2022-2023学年湖南省娄底市新化县五校联盟高二上学期期末联考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖南省娄底市新化县五校联盟高二上学期期末联考数学试题

一、单选题

1．已知向量，则它们的位置关系是（    ）

A．∥，∥ B．，

C．，∥ D．∥，

【答案】D

【分析】由向量坐标运算即可判断共线和垂直.

【详解】由题可知：得，

故选：D.

2．在三棱柱中，是的中点，是的中点，且，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据向量加法的多边形法则可得， 从而可求α，β，

【详解】根据向量加法的多边形法则以及已知可得，

∴α=，β=﹣1，

故选A．

【点睛】本题主要考查了平面向量加法的三角形法则及多边形法则的应用，解题的关键是要善于利用题目中正三棱柱的性质，把所求的向量用基本向量表示．

3．已知的三个顶点是，，，则边上的高所在的直线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求出边上的高所在的直线的斜率，再利用点斜式方程可得答案.

【详解】因为，所以边上的高所在的直线的斜率为，

所以边上的高所在的直线方程为，

即.

故选：B.

4．已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设再表达出的坐标代入圆方程化简即可.

【详解】设，则满足.故 .故.

又点在圆上.故.

故选:C

【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法，属于基础题型.

5．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ）

A．13 B．12 C．9 D．6

【答案】C

【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．

【详解】由题，，则，

所以（当且仅当时，等号成立）．

故选：C．

【点睛】6．已知双曲线C：，，分别是双曲线的左､右焦点，是双曲线右支上一点连接交双曲线左支于点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用双曲线的定义结合余弦定理可以建立关于，的齐次方程，即可求出离心率

【详解】设，则，，，，因为，所以，故，

在中，由余弦定理可知，整理得，即，所以.

故选：B

7．设数列的通项公式为，则（     ）

A．153 B．210 C．135 D．120

【答案】A

【分析】根据数列的通项公式，判断数列为等差数列，并求得数列的前3项均小于，从第4项起均大于，对所求式子去掉绝对值，利用等差数列前项和，求得式子值.

【详解】因为，所以数列是均小于，均大于的等差数列，

所以

.选A.

【点睛】本题考查数列中的基本量法求数列的前项和，解题的关键在于判断各项的正负.

8．已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】Sn•，①n为奇数时，Sn•，根据单调性可得：Sn≤2；②n为偶数时，Sn•，根据单调性可得：≤Sn．可得Sn的最大值与最小值分别为：2，．考虑到函数y＝3t在（0，+∞）上单调递增，即可得出．

【详解】Sn•，

①n为奇数时，Sn•，可知：Sn单调递减，且•，∴Sn≤S1＝2；

②n为偶数时，Sn•，可知：Sn单调递增，且•，∴S2≤Sn．

∴Sn的最大值与最小值分别为：2，．

考虑到函数y＝3t在（0，+∞）上单调递增，

∴A．

B．

∴B﹣A的最小值．

故选B．

【点睛】本题考查了等比数列的求和公式及数列单调性的判断和应用问题，考查了恒成立问题的转化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

9．已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，，则下列结论中错误的是（    ）

A． B．

C．是平面ABCD的法向量 D．

【答案】D

【分析】根据题意，结合线面位置关系的向量判断方法，一一判断即可.

【详解】因为，所以，故A正确；

因为，所以，故B正确；

由A，B知，C正确；

与不平行，故D错误．

故选：D.

二、多选题

10．若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】讨论直线过原点时和直线不过原点时，分别求出对应的直线方程即可．

【详解】当直线经过原点时，斜率为，所求的直线方程为y=2x，即；

当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y=k，把点A（1，2）代入可得1-2=k，或1+2=k，

求得k=-1，或k=3，故所求的直线方程为，或；

综上知，所求的直线方程为、，或．

故选：ABC．

【点睛】本题考查了利用分类讨论思想求直线方程的问题，是基础题．

11．已知双曲线的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则有

A．渐近线方程为 B．渐近线方程为

C． D．

【答案】BC

【分析】由离心率公式化简可得渐近线方程，通过求圆心A到渐近线的距离结合直角三角形可得到的值.

【详解】双曲线离心率为

故渐近线方程为，

取MN的中点P,连接AP,利用点到直线的距离公式可得,

则，

所以则

故选BC

【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，考查双曲线的渐近线和离心率的应用，考查圆的有关性质，属于中档题.

12．已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，则（    ）

A． B．

C．的值是中最大的 D．使成立的最大正整数数的值为198

【答案】ABD

【分析】根据题目所给已知条件，结合等比数列的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】∵，∴，∴.

∵，∴，

又，∴.故A正确.

由A选项的分析可知，，∴，∴，，故B正确，C不正确.

∴，

，

∴使成立的最大正整数数的值为198，故D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．如图，在空间四边形中，若，，，则____.

【答案】

【分析】由向量的运算法则即得

【详解】因为，，，

所以，

故答案为：

14．已知圆C:，当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是_________.

【答案】1

【详解】解：圆C：（x﹣2）2+（y+m﹣4）2＝1表示圆心为C（﹣2，﹣m+4），半径R＝1的圆，

求得|OC|，

∴m＝4时，|OC|的最小值为2

故当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是﹣R＝2﹣1＝1，

故答案为1．

15．抛物线的焦点为，其准线与相交于A，两点，若为等边三角形，则___________.

【答案】

【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，求出AB的长，根据为等边三角形，得到关于p的方程，即可求得答案.

