2021-2022学年河南省驻马店市新蔡县第一高级中学高二上学期10月半月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年河南省驻马店市新蔡县第一高级中学高二上学期10月半月考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．终边相同的角是相等的角
B．终边在第二象限的角是钝角
C．若角的终边在第一象限，则的终边也一定在第一象限
D．终边落在坐标轴上的所有角可表示为
【答案】D
【分析】根据角的定义及终边所在的象限逐一判断选项的正误即可.
【详解】终边相同的角有无数个，比如，与角终边相同的角为，故不一定相等，选项A错误；
终边在第二象限的角可能是，（是钝角），故不一定是钝角，即选项B错误；
若角的终边在第一象限，如，则的终边在第二象限，故选项C错误；
终边落在坐标轴上的角为以及与它们终边相同的所有角，故可表示为，选项D正确.
故选：D.
2．要得到函数的图象，可将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
【答案】D
【分析】先将转化为，由此根据三角函数图像变换的知识判断出正确选项.
【详解】，，因为，所以需要将的图象向右平移个单位.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.
3．设a>0，b>0，若是与的等比中项，则的最小值为（ ）
A．8B．4C．1D．
【答案】B
【分析】根据等比中项性质可得，再利用基本不等式即可求出.
【详解】是与的等比中项，，，
a>0，b>0，，
当且仅当，即等号成立，
所以的最小值为4.
故选：B.
4．已知函数的部分图象如图所示，则关于函数下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．在区间上是增函数
D．将的图象向右平移个单位长度可以得到的图象
【答案】C
【分析】先将代入可求出，由可得，由可求得，得出解析式，即可依次判断各个选项正误.
【详解】将代入，则，，，
即，
，则，解得，
由图可得，即，又，则可得，，
，
，则的图象不关于直线对称，故A错误；
，的图象不关于点对称，故B错误；
时，，可得单调递增，故C正确；
将的图象向右平移个单位长度可以得到，故D错误.
故选：C.
【点睛】方法点睛：根据三角函数部分图象求解析式的方法：
（1）根据图象的最值可求出；
（2）求出函数的周期，利用求出；
（3）取点代入函数可求得.
5．已知，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；
【详解】解：因为，所以
故选：C
6．在等差数列中，，满足不等式的解集为，则数列的前11项和等于（ ）
A．66B．132C．-66D．-132
【答案】D
【解析】根据不等式的解可得对应方程的根，从而可得，从而可求等差数列的前11项和.
【详解】因为不等式的解集为，
故为的两个根，所以，
所以等差数列的前11项和为，
故选：D.
【点睛】方法点睛：一元二次不等式的解的端点是对应方程的根，也是对应的二次函数与轴交点的横坐标，解题中注意利用这个关系.
7．已知等差数列的前n项和为，，，则当取得最小值时，n的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】由等差数列的性质和前项和公式，求得，，进而得到当时，，当时，，即可求解.
【详解】由等差数列的性质和前项和公式，
可得，所以，
，所以，
则等差数列中满足，，可得，
数列为递增数列，且当时，，当时，，
所以当取得最小值时，n的值为.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的性质和求和公式，得到数列的单调性是解答是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
8．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最大的一份为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，可得，，求出，根据等差数列的通项公式，得到关于关系式，即可求出结论.
【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，
依题意可得，，
，
，
解得，
.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列的前项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键.
9．已知，关于的一元二次不等式的解集为（ ）
A．，或B．
C．，或D．
【答案】B
【分析】由于，可将不等式转化为，即可求得不等式的解集.
【详解】由于，依题意可化为，故不等式的解集为.
故选：B
【点睛】本题考查含参数二次不等式的解法，属于基础题.
10．若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【解析】采用分离参数将问题转化为“对一切恒成立”，再利用基本不等式求解出的最小值，由此求解出的取值范围.
【详解】因为不等式对于一切恒成立，
所以对一切恒成立，
所以，
又因为在上单调递减，所以，
所以，所以的最小值为，
故选：C.
【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值，涉及不等式在给定区间上的恒成立问题，难度一般.不等式在给定区间上恒成立求解参数范围的两种方法：参变分离法、分类讨论法.
11．若，且，则下列不等式中，恒成立的是
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：，所以A错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B错；同时C错；或都是正数，根据基本不等式求最值，，故D正确．
【解析】不等式的性质
12．若满足条件当且仅当时，取最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】画出可行域，根据目标函数的几何意义结合图形分类讨论求解.
【详解】作出可行域如下，
目标函数可转化为，
所以当直线的纵截距最大时，有最小值，
直线的斜率为，直线的斜率为，
所以当时，因为当且仅当时，取最小值，
所以，
当时，目标函数在时，有最大值，取最小值，
当时，因为当且仅当时，取最小值，
所以，
综上，
故选:C.
二、填空题
13．已知等差数列的前n项和分别为Sn，Tn，若，则__________.
