取得了优异成绩，为了方便统计，现将学生成绩转化为百分制，从中随机抽取了100名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值，并估计这100名学生成绩的中位数；
(2)在这100名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]的三组中抽取了10人，再从这10人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90）的人数，求的分布列和数学期望；
【答案】(1),中位数:65；(2)分布列见解析，数学期望为.
【分析】(1)根据频率之和等于1即可求解m,再根据中位数的定义求得中位数;(2)利用分层抽样的原理确认各区间所抽取人数，再根据超几何分布即可求出分布列以及数学期望.
【详解】（1）由题可知，，
解得.
中位数为.
（2）依题意，[70，80），[80，90），[90，100]三组的频率为，
所以[70，80），[80，90），[90，100]三组抽取的人数为，
所以在这10人成绩在[80，90）的有3人，不在的有7人，
所以,
所以列出分布列如下：
所以.
【例7】北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业､礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求：
(1)甲测试合格的概率；
(2)甲答对的试题数X的分布列和数学期望.
【答案】(1)；(2)分布列答案见解析，数学期望：
【分析】（1）利用古典概型求概率的公式求概率即可；
（2）利用古典概型求概率的公式求概率，然后写分布列，最后求期望即可.
【详解】（1）设甲测试合格为事件，则.
（2）甲答对的试题数可以为0，1，2，3，
，，，，
所以的分布列为：
.
【题型专练】
1．设个产品中有个次品，任取产品个，取到的次品可能有个，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】根据超几何分步的数学期望公式求解即可
【详解】由题意，个
故选：A
2．已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】A
【分析】X服从超几何分布，求出X的分布列，根据数学期望的计算方法计算即可．
【详解】X可能取1，2，3，其对应的概率为
，
，
，
∴．
故选：A
3．一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从（ ）
A．二项分布，且B．两点分布，且
C．超几何分布，且D．超几何分布，且
【答案】C
【分析】利用超几何分布的定义判断，再利用超几何分布的期望公式求解.
【详解】解：由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，所以由超几何分布得定义得服从超几何分布，所以.
故选：C
4．（多选题）在一个袋中装有大小一样的6个豆沙粽，4个咸肉粽，现从中任取4个粽子，设取出的4个粽子中成肉粽的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．随机变量X服从超几何分布 D．
【答案】ACD
【分析】根据题意得到随机变量的超几何分布，求得期望可判定B错误，C正确，再求得和，可判定A，D正确.
【详解】由题意，随机变量服从参数为的超几何分布，则，所以
故B错误，C正确；
又由，，
所以，所以A，D正确.
故选：ACD.
5．一个口袋中装有7个球，其中有5个红球，2个白球抽到红球得2分，抽到白球得3分．现从中任意取出3个球，则取出3个球的得分Y的均值为___________．
【答案】
【分析】求的可能取值与每个值所对应的概率即可求解
【详解】的可能取值为，且
，，
，
所以得分Y的均值，
故答案为：
6．为进一步做好新冠疫情防控工作，某地组建一只新冠疫苗宣传志愿者服务队，现从2名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取2人作为队长，则在“抽取的2人中至少有一名女志愿者”的前提下“抽取的2人全是女志愿者”的概率是________；若用表示抽取的2人中女志愿者的人数，则________.
【答案】
【分析】根据题意，结合条件概率公式和超几何分布的期望公式，即可求解.
【详解】设抽取的2人全是女志愿者为事件A，抽取的2人中至少有一名女志愿者为事件B，
则，，
所以；
由题意知，，
.
故答案为：；.
7．某校高三年级有男生360人，女生240人，对高三学生进行问卷调查，采用分层抽样的方法，从这600名学生中抽取5人进行问卷调查，再从这5名学生中随机抽取3人进行数据分析，则这3人中既有男生又有女生的概率是________，记抽取的男生人数为，则随机变量的数学期望为________．
【答案】 ##0.9 ##1.8
【分析】根据给定条件，利用古典概型计算概率；再利用超几何分布的期望公式计算作答.
【详解】由分层抽样知，抽取的5人中男生人数为，女生人数为2，
所以从5人中再抽3人，既有男生又有女生的概率是；
依题意，随机变量服从超几何分布，其期望为.
故答案为：；
8．某校高一，高二年级的学生参加书法比赛集训，高一年级推荐了4名男生，2名女生，高二年级推荐了3名男生，5名女生，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队参加市上比赛.
(1)求高一恰好有1名学生入选代表队的概率；
(2)正式比赛时，从代表队的6名队员中随机抽取2人参赛，设表示参赛的男生人数，求的分布列和数学期望
【答案】(1)；(2)的分布列见解析，.
【分析】（1）首先求出从参加集训的男生中随机抽取人，女生中随机抽取人组成代表队的抽取方法数为，再分类讨论高一恰好有1名学生入选代表队的抽取方法数和，进而利用概率公式求得概率即可；
（2）依题意的所有可能取值为，并且符合超几何分布，分别求出所对应的概率，列出分布列求其期望即可.
（1）
从参加集训的男生中随机抽取人，
女生中随机抽取人组成代表队的抽取方法数为，
代表队中恰好有名高一学生的抽取方式中，
恰有名高一学生，若学生为男生，则抽取方法数为，
若学生为女生，则抽取方法数为，
高一恰好有1名学生入选代表队的概率；
（2）
依题意得，的所有可能取值为，
则，
，
，
的分布了如下：
.X
0
1
P
1-P
P
X
0
1
…
m
P
…
0
1
0
1
0
1
2
3
0.001
0.027
0.243
0.729
0
1
2
3
P
时间
人数
6
30
35
19
6
4
0
1
2
3
0
500
1000
1
5
2
4
6
分数段
人数
1
1
1
3
2
1
1
X
0
1
2




时间（小时/周）
0
人数
20
40
30
10
X
2
3
4
5
P
0
1
2
冰淇淋口味
草莓味
巧克力味
原味
销量（个）
40
60
100

0
1
2
3

0
1
2
3