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§1.5 基本不等式的综合应用 课件-2025高考数学一轮复习
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这是一份§1.5 基本不等式的综合应用 课件-2025高考数学一轮复习，共60页。PPT课件主要包含了所以单套利润为，课时精练，又a0b0，－∞9，因为x0y0等内容，欢迎下载使用。
1.会求与基本不等式有关的恒成立问题.2.理解基本不等式在实际问题中的应用.3.掌握基本不等式在其他知识中的应用.
例1 (1)已知x>0，y>0，且 ＝1，若2x＋y
若2x＋y9或m<－1，即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).
由题意可得a≤f(x)min，
a≤f(x)min＝5，所以实数a的取值范围为(－∞，5].
∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a；∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a.
跟踪训练1 (1)对任意的x∈(－∞，0)，x2－mx＋1>0恒成立，则m的取值范围为A.{m|－22}C.{m|m>－2} D.{m|m≤－2}
因为对任意的x∈(－∞，0)，x2－mx＋1>0恒成立，即mx
∵a2＋b2＝k，∴a2＋(b2＋1)＝k＋1，
又k>0，解得0
题型二 基本不等式的实际应用
(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？
每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，
总利润为5×(100－52)＝240(万元).所以能获得的总利润为240万元.
(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？
因为15－0.1x>0，所以0
利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.
跟踪训练2 第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为40元.
(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入 (x2 － 600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
依题意知，当x>25时，
∴a≥10.2.∴当该商品改革后的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.
题型三 基本不等式与其他知识交汇的最值问题
由A，E，D三点共线可得x＋4y＝1，且x>0，y>0，
基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题.
一、单项选择题1.已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上，则MF1·MF2的最大值为A.13 B.12 C.9 D.4
因为MF1＋MF2＝6，
当且仅当MF1＝MF2＝3时，等号成立，所以MF1·MF2的最大值为9.
2.若圆柱的上、下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为A.4π B.8π C.12π D.16π
3.(2023·齐齐哈尔模拟)已知圆(x－1)2＋(y－2)2＝4关于直线ax＋by－2＝0(a>0，b>0)对称，则ab的最大值为
由题知，圆心(1,2)在直线ax＋by－2＝0上，∴a＋2b＝2，
4.(2023·杭州模拟)已知2a＝3,3b＝4，ac＝b，则a，b，c的大小关系为A.c>a>b B.b>a>cC.a>c>b D.a>b>c
由题可知，a＝lg23，b＝lg34，易知a，b∈(1，＋∞).
所以c＝lgabb>c.
5.已知正实数x，y满足2x＋3y－xy＝0，若3x＋2y≥t恒成立，则实数t的取值范围是A.(－∞，25] B.(－∞，25)C.(－∞，24] D.[24，＋∞)
由正实数x，y满足 2x＋3y－xy＝0，
故实数t的取值范围是(－∞，25].
故函数f(x)的图象关于点(0,1)对称，
所以f(x)为减函数，因为f(2a)＋f(b－2)＝2，所以2a＋b－2＝0，即2a＋b＝2.
二、多项选择题7.已知正实数x，y满足x＋y＝4，则下列选项正确的是A.ex＋ey的最小值为2e2B.lg x＋lg y的最大值为lg 4C.x2＋y2的最小值为8D.x(y＋4)的最大值为16
故lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 4，当且仅当x＝y＝2时取等号，故B正确；x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝16－2xy≥8，当且仅当x＝y＝2时取等号，故C正确；由正实数x，y满足x＋y＝4，得y＝4－x，x∈(0,4)，故x(y＋4)＝x(8－x)＝－(x－4)2＋16∈(0,16)，故D错误.
8.若a>1，b>1，且ab＝e2，则A.2e≤a＋b
三、填空题9.若直线ax＋y＝0与直线2x＋by－1＝0平行，其中a，b均为正数，则a＋2b的最小值为________.