【答案】
【分析】根据等差数列的奇数项的前n项和可以写成最中间一项的n倍，可把要求的两个数列的第五项之比写成两个数列的前9项之和的比值，再代入数值运算即可.
【详解】解：∵等差数列的前n项和分别为Sn，Tn，
∵，
∴，
故答案为：.
14．若变量x，y满足约束条件，则的最大值为__________．
【答案】
【分析】首先由约束条件画出可行域，,最大，观察直线在y轴上的截距即可.
【详解】作出约束条件对应的可行域，如图阴影部分，
变动直线，当直线过可行域上的点A时z最大，
由，解得，即
所以.
故答案为:
【点睛】关键点点睛：线性规划问题，要求准确画出可行域，如何判断目标函数取最值，特别注意目标函数对应直线的斜率与边界直线的斜率的大小关系，属于中档题.
15．已知，且满足，则的最小值为__________.
【答案】4
【分析】由指数的运算得出，再由结合二次函数的性质得出最值.
【详解】由可得，即
故答案为：
16．若数列{an}是正项数列，且＝n2＋n，则a1＋＋…＋＝________．
【答案】2n2＋2n
【解析】先根据递推式求出数列{an}的通项公式，则数列的通项公式也可求得，再利用等差数列的求和公式求和即可.
【详解】当n＝1时，＝2⇒a1＝4，又＋＋…＋＝n2＋n ①，
所以当n≥2时，＋＋…＋＝(n－1)2＋(n－1)＝n2－n ②，
①－②得＝2n，即an＝4n2，
又a1＝4符合an＝4n2，
所以an＝4n2，
所以＝＝4n，
所以a1＋＋…＋＝＝2n2＋2n.
故答案为：2n2＋2n.
【点睛】本题考查递推式求通项公式，考查等差数列的求和公式，是基础题.
三、解答题
17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角C；（2）若，，求的周长.
【答案】（1）（2）
【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.
试题解析：（1）由已知可得
（2）
又
，
的周长为
【解析】正余弦定理解三角形.
18．若变量满足约束条件，求：
（1） 的最大值；
（2） 的取值范围；
（3） 的取值范围．
【答案】（1）5；（2）；（3）．
【分析】作出可行域，求得三点的坐标，(1)中，根据直线的几何意义，即可求解目标函数的最大值； (2) 中，转化为点与取的斜率的范围，即可求解；(3)中，转化为
与距离的平方，即可求解.
【详解】作出可行域，如图阴影部分所示．

由 即
由 即
由 即
(1)如图可知 ，在点处取得最优解，；
(2) ，可看作与取的斜率的范围，
在点，处取得最优解，，
所以
(3)
可看作与距离的平方，如图可知
所以
在点处取得最大值，
所以
【点睛】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如 .求这类目标函数的最值常将函数 转化为直线的斜截式： ，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如 ；（3）斜率型：形如.
19．在各项均不相等的等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前n项和．
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）设数列的公差为d，由，，成等比数列，列式解得（舍去）或，进而得；再由数列的前n项和，得，且，进而得；
（2）由（1）得，利用分组求数列的前n项和即可.
【详解】（1）设数列的公差为d，则，，∵，，成等比数列，
，即，
整理得，解得（舍去）或，.
当时，，
当时，．
验：当时，满足上式，∴数列的通项公式为．
（2）由（1）得，，
.
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，也考查了数列的分组求和的方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
20．已知关于x的方程．
(1)当a为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？
(2)当a为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？
(3)当a为何值时，方程的两个根都大于0？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据方程根的分布，可得不等式，求得答案;
（2）根据方程根的分布，可得不等式组，求得答案;
（3）根据方程根的分布，可得不等式组，求得答案;
【详解】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线，
故方程的一个根大于1，另一个根小于1，
则，解得，所以a的取值范围是．
（2）方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3，
作满足题意的二次函数的大致图象，
由图知， ，
解得．所以a的取值范围是．
（3）方程的两个根都大于0，
则 ，解得，所以a的取值范围是．
21．已知锐角面积为，、、所对边分别是、、， 且，求：
（1）的大小；
（2）周长的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)由已知条件，再借助三角形面积定理和余弦定理即可得解；
(2)利用正弦定理并结合(1)的结论，把，用角A表示出，借助三角恒等变形及三角函数性质即可得解.
【详解】（1）在中，，又，
于是得，由余弦定理得，
从而胆，即，
而是锐角三角形，则，
所以的大小为；
（2）在锐角中，，，则，，
由正弦定理得：，即，，
则，
而，即，
则当，即时，取最大值1，取得最大值为，此时，
所以周长的最大值为.
22．已知数列满足且.
（1）证明数列是等比数列；
（2）设数列满足，，求数列的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）根据题意可得，根据等比数列的定义，即可得证；
（2）由（1）可得，可得，利用累加法即可求得数列的通项公式.
【详解】（1）因为，所以，即，
所以是首项为1公比为3的等比数列
（2）由（1）可知，所以
因为，所以
……
，，
各式相加得：，
又，所以，
又当n=1时，满足上式，所以