新高考数学一轮复习课件第1章 §1.5　一元二次方程、不等式

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这是一份新高考数学一轮复习课件第1章 §1.5　一元二次方程、不等式，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练等内容，欢迎下载使用。

§1.5　一元二次方程、不等式
1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
{x|xx2}
{x|x12.分式不等式与整式不等式(1) >0(<0)⇔ ；(2) ≥0(≤0)⇔ .3.简单的绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为，|x|0)的解集为 .
f(x)g(x)>0(<0)
f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0
(－∞，－a)∪(a，＋∞)
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　)(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　　)(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　　)(4)不等式 ≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　)
1.若集合A＝{x|x2－9x>0}，B＝{x|x2－2x－3<0}，则A∪B等于A.RB.{x|x>－1}C.{x|x<3或x>9}D.{x|x<－1或x>3}
A＝{x|x>9或x<0}，B＝{x|－19}.
2.若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，则a＋b＝_______.
3.一元二次不等式ax2＋ax－1<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是_________.
TANJIUHEXINTIXING
命题点1　不含参的不等式例1　(1)不等式－2x2＋x＋3<0的解集为
－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，即(x＋1)(2x－3)>0，
由题设可得M＝[－1,3]，N＝(－1,4]，故A正确，B错误；M∪N＝{x|－1≤x≤4}，故C正确；而M∩N＝{x|－1命题点2　含参的不等式例2　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0).
原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
当a＝1时，解集为∅；
当a＝1时，不等式的解集为∅；
延伸探究　在本例中，把a>0改成a∈R，解不等式.
当a>0时，同例2，当a＝0时，原不等式等价于－x＋1<0，即x>1，
当a＝1时，不等式的解集为∅，
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}，
解关于x的不等式x2－ax＋1≤0.
由题意知，Δ＝a2－4，
②若Δ＝a2－4＝0，则a＝±2.当a＝2时，原不等式可化为x2－2x＋1≤0，即(x－1)2≤0，∴x＝1；
当a＝－2时，原不等式可化为x2＋2x＋1≤0，即(x＋1)2≤0，∴x＝－1.③当Δ＝a2－4<0，即－2当a＝2时，原不等式的解集为{1}；当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.
跟踪训练1　(1)(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，则下列说法正确的是A.a>0B.不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－4}C.不等式cx2－bx＋a<0的解集为D.a＋b＋c>0
关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为(－∞，－3]∪[4，＋∞)，所以二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口方向向上，即a>0，故A正确；对于B，方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3,4，
bx＋c>0⇔－ax－12a>0，
由于a>0，所以x<－12，所以不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－12}，故B不正确；
对于D，a＋b＋c＝a－a－12a＝－12a<0，故D不正确.
(2)解关于x的不等式(x－1)(ax－a＋1)>0.
①当a＝0时，原不等式可化为x－1>0，即x>1；
综上，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；
命题点1　在R上恒成立问题例3　(2022·漳州模拟)对∀x∈R，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0恒成立，则a的取值范围是A.－2一元二次不等式恒(能)成立问题
不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立，满足题意；当a－2≠0时，要使不等式恒成立，
解得－2命题点2　在给定区间上恒成立问题例4　已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为__________.
要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，
x∈[1,3].当m>0时，g(x)在[1,3]上单调递增，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，
当m＝0时，－6<0恒成立；当m<0时，g(x)在[1,3]上单调递减，所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，所以m<6，所以m<0.
又因为m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1,3]上恒成立，
命题点3　给定参数范围的恒成立问题例5　(2022·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是A.[－1,3]B.(－∞，－1]C.[3，＋∞)D.(－∞，－1)∪(3，＋∞)
不等式x2＋px>4x＋p－3可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，
函数f(x)＝x2＋ax＋3.若当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，则实数a的取值范围是________.若当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，则实数x的取值范围是_________________________________.
若x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2,2]上恒成立，令g(x)＝x2＋ax＋3－a，
解①得－6≤a≤2，解②得a∈∅，解③得－7≤a<－6.综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7,2].令h(a)＝xa＋x2＋3.当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立.
恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论.
跟踪训练2　(1)已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围是A.{a|－1≤a≤4} B.{a|－1因为关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，即x2－4x＋a2－3a≤0在R上有解，只需y＝x2－4x＋a2－3a的图象与x轴有公共点，所以Δ＝(－4)2－4×(a2－3a)≥0，即a2－3a－4≤0，所以(a－4)(a＋1)≤0，解得－1≤a≤4，所以实数a的取值范围是{a|－1≤a≤4}.
