2022-2023学年湖南省娄底市新化县高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年湖南省娄底市新化县高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知直线的倾斜角是，则此直线的斜率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解.

【详解】因为直线的倾斜角是，

所以此直线的斜率是.

故选:C.

2．对于空间向量，，若，则实数（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】根据，知它们的坐标对应成比例，求出实数的值.

【详解】因为，所以，即，所以.

故选：D.

【点睛】本题主要考查的是空间向量的平行或共线的坐标运算，是基础题.

3．在等差数列中，，，则公差（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】B

【分析】利用等差数列通项公式的性质解出即可

【详解】在等差数列中，，

所以

故选：B.

4．双曲线 ​的左、右焦点分别为​点​位于其左支上，则​（    ）

A．​ B．​ C．​ D．​

【答案】D

【分析】根据双曲线的定义求解即可.

【详解】由题意得，，，所以 .

故选：D.

5．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据空间向量基本定理，用表示出即可.

【详解】由题意，因为为与的交点，所以也为与的中点，

因此.

故选：D.

6．“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”最先出自《易经》，太极是可以无限二分的，“分阴分阳，迭用柔刚”，经过三次二分形成八卦，六次二分形成六十四卦．设经过n次二分形成卦，则（    ）

A．120 B．122 C．124 D．128

【答案】A

【解析】可根据等比数列的前项和公式计算（或直接计算和）．

【详解】依题意可得是首项为2，公比为2的等比数列，

则．

故选：A．

7．已知，，，设曲线在处的切线斜率为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据导数几何意义可得，利用导数可求得在上单调递减；根据大小关系可得结论.

【详解】当时，，，，

，在上单调递减；

，即，.

故选：C.

8．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用椭圆的离心率可得，分析可知为圆的一条直径，利用勾股定理得出，再利用基本不等式可得出面积的最大值.

【详解】因为，所以，，所以，蒙日圆的方程为，

由已知条件可得，则为圆的一条直径，则，

所以，，当且仅当时，等号成立.

故选：A.

二、多选题

9．下列有关数列的说法正确的是（    ）

A．数列-2023,0,4与数列4,0,-2023是同一个数列

B．数列的通项公式为,则110是该数列的第10项

C．在数列中,第8个数是

D．数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为

【答案】BCD

【分析】根据数列概念即可得选项A正误;利用数列的通项公式等于110,计算出结果,即可得选项B的正误;根据数列的规律,即可得选项C、D的正误.

【详解】解:因为数列-2023,0,4的首项是-2023,而数列4,0,-2023的首项是4,

所以两个数列不是同一个,故选项A错误;

当时,解得:或(舍),

即110是该数列的第10项,故选项B正确;

因为数列可写为:,

所以第8个数是,故选项C正确;

因为

所以可以看做数列的一个通项公式,故选项D正确.

故选：BCD

10．两平行直线和间的距离为， 若直线的方程为， 则直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】设出直线的方程，由两平行线间距离公式列出方程，求出，得到直线方程.

【详解】设直线的方程为，由两平行线间距离公式可知：

，解得：或，

当时，直线的方程为，即，

当时，直线的方程为，即，

故直线的方程为或.

故选：BC

11．广大青年要从现在做起，从自己做起，勤学、修德、明辨、笃实，使社会主义核心观成为自己的基本遵循，并身体力行大力将其推广到全社会去，努力在实现中国梦的伟大实践中创造自己的精彩人生．若“青年函数”的导函数为，则（    ）

A． B． C．存在零点 D．无零点

【答案】ABD

【分析】由题可求函数的导数，根据导数与函数单调性的关系结合条件逐项分析即得.

【详解】∵，

∴恒成立，

∴在时单调递增，

∴，故A项正确；

∵，

∴，故B项正确；

∵，

∴，

又∵恒成立，

∴在上单调递增，

∴，

∴在上也单调递增，

∴，

故不存在零点，故C项错误，D项正确．

故选：ABD．

12．在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是（    ）

A．若点在平面内，则必存在实数，使得

B．直线与所成角的余弦值为

C．点到直线的距离为

D．存在实数、使得

【答案】BCD

【分析】根据空间向量共面定理，异面直线夹角和点到直线距离的求解方法，以及线面平行的判定定理，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：若三点共线，则不存在实数，使得，故A错误；

对B：取的中点为，连接，如下所示：

在三角形中，分别为的中点，故可得//，

在三角形中，分别为的中点，故可得//，

则//，故直线所成的角即为或其补角；

在三角形中，，

，

由余弦定理可得：，

即直线与所成角的余弦值为，故B正确；

对C：连接如下图所示：

在三角形中，，

，，

故点到直线的距离即为三角形中边上的高，设其为，

则.故C正确；

对D：记的中点为，连接，如下所示：

由B选项所证，//，又面面，故//面；

易知//，又面面，故//面，

又面，故平面//面，

又面，故可得//面，

故存在实数、使得，D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中四点共面、线面平行、线线角，以及点到直线距离的求解，处理问题的关键是准确把握本题中向量的表达形式，属综合基础题.

三、填空题

13．若直线：与直线：垂直,则______.

【答案】

【分析】根据两直线垂直的条件,列出等式,求出即可.

【详解】解:因为直线与直线垂直,所以,解得.

故答案为:

14．已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数a的值为______.

【答案】##

【分析】根据题意结合双曲线的几何性质得到，再解方程即可.

