2023版考前三个月冲刺专题练　第10练　零点问题课件PPT

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这是一份2023版考前三个月冲刺专题练　第10练　零点问题课件PPT，共33页。PPT课件主要包含了规律方法等内容，欢迎下载使用。

考情分析在近几年的高考中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以指数函数、对数函数以及三角函数为载体考查函数的零点(方程的根)问题，难度较大，多以压轴题出现.
一、判断零点个数问题 (2019·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝sin x－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数.证明：
设g(x)＝f′(x)，
则当x∈(－1，α)时，g′(x)>0；
(2)f(x)有且仅有2个零点.
f(x)的定义域为(－1，＋∞).①当x∈(－1,0]时，由(1)知，f′(x)在(－1,0)上单调递增，而f′(0)＝0，所以当x∈(－1,0)时，f′(x)<0，故f(x)在(－1,0)上单调递减，又f(0)＝0，从而x＝0是f(x)在(－1,0]上的唯一零点.
且当x∈(0，β)时，f′(x)>0；
④当x∈(π，＋∞)时，ln(x＋1)>1，所以f(x)<0，从而f(x)在(π，＋∞)上没有零点.综上，f(x)有且仅有2个零点.
利用导数研究函数的零点(1)如果函数中没有参数，一阶导数求出函数的极值点，判断极值点大于0、小于0的情况，进而判断函数零点个数.(2)如果函数中含有参数，往往一阶导数的正负不好判断，先对参数进行分类，再判断导数的符号，如果分类也不好判断，那么需要二次求导，判断二阶导数的正负时，也可能需要分类.
(2022·浙江精诚联盟联考)已知函数f(x)＝ex－asin x，g(x)＝ln(x＋1)－asin x.
因为f(x)＝ex－asin x，所以f′(x)＝ex－acs x，
所以h(x)min＝h(0)＝1，所以a≤1.故实数a的取值范围是(－∞，1].
(2)若不等式f(x)≥cs x在(－1，＋∞)上恒成立，判断函数g(x)在(－1,1)上的零点个数，并说明理由.
设F(x)＝f(x)－cs x＝ex－asin x－cs x，易知F(0)＝0，因为不等式F(x)≥0在(－1，＋∞)上恒成立，所以0是函数F(x)的极值点，因为F′(x)＝ex－acs x＋sin x，所以F′(0)＝1－a＝0，解得a＝1.所以g(x)＝ln(x＋1)－sin x，因为g(0)＝0，故0是函数g(x)的一个零点.
所以g′(x)在(－1,0)上单调递减，由于g′(x)≥g′(0)＝0，所以g(x)在(－1,0)上单调递增，所以g(x)②当x∈(0,1)时，
所以存在唯一x0∈(0,1)，使得u′(x0)＝0，
所以当x∈(0,1)时，g′(x)<0，所以函数g(x)在(0,1)上单调递减，g(x)二、由零点个数求参数范围 (2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ax－－(a＋1)ln x.(1)当a＝0时，求f(x)的最大值；
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝－1.
(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围.
当a＝0时，由(1)可知，f(x)不存在零点；
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝a－1<0，所以f(x)不存在零点；
当a＝1时，f′(x)≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(1)＝a－1＝0，所以函数f(x)恰有一个零点；
因为f(1)＝a－1>0，
综上，若f(x)恰有一个零点，则a的取值范围为(0，＋∞).
已知零点个数求参数范围时(1)根据区间上零点的个数估计函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件.(2)也可以先求导，通过求导分析函数的单调性，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导，层层推理得解.
(2022·烟台模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax＋a(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性；
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
(2)若f(x)在(1，＋∞)上有零点x0，①求a的取值范围；
注意到，f(1)＝ln 1－a＋a＝0，由(1)知，当a≤0时，f(x)在[1，＋∞)上单调递增，对任意x∈(1，＋∞)，恒有f(x)>f(1)＝0，不符合题意；
所以对任意x∈(1，＋∞)，恒有f(x)又当x→＋∞时，f(x)→－∞，
综上所述，a的取值范围为(0,1).
由①知，当0又g(1)＝0，所以g(x)>0在(1，＋∞)上恒成立，
即证(ln x0)2