2021-2022学年河南省洛阳五十九中学高二上学期10月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年河南省洛阳五十九中学高二上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．在等差数列{an}中，若S10=120，则a1+a10的值是（    ）

A．12 B．24

C．36 D．48

【答案】B

【分析】直接利用等差数的求和公式求解即可

【详解】由S10=，

得a1+a10=，

故选：B

2．在中，，，，则最短边的长等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题可得，因，可知最短边为b，后由正弦定理可得答案.

【详解】由题可得，因，结合大角对大边，可知最短边为b.

由正弦定理有：.

故选：A

3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A = ，a =，b = 1，则c =（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【解析】方法一：可根据余弦定理直接求，但要注意边一定大于0；

方法二：可根据正弦定理求出，进而求出，要注意判断角的范围.

【详解】解法一：（余弦定理）由得：

，，或（舍.

解法二：（正弦定理）由，得：，

，

，，从而，

，.

故选：D

4．在等比数列中, ,是方程的两个根,则等于

A． B．

C． D．以上皆不是

【答案】C

【分析】依题意可得，，所以，则，故选C

【详解】请在此输入详解！

【点睛】请在此输入点睛！

5．的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知结合等比数列定义，利用表示，再利用余弦定理求即可.

【详解】因为a、b、c成等比数列，

所以b2＝ac，又c＝2a，

得，即，

由余弦定理，得cos B＝＝.

故选：A.

6．设是公比为正数的等比数列，若，则数列的前7项的和为

A．63 B．64 C．127 D．128

【答案】C

【详解】由及是公比为正数的等比数列，得公比q=2，

所以．

7．在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知c＝2，C＝，△ABC的面积S△ABC＝，则△ABC的周长为

A．6 B．5 C．4 D．4＋2

【答案】A

【详解】在△ABC中，∵△ABC的面积S△ABC==ab⋅sinC=ab⋅

∴ab=4.

再由余弦定理c2=4=a2+b2−2ab⋅cosC=a2+b2−4，

∴a2+b2=8，

∴a+b==4，

故△ABC的周长为a+b+c=4+2=6，

故选A.

8．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】C

【详解】，故选C.

9．等比数列的各项都为正数，且，则等于（    ）

A．12 B．10 C．8 D．30

【答案】B

【分析】先根据等比中项的性质求出，再利用对数加法和等比中项的性质即可求出答案.

【详解】等比数列的各项都为正数，

，

，

，

.

故选：B

10．甲船在湖中岛的正南处，，甲船以的速度向正北方向航行，同时乙船自岛出发，以的速度向北偏东方向驶去，则行驶分钟时，两船的距离是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别计算出AD，BC．在△ABC中，由余弦定理可得AC；在△ACD中，由余弦定理即可得出DC．

【详解】解：如图所示．15minh．

设甲、乙两船行驶h分别到D、C点．

∴AD8＝2km．BC12＝3km．

∵∠EBC＝60°，∴∠ABC＝120°．

∵AB＝BC＝3，

∴∠A＝∠ACB＝30°．

在△ABC中，由余弦定理可得：

AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcos∠ABC＝32+32﹣2×3×3cos120°＝27，

∴AC＝3．

在△ACD中，由余弦定理可得：DC2＝AD2+AC2﹣2AD•ACcos∠DAC

＝4+27﹣2cos30°＝13．

∴DC．

故选B．

【解析】解三角形的应用

11．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值不能确定的是 (　　)

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】等比数列中，，，不能确定

故选：D

12．已知数列满足，，则

A．2 B． C． D．-3

【答案】B

【分析】写出数列的前5项，即可得出数列是以4为周期的数列，．

【详解】解：因为，所以由已知可得，，，

.可以判断出数列是以4为周期的数列，故.

故选B

【点睛】本题考查周期数列，属于基础题．

二、填空题

13．在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为___．

【答案】216

【详解】试题分析：设插入的三个数分别为a，b，c，由题设条件知

a1=，a5=，设公比为q，∴ =，∴q=±，

∴a=·=4，b=4×=6，c=6×=9，abc=216，

同理a=，q=－时，abc=216．

故答案为216．

【解析】本题考查主要等比数列的性质和应用．

点评：解题时要认真审题，注意等比数列通项公式的合理运用．

14．在数列中，已知前项和，则数列的通项公式______.