【详解】因为双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，

所以，解得.

故答案为：

15．在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln，则通项公式an=_____.

【答案】2+ln n

【分析】利用累加法求得数列的通项公式.

【详解】解析：∵an+1=an+ln，

∴a2-a1=ln=ln 2，

a3-a2=ln=ln，

a4-a3=ln=ln，

……

an-an-1=ln=ln.

以上(n-1)个等式相加，得an-a1=ln 2+ln+…+ln=ln n.

∵a1=2，∴an=2+ln n.

∵a1=2+ln 1=2，

∴{an}的通项公式为2+ln n.

答案：2+ln n.

16．已知函数,则不等式的解集为______．

【答案】

【分析】先分析的奇偶性,再对函数进行求导,判断单调性,根据单调性列出不等式,解出即可.

【详解】解:由题意可知,函数的定义域为,

且,

所以函数为偶函数,

当时,

因为不恒为零,所以函数在上为增函数,

因为,只需,

即,可得,

整理可得,解得.

故答案为:

【点睛】方法点睛:该题考查函数与导数的综合问题,属于难题,关于解不等式的方法有:

(1)根据函数解析式判断函数的奇偶性;

(2)求导或者直接观察法判断函数在上的单调性;

(3)根据单调性奇偶性,列出不等式解出.

四、解答题

17．已知直线的方程为

(1)若与直线平行，求的值；

(2)若在轴，轴上的截距相等，求的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据两直线平行得到方程和不等式，求出的值；

（2）分与两种情况，求出与轴，轴的交点坐标，列出方程，求出，从而得到直线的方程.

【详解】（1）因为与直线平行，

所以且，

解得：.

（2）当时，：，不满足题意.

当时，与轴，轴的交点分别为，

因为在轴，轴上的截距相等，所以，解得.

故的方程为或.

18．在平面直角坐标系中，曲线上的动点到点的距离是到点的距离的倍．

(1)求曲线的轨迹方程；

(2)若，求过点且与曲线相切的直线的方程．

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）设，根据已知条件列方程，化简求得曲线的轨迹方程；

（2）设出直线的方程，根据圆心到直线的距离等于半径列方程，求得直线的斜率，进而求得直线的方程.

【详解】（1）设，由题意得，两边平方并整理得，

故曲线的轨迹方程为；

（2）曲线：是以为圆心，半径为的圆.

显然直线的斜率存在，设直线的方程为，

即，所以，解得，

所以直线的方程为或，

即或.

19．如图所示的几何体中，平面，是的中点．

(1)求证：；

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出向量，由证得结论；

（2）求出平面BDM和平面BDA的法向量，利用向量夹角公式求二面角的余弦值．

【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，并设，

则，

所以，从而得；

（2）设是平面的法向量，则由及，

得，令，则，则．

显然，为平面的法向量．

设二面角的平面角为，由图可知为锐角，

则此二面角的余弦值为．

20．数列{}为正项等比数列，且已知.

(1)求数列{}的通项公式；

(2)在数列{}中的与两项之间插入m个实数，，，…，.得，，，……，，数列{}，要使得等差数列{}的公差d不大于2，当m取得最小值时，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用基本量表示即得；

（2）利用通项公式和求和公式即得.

【详解】（1）设等比数列{}的公比为），

因为，

解得或（舍去）

数列{}的通项公式.

（2）由（1）可知，

所以等差数列{}的首项，

即，

因为，所以，故.

所以等差数列{}共19项，

.

21．设抛物线上的点与焦点的距离为6，且点到x轴的距离为．

（1）求抛物线的方程；

（2）设抛物线的准线与x轴的交点为点，过焦点的直线与抛物线交于两点，证明：．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【分析】（1）求出点的坐标，利用抛物线的定义列方程可得，进而得出抛物线的方程；

（2）设出直线，与抛物线联立，消元写出韦达定理，利用直线斜率公式代入化简，可得，即为的角平分线，命题得证．

【详解】（1）由点到轴的距离为得：，

将代入得：，

由抛物线的定义得，，

由已知，，

所以，

所以抛物线的方程为；

（2）由得，

由题意知与抛物线交于两点，

可设直线的方程为，，，

联立方程，得，

所以，，，

所以

，

所以，

则

所以为的角平分线，

由角平分线的性质定理，得．

22．已知函数．

(1)若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数a的值；

(2)设，若函数在区间当为严格递减函数时，求实数a的取值范围；

(3)对于（2）中的函数，若函数有两个极值点为，且不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用导数的几何意义求过点的直线方程，结合直线过，即可求得的值；

（2）由函数在区间上单调递减，可知其导数恒成立，分离参数，求解函数的最大值即可；

（3）依题意可知有两个不相等的实数根，结合韦达定理，可将问题转化为恒成立问题，进而利用导数求的最大值即可.

【详解】（1）由得,

所以过点切线的斜率为 ,

因为切线过点,所以 ,

解得：.

（2）由得，

依题意对区间上的任意实数恒成立，

即对区间上的任意实数恒成立，

易得在区间单调递减，

在上单调递增，，，

所以在上的最大值为，

所以，实数a的取值范围为

（3）

依题意：在上有两个不同的根，

即在上有两个不同的根,

所以，可得，

由于不等式，

可得

又

.

令,

所以，又,

所以，即在区间上严格递减，

所以,

所以.

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．