【详解】抛物线的焦点为，其准线为，

将与联立，得，解得，

则 ，

由于为等边三角形，故，

即，解得 ，

故答案为：6

16．如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为________．

【答案】

【详解】由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到个正方形，则有，∴，∴最小正方形的边长为，故答案为.

四、解答题

17．设是各项均为正数的等比数列，且，．

Ⅰ求的通项公式；

Ⅱ．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【分析】Ⅰ首项利用已知条件求出数列的通项公式;Ⅱ利用Ⅰ的结论，进一步对数关系式的变换求出数列的和．

【详解】Ⅰ设首项为，公比为q的各项均为正数的等比等列，

且，．

则：，

解得：，负值舍去，

所以：，

则：．

（Ⅱ）由于：，

所以：．

，

，

，

．

【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，对数关系式的应用，等差数列的前n项和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

18．设公比为正数的等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ，数列 满足 .

(1)求数列 和 的通项公式；

(2)是否存在，使得 是数列 中的项？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)，.

(2)存在， 或

【分析】（1）设的公比为 ，利用等比数列的通项公式以及前n项和公式，列方程组，求得公比和首项，即得；根据即可求得；

（2）结合（1）可得的表达式，进行变形化简为，由题意设 是数列 中的第项，则 ，分类讨论t的取值，可求得答案.

【详解】（1）设的公比为 ，又 ,，

则 ，解得 或 （舍），

所以 ， ，

，

即数列 的通项公式为 ，

数列 的通项公式为.

（2） ，

由于，令 ，， ，

所以 ，

设 是数列 中的第项，则 ，

则 为小于等于的整数，t为2的约数，所以 ，

当或时， ，不合题意；

当 或 时， ，与题意相符.

所以当 或 时，

即或 时，是数列 中的项.

19．如图，在三棱柱 中，底面，，，， 为的中点， 为侧棱 上的动点．

(1)求证：平面平面；

(2)试判断直线 与是否能够垂直．若能垂直，求的长；若不能垂直，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)不能垂直，理由见解析

【分析】（1）利用，推出平面，即可证明面面垂直；

（2）建系，写出的坐标，设，利用直线与能垂直，数量积为零，求出，，不能垂直.

【详解】（1）因为在三棱柱 中，底面，，，， 为的中点， 为侧棱 上的动点．

所以 ，，

因为，平面

所以平面，

因为平面，

所以平面平面．

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

 ，，，

设，

则，

若直线与能垂直，则，

解得，

因为，

所以直线与不能垂直．

20．已知圆心坐标为（2，1）的圆C与y轴相切.

(1)求圆C的方程；

(2)设直线与圆C交于A，B两点，从条件①，条件②中选择一个作为已知，求m的值.

条件①；条件②：.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意得出圆心和半径，即可得圆的方程；（2）对于①②均可根据垂径定理分析得圆心到直线的距离为1，结合点到直线的距离公式运算求解.

【详解】（1）由题意可得：圆C的圆心坐标为，半径为，

故圆C的方程为.

（2）若选①：圆心C到直线的距离，

则，解得.

若选②：圆心C到直线的距离，

则，解得.

21．已知椭圆经过点，离心率为，动点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求以为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；

(3)设是椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点，证明线段的长为定值，并求出这个定值.

【答案】(1)

(2)

(3)证明见解析，

【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量，可得出椭圆的方程；

（2）确定所求圆的圆心坐标与半径，利用勾股定理求出圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式可得出关于的方程，由求出的值，即可得出所求圆的方程；

（3）设，由可得出，再由可求得的值，再利用平面内两点间的距离公式可求得的值，即可证得结论成立.

【详解】（1）解：由题意得，①

因为椭圆经过点，所以，②

又，③

由①②③解得，，所以椭圆方程为.

（2）解：以为直径的圆的圆心为，半径，

故以为直径的圆的方程为，

因为以为直径的圆被直线截得的弦长为 ，

所以圆心到直线的距离.

由点到直线的距离公式可得，，解得，

因此，所求圆的方程为 .

（3）证明：设，则，，，，

因为，则，所以，，

又因为，则，

所以，，所以，为定值.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

22．已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为 ， 为椭圆的右焦点.

(1)求椭圆 的方程；

(2)已知点 ， 是椭圆上的点，求 的最小值；

(3)点 是以长轴为直径的圆 上一点，圆 在点 处的切线交直线 于点 ，求证：过点 且垂直于 的直线 过定点.

【答案】(1)

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）由长轴长得，再由离心率得，然后求出得椭圆方程；

（2）用三角换元法，设，，由数量积的坐标运算把数量积表示为的三角函数形式，利用三角函数的性质、二次函数性质可得最小值；

（3）设 ，，则 ，由圆切线性质得出，按和分类讨论得出直线的方程，根据刚才和关系式可得直线所过定点坐标．

【详解】（1）由题意得 解得 ，，

所以 ，则椭圆 的方程为 .

（2）由 是椭圆 上的动点，

可设 ，，

则 ，，

所以

,

因为 ，

所以当 时， 取得最小值，最小值为 ，

（3）由题意知，圆 的方程为 ，

设 ，，则 ，

由 ，得 ，

即 ，

即 ，

因为 ，所以 ，

当 时，，直线 的方程为 ，直线 过椭圆的右焦点 ，

当 时，直线 的方程为 ，

即 ，即 ，

直线 过椭圆的右焦点 ，

综上所述，直线 过椭圆 的右焦点 .

【点睛】方法点睛：直线过定点问题，一般设出动点坐标（或其他参数），由动点坐标（参数）表示出动直线方程，再结合动点坐标（参数）满足的性质观察直线方程得出定点坐标．