(2)当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是A.(－∞，4] B.(－∞，－5)C.(－∞，－5] D.(－5，－4)
令f(x)＝x2＋mx＋4，∴当x∈(1,2)时，f(x)<0恒成立，
KESHIJINGLIAN
1.不等式9－12x≤－4x2的解集为
原不等式可化为4x2－12x＋9≤0，即(2x－3)2≤0，
2.(2022·揭阳质检)已知p：|2x－3|<1，q：x(x－3)<0，则p是q的A.充要条件B.充分不必要条件C.既不充分也不必要条件D.必要不充分条件
∵p：|2x－3|<1，则－1<2x－3<1，可得p：13.(2022·南通模拟)不等式(m＋1)x2－mx＋m－1<0的解集为∅，则m的取值范围是
∵不等式(m＋1)x2－mx＋m－1<0的解集为∅，∴不等式(m＋1)x2－mx＋m－1≥0恒成立.①当m＋1＝0，即m＝－1时，不等式化为x－2≥0，解得x≥2，不是对任意x∈R恒成立，舍去；②当m＋1≠0，即m≠－1时，对任意x∈R，要使(m＋1)x2－mx＋m－1≥0，只需m＋1>0且Δ＝(－m)2－4(m＋1)(m－1)≤0，
4.(2022·合肥模拟)不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1,3]恒成立，则a的最小值是A.－5　　　B. 　　　C.－4　　　D.－3
∵x∈[1,3]时，x2＋ax＋4≥0恒成立，
∴a≥－4.故a的最小值为－4.
6.(多选)(2022·湖南长郡中学月考)已知不等式x2＋ax＋b>0(a>0)的解集是{x|x≠d}，则下列四个结论中正确的是A.a2＝4bB.a2＋ ≥4C.若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0D.若不等式x2＋ax＋b由题意，知Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b，所以A正确；
对于C，由根与系数的关系，
解得c＝4，所以D正确.
即18.一元二次方程kx2－kx＋1＝0有一正一负根，则实数k的取值范围是__________.
kx2－kx＋1＝0有一正一负根，
9.已知关于x的不等式－x2＋ax＋b>0.(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a，b的值；
解得a＝－2，b＝8.
(2)若b＝a＋1，求此不等式的解集.
当b＝a＋1时，－x2＋ax＋b>0⇔x2－ax－(a＋1)<0，即[x－(a＋1)](x＋1)<0.当a＋1＝－1，即a＝－2时，原不等式的解集为∅；当a＋1<－1，即a<－2时，原不等式的解集为(a＋1，－1)；当a＋1>－1，即a>－2时，原不等式的解集为(－1，a＋1).
综上，当a<－2时，不等式的解集为(a＋1，－1)；当a＝－2时，不等式的解集为∅；当a>－2时，不等式的解集为(－1，a＋1).
10.若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2.(1)求函数f(x)的解析式；
由f(0)＝2，得c＝2，所以f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，由f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－(ax2＋bx＋2)＝4ax＋4a＋2b，又f(x＋2)－f(x)＝16x，得4ax＋4a＋2b＝16x，
所以f(x)＝4x2－8x＋2.
(2)若存在x∈[1,2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围.
因为存在x∈[1,2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，即存在x∈[1,2]，使不等式m<4x2－10x＋2成立，令g(x)＝4x2－10x＋2，x∈[1,2]，故g(x)max＝g(2)＝－2，所以m<－2，即m的取值范围为(－∞，－2).
11.(多选)已知函数f(x)＝4ax2＋4x－1，∀x∈(－1,1)，f(x)<0恒成立，则实数a的取值可能是A.0 B.－1C.－2 D.－3
因为f(x)＝4ax2＋4x－1，所以f(0)＝－1<0成立.当x∈(－1,0)∪(0,1)时，由f(x)<0可得4ax2<－4x＋1，
当x∈(－1,0)∪(0,1)时，
所以4a<－4，解得a<－1.
12.(2022·南京质检)函数y＝lg(c＋2x－x2)的定义域是(m，m＋4)，则实数c的值为______.
依题意得，一元二次不等式－x2＋2x＋c>0，即x2－2x－c<0的解集为(m，m＋4)，
解得m＝－1，c＝3.
13.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是________.
原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即114.若不等式x2＋ax－2>0在[1,5]上有解，则a的取值范围是______________.
对于方程x2＋ax－2＝0，∵Δ＝a2＋8>0，∴方程x2＋ax－2＝0有两个不相等的实数根，又∵两根之积为负，∴必有一正根一负根，设f(x)＝x2＋ax－2，于是不等式x2＋ax－2>0在[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0，即5a＋23>0，
15.(2022·湖南多校联考)若关于x的不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0恰有两个整数解，则a的取值范围是
令x2－(2a＋1)x＋2a＝0，解得x＝1或x＝2a.
不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0的解集为{x|1不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0无解，
16.已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5).(1)若不等式组的正整数解只有一个，求实数k的取值范围；
因为不等式f(x)<0的解集是(0,5)，所以0,5是一元二次方程2x2＋bx＋c＝0的两个实数根，
所以f(x)＝2x2－10x.
因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解为6，可得6<5－k≤7，解得－2≤k<－1，所以k的取值范围是[－2，－1).
(2)若对于任意x∈[－1,1]，不等式t·f(x)≤2恒成立，求t的取值范围.
tf(x)≤2，即t(2x2－10x)≤2，即tx2－5tx－1≤0，当t＝0时显然成立，