由两直线平行可得ab＝2，因为a，b均为正数，
当且仅当a＝2，b＝1时，等号成立.故a＋2b的最小值为4.
10.(2024·淮北模拟)已知正数x，y满足x＋y＝1，若不等式 >m对任意正数x，y恒成立，则实数m的取值范围为___________.
所以实数m的取值范围为(－∞，9).
函数f(x)＝ax2＋2x＋b的值域为[0，＋∞)，令ax2＋2x＋b＝0，
又a>b，所以a－b>0，
12.已知A＝{x|ax2＋bx＋c≤0(aa>0，Δ＝b2－4ac＝0，所以b>a>0，b2＝4ac.
四、解答题13.设函数f(x)＝4x－a·2x＋b，且f(0)＝0，f(1)＝2.(1)求a，b的值；
由题意得，f(0)＝1－a＋b＝0，f(1)＝4－2a＋b＝2，解得a＝1，b＝0.
(2)若∃x∈(－∞，3]，使得f(x)2x＋3·2－x－1. 故原问题等价于∃x∈(－∞，3]，使得m>2x＋3·2－x－1成立.则当x∈(－∞，3]时，m>(2x＋3·2－x－1)min，设h(x)＝2x＋3·2－x－1，x∈(－∞，3]，令t＝2x，则t∈(0,8]，
14.受芯片制约的影响，中国自主创新的爆发力被激发.某企业原有500名技术人员，年人均投入a万元(a>0)，现为加大对研发工作的投入，该企业做出适当调整，把原有技术人员分成维护人员和研发人员，其中维护人员x名(x∈N*)，调整后研发人员的年人均投入增加2x%，维护人员的年人均投入调整为 万元.(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少？
调整后研发人员的年人均投入为(1＋2x%)a万元，则(500－x)(1＋2x%)a≥500a(a>0)，整理得0.02x2－9x≤0，解得0≤x≤450，又因为x∈N*，所以要使这(500－x)名研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，调整后的研发人员的人数最少为50.
(2)若对任意100≤x≤200(x∈N*)，均有以下两条成立：①调整后研发人员的年总投入不低于维护人员的年总投入；②调整后维护人员的年人均投入不少于调整前500名技术人员年人均投入.求实数m的取值范围.
即x＝100时等号成立，所以m≤19，因为100≤x≤200，x∈N*，
所以m≥15，所以15≤m≤19，即实数m的取值范围为[15,19].
1.会求与基本不等式有关的恒成立问题.2.理解基本不等式在实际问题中的应用.3.掌握基本不等式在其他知识中的应用.
例1 (1)已知x>0，y>0，且 ＝1，若2x＋y
若2x＋y
由题意可得a≤f(x)min，
a≤f(x)min＝5，所以实数a的取值范围为(－∞，5].
∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a；∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a.
跟踪训练1 (1)对任意的x∈(－∞，0)，x2－mx＋1>0恒成立，则m的取值范围为A.{m|－2
因为对任意的x∈(－∞，0)，x2－mx＋1>0恒成立，即mx
∵a2＋b2＝k，∴a2＋(b2＋1)＝k＋1，
又k>0，解得0
题型二 基本不等式的实际应用
(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？
每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，
总利润为5×(100－52)＝240(万元).所以能获得的总利润为240万元.
(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？
因为15－0.1x>0，所以0
利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.
跟踪训练2 第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为40元.
(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入 (x2 － 600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
依题意知，当x>25时，
∴a≥10.2.∴当该商品改革后的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.
题型三 基本不等式与其他知识交汇的最值问题
由A，E，D三点共线可得x＋4y＝1，且x>0，y>0，
基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题.
一、单项选择题1.已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上，则MF1·MF2的最大值为A.13 B.12 C.9 D.4
因为MF1＋MF2＝6，
当且仅当MF1＝MF2＝3时，等号成立，所以MF1·MF2的最大值为9.