【答案】

【分析】根据与的递推关系和等比数列的定义即可求出通项

【详解】令得，解得，

当时，，

整理得，

所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，

所以，.

故答案为：

15．在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cosC＝，则BC＝________．

【答案】4或5

【详解】由余弦定理：，，，即，解得，或，故答案为或.

【思路点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

16．等差数列｛an｝中，Sn是它的前n项之和，且S6＜S7，S7＞S8，则①此数列的公差d＜0；②S9一定小于S6；③a7是各项中最大的一项；④S7一定是Sn中的最大值．其中正确的是______________（填入你认为正确的所有序号）

【答案】①②④

【详解】【解析】等差数列的性质．

分析：由已知可得a7＞0，a8＜0；①d=a8-a7＜0，②S9-S6=a7+a8+a9=3a8＜0，③由于d＜0，所以a1最大，④结合d＜0，a7＞0，a8＜0，可得S7最大；可得答案．

解答：解：由s6＜s7，S7＞S8可得S7-S6=a7＞0，S8-S7=a8＜0

所以a8-a7=d＜0①正确

②S9-S6=a7+a8+a9=3a8＜0，所以②正确

③由于d＜0，所以a1最大③错误

④由于a7＞0，a8＜0，s7最大，所以④正确

故答案为①②④

点评：本题主要考查了等差数列的性质，通过对等差数列性质的研究，培养学生探索、发现的求知精神，养成探索、总结的良好习惯．

三、解答题

17．已知数列的前项和，则

(1)求的值

(2)求的通项公式

【答案】(1)

(2)

【分析】由可得答案.

【详解】（1）由题.

（2）由题，.则，

当时，.

又时，.则的通项公式为.

18．在中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若bcos C＝（2a－c）cos B，

(1)求∠B的大小；

(2)若b＝，a＋c＝4，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知，根据正弦定理可对条件进行边角转化，进而结合 ∠B的范围求解；

（2）由第（1）问∠B，结合b＝，a＋c＝4，借助余弦定理可以求解出ac，然后带入面积公式即可完成求解.

【详解】（1）由已知及正弦定理可得sin Bcos C＝2sin Acos B－cos Bsin C，

∴ 2sin Acos B＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin（B＋C）．

又在三角形ABC中，sin（B＋C）＝sin A，

因为，所以sin A≠0，

∴ 2sin Acos B＝sin A，即cos B＝，

因为，B＝．

（2）∵ b2＝7＝a2＋c2－2accos B，∴ 7＝a2＋c2－ac，

又 （a＋c）2＝16＝a2＋c2＋2ac，∴ ac＝3，

∴，

即.

19．已知数列是公比为正数的等比数列，且，

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意结合等比数列的通项公式列式求解，即可得结果；

（2）根据题意求得，再结合分组求和运算求解.

【详解】（1）设等比数列的公比为，

∵，，则，解得或（舍去），

∴.

（2）由题意可得：，

∵

，

故数列的前项和.

20．在等差数列中，，数列满足，且.

(1)数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设数列公差为d，又由，，可知，据此可得答案；

（2）由（1）可知，，后由错位相减法可得答案.

【详解】（1）设数列公差为d，又，

则，

则，故.

故数列的通项公式为：

（2）由（1）可知，，则，

故，

，

两式相减得

，则.

故数列的前项和为：

21．一缉私艇发现在北偏东方向，距离12nmile的海面上有一走私船正以的速度沿东偏南方向逃窜缉私艇的速度为，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东的方向去追，求追击所需的时间和角的正弦值．

【答案】所需时间2小时，

【分析】由图A，C分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过 x小时后在B处追上，则有 ，，从而在中利用余弦定理可求追击所需的时间，进一步可求角的正弦值．

【详解】解：设A，C分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过 x小时后在B处追上，

则有 ，，．

，

，，，

．

所以所需时间2小时，

【点睛】本题考查正余弦定理在实际问题中的运用，关键是构建三角形，寻找边角关系，属于基础题．

22．已知等比数列的首项为，公比满足且.又已知，，成等差数列.

(1)求数列的通项；

(2)令，求证：对于任意，都有.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据条件求得首项和公比，再用通项公式求解；

（2）由（1）和求得，再用裂项相消法求解证明．

【详解】（1）解：，，.

，，. .

（2）证明：，所以，

，

因为单调递增，所以.