新高考数学一轮复习课件第2章 §2.2　函数的单调性与最值

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这是一份新高考数学一轮复习课件第2章 §2.2　函数的单调性与最值，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练等内容，欢迎下载使用。

§2.2　函数的单调性与最值
1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.函数的单调性(1)单调函数的定义
f(x1)f(x1)>f(x2)
(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上_________或_________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
2.在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数.
4.复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若f(x)的定义域为R，且f(－3)1.下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是A.y＝|x＋1| B.y＝2－xC.y＝ D.y＝x2－x＋1
2.函数y＝在区间[2,3]上的最大值是____.
3.函数y＝在(－∞，1)上为增函数，则实数a的取值范围是__________.
TANJIUHEXINTIXING
例1 　(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是A.y＝ex－e－x B.y＝|x2－2x|C.y＝x＋cs x D.y＝
命题点1　求具体函数的单调区间
∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数，∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确；由y＝|x2－2x|的图象知，故B不正确；对于选项C，y′＝1－sin x≥0，∴y＝x＋cs x在R上为增函数，故C正确；
例2 　试讨论函数f(x)＝ (a≠0)在(－1,1)上的单调性.
命题点2　判断或证明函数的单调性
方法一　设－1由于－10，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增.
1.设函数f(x)＝ g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是______.
方法一　(定义法)设x1>x2>0，
∵x1>x2>0，∴x1－x2>0，x1x2>0，
∴x1x2－a<0，∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)∴x1x2－a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，
确定函数单调性的四种方法(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法.
跟踪训练1　(1)函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是
f(x)＝ln(4＋3x－x2)的定义域为(－1,4).
(2)函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是_____.
画出f(x)的大致图象(如图所示)，由图知f(x)的单调递减区间是[1,2].
例3　(2022·成都模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f(ln )，b＝f( )，c＝f( )，则a，b，c的大小关系是A.c命题点1　比较函数值的大小
∵对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，∴此时函数在区间(－∞，0)上单调递减，∵f(x)是偶函数，∴当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增，又f(x)＝在x∈(0，＋∞)上单调递增，∴1< < ，
∴ln < < ，
∴ > >f(ln )，
命题点2　求函数的最值
例4　(2022·深圳模拟)函数y＝的最大值为____.
则h(t)在[2，＋∞)上为增函数，
例5　已知函数f(x)＝ x－lg2(x＋2)，若f(a－2)>3，则a的取值范围是______.
f(x)在定义域(－2，＋∞)上是减函数，且f(－1)＝3，由f(a－2)>3，得f(a－2)>f(－1)，
命题点4　求参数的取值范围
例6　函数f(x)＝且满足对任意的实数x1≠x2都有 >0成立，则实数a的取值范围是A.[4,8) B.(4,8)C.(1,8] D.(1,8)
解得4≤a<8，所以实数a的取值范围为[4,8).
1.(2022·嘉峪关模拟)函数f(x)＝ln(x2－ax－3)在(1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是A.(－∞，－2] B.(－∞，－2)C.(－∞，2] D.(－∞，2)
函数f(x)＝ln(x2－ax－3)为复合函数，令u(x)＝x2－ax－3，y＝ln u为增函数，
2.对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝lg2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是____.
方法一　在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分.易知点A(2,1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1.
当02时，h(x)＝3－x单调递减，因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.
(1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)求解函数不等式，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
跟踪训练2　(1)(2022·天津静海区模拟)已知函数f(x)＝e|x|，记a＝f(lg23)，b＝f ，c＝f(2.11.2)，则a，b，c的大小关系为A.a函数f(x)＝e|x|，其定义域为R，且f(－x)＝e|－x|＝e|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝ex，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵2＝lg24>lg23>lg22＝1，02.11＝2.1>2，∴2.11.2>lg23>lg32>0，∴f(2.11.2)>f(lg23)>f(lg32)，
∵函数在(a，a＋1)上单调递增，∴a＋1≤2或a≥4，∴a≤1或a≥4.
(3)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递减，则不等式f(2x－1)>f(x＋1)的解集为_____.
依题意f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递减，所以f(2x－1)>f(x＋1)⇔(2x－1)2<(x＋1)2，即4x2－4x＋1KESHIJINGLIAN
1.下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是A.y＝－x B.y＝x2－xC.y＝ln x－x D.y＝ex
2.若函数f(x)＝，则f(x)的值域为A.(－∞，3] B.(2,3)C.(2,3] D.[3，＋∞)
∵x2≥0，∴x2＋1≥1，
∴f(x)∈(2,3].