2.若圆柱的上、下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为A.4π B.8π C.12π D.16π
3.(2023·齐齐哈尔模拟)已知圆(x－1)2＋(y－2)2＝4关于直线ax＋by－2＝0(a>0，b>0)对称，则ab的最大值为
由题知，圆心(1,2)在直线ax＋by－2＝0上，∴a＋2b＝2，
4.(2023·杭州模拟)已知2a＝3,3b＝4，ac＝b，则a，b，c的大小关系为A.c>a>b B.b>a>cC.a>c>b D.a>b>c
由题可知，a＝lg23，b＝lg34，易知a，b∈(1，＋∞).
所以c＝lgab
5.已知正实数x，y满足2x＋3y－xy＝0，若3x＋2y≥t恒成立，则实数t的取值范围是A.(－∞，25] B.(－∞，25)C.(－∞，24] D.[24，＋∞)
由正实数x，y满足 2x＋3y－xy＝0，
故实数t的取值范围是(－∞，25].
故函数f(x)的图象关于点(0,1)对称，
所以f(x)为减函数，因为f(2a)＋f(b－2)＝2，所以2a＋b－2＝0，即2a＋b＝2.
二、多项选择题7.已知正实数x，y满足x＋y＝4，则下列选项正确的是A.ex＋ey的最小值为2e2B.lg x＋lg y的最大值为lg 4C.x2＋y2的最小值为8D.x(y＋4)的最大值为16
故lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 4，当且仅当x＝y＝2时取等号，故B正确；x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝16－2xy≥8，当且仅当x＝y＝2时取等号，故C正确；由正实数x，y满足x＋y＝4，得y＝4－x，x∈(0,4)，故x(y＋4)＝x(8－x)＝－(x－4)2＋16∈(0,16)，故D错误.
8.若a>1，b>1，且ab＝e2，则A.2e≤a＋b
三、填空题9.若直线ax＋y＝0与直线2x＋by－1＝0平行，其中a，b均为正数，则a＋2b的最小值为________.
由两直线平行可得ab＝2，因为a，b均为正数，
当且仅当a＝2，b＝1时，等号成立.故a＋2b的最小值为4.
10.(2024·淮北模拟)已知正数x，y满足x＋y＝1，若不等式 >m对任意正数x，y恒成立，则实数m的取值范围为___________.
所以实数m的取值范围为(－∞，9).
函数f(x)＝ax2＋2x＋b的值域为[0，＋∞)，令ax2＋2x＋b＝0，
又a>b，所以a－b>0，
12.已知A＝{x|ax2＋bx＋c≤0(a
四、解答题13.设函数f(x)＝4x－a·2x＋b，且f(0)＝0，f(1)＝2.(1)求a，b的值；
由题意得，f(0)＝1－a＋b＝0，f(1)＝4－2a＋b＝2，解得a＝1，b＝0.
(2)若∃x∈(－∞，3]，使得f(x)
14.受芯片制约的影响，中国自主创新的爆发力被激发.某企业原有500名技术人员，年人均投入a万元(a>0)，现为加大对研发工作的投入，该企业做出适当调整，把原有技术人员分成维护人员和研发人员，其中维护人员x名(x∈N*)，调整后研发人员的年人均投入增加2x%，维护人员的年人均投入调整为 万元.(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少？
调整后研发人员的年人均投入为(1＋2x%)a万元，则(500－x)(1＋2x%)a≥500a(a>0)，整理得0.02x2－9x≤0，解得0≤x≤450，又因为x∈N*，所以要使这(500－x)名研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，调整后的研发人员的人数最少为50.
(2)若对任意100≤x≤200(x∈N*)，均有以下两条成立：①调整后研发人员的年总投入不低于维护人员的年总投入；②调整后维护人员的年人均投入不少于调整前500名技术人员年人均投入.求实数m的取值范围.
即x＝100时等号成立，所以m≤19，因为100≤x≤200，x∈N*，
所以m≥15，所以15≤m≤19，即实数m的取值范围为[15,19].
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