3.(2022·贵阳模拟)已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数，若f(1)＝－2，则满足－2≤f(x－2)≤2的x的取值范围是A.[－2,2] B.[－1,1]C.[1,3] D.[0,4]
因为f(x)为奇函数，若f(1)＝－2，则f(－1)＝2，所以不等式－2≤f(x－2)≤2可化为f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，所以－1≤x－2≤1，解得1≤x≤3.
4.(2022·南通模拟)已知函数f(x)＝若a＝50.01，b＝lg32，c＝lg20.9，则有A.f(a)>f(b)>f(c)B.f(b)>f(a)>f(c)C.f(a)>f(c)>f(b)D.f(c)>f(a)>f(b)
y＝ex是增函数，y＝e－x是减函数，因此在(0，＋∞)上y＝ex－e－x单调递增，且此时f(x)>0.f(x)＝－x2在x≤0时单调递增，所以f(x)在R上单调递增.c＝lg20.9<0，b＝lg32，所以01，即a>b>c，所以f(a)>f(b)>f(c).
5.(多选)已知函数f(x)＝x－ (a≠0)，下列说法正确的是A.当a>0时，f(x)在定义域上单调递增B.当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)C.当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)D.当a>0时，f(x)的值域为R
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).∵f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，故A错误；又x→－∞时，f(x)→－∞，x→0－时，f(x)→＋∞，∴f(x)的值域为R，故D正确；
由其图象(图略)可知，B，C正确.
6.(多选)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是A.f(x)在R上为增函数B.f(e)>f(2)C.若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0D.当x∈[－1,1]时，f(x)的值域为[1,2]
易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，A错误，B正确；若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≥0或a＋1≤0，即a≤－1或a≥0，故C正确；当x∈[－1,0]时，f(x)∈[1,2]，当x∈(0,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故x∈[－1,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故D不正确.
7.函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为_________________，单调递减区间为_________________.
(－∞，－1]和[0,1]
(－1,0)和(1，＋∞)
画出函数的图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为(－1,0)和(1，＋∞).
8.(2022·山东师大附中质检)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是_________.
当x≥a时，f(x)单调递增，当x9.已知函数f(x)＝ax－ (a>0)，且f(x)在(0,1]上的最大值为g(a)，求g(a)的最小值.
∴f(x)在(0,1]上单调递增，
∴g(a)的最小值为2.
10.已知函数f(x)＝a－ .(1)求f(0)；
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；
f(x)在R上单调递增．证明如下：∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1∴0< < ，∴ － <0, ＋1>0, ＋1>0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(ax)画出函数M＝max{2x,2x－3,6－x}的图象(如图)，由图可知，函数M在A(2,4)处取得最小值22＝6－2＝4，故M的最小值为4.
11.定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设M＝max{2x,2x－3,6－x}，则M的最小值是A.2 B.3 C.4 D.6
12.如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 函数y＝的值域为________，则与y是“同域函数”的一个解析式为_________________________________________________________________________.
y＝2x－3，x∈[1,2] 或y＝sin(2πx)，
x∈[1,2]或y＝3x－1－2，x∈[1,2](答案不唯一)
所以x≥1且x≤2，所以函数的定义域为[1,2].
所以f(x)∈[－1,1]，所以函数的值域为[－1,1].只要满足定义域为[1,2]，且值域为[－1,1]的函数均符合题意，例如y＝sin(2πx)，x∈[1,2]或y＝2x－3，x∈[1,2]或y＝3x－1－2，x∈[1,2].
定义域为{x|x≠－2a}，
14.(2022·沧州模拟)设函数f(x)＝x3－sin x＋x，则满足f(x)＋f(1－2x)<0的x的取值范围是__________.
f(x)＝x3－sin x＋x，∵f(－x)＝(－x)3－sin(－x)＋(－x)＝－(x3－sin x＋x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，又f′(x)＝3x2－cs x＋1≥0，∴f(x)为R上的增函数，∴f(x)＋f(1－2x)<0可化为f(x)<－f(1－2x)＝f(2x－1)，∴x<2x－1，即x>1，∴满足f(x)＋f(1－2x)<0的x的取值范围是(1，＋∞).
15.(2022·厦门模拟)函数g(x)＝ax＋2(a>0)，f(x)＝x2－2x，对∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)成立，则a的取值范围是
若对∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)成立，只需函数y＝g(x)的值域为函数y＝f(x)的值域的子集即可.函数f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[－1,2]的值域为[－1,3].当a>0时，g(x)＝ax＋2单调递增，可得其值域为[2－a,2＋2a]，要使[2－a,2＋2a]⊆[－1,3]，
16.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，且当x>0时，f(x)>－1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数；
令x＝y＝0，得f(0)＝－1.在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，所以f(x1－x2)>－1.又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以函数f(x)在R上是增函数.