2022-2023学年河南省洛阳市高二上学期期末考试理科数学试题（解析版）

洛阳市2022+2023学年第一学期期末考试

高二数学试卷（理）

本试卷共4页，共150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．

2．考试结束，将答题卡交回．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若直线经过点和，则直线l的倾斜角为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由斜率公式求出直线的斜率，利用倾斜角与斜率的关系求解.

【详解】设直线的斜率为，且倾斜角为，则，

则，而，故，

故选：D.

2. 已知数列，则6是这个数列的（）

A. 第6项 B. 第12项 C. 第18项 D. 第36项

【答案】C

【解析】

【分析】利用数列的通项公式求解.

【详解】数列的通项公式为，

令解得，

故选:C.

3. 若双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，且焦点在x轴上，则双曲线的标准方程为（）

A. 或 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据双曲线的性质求解.

【详解】由题可得解得，

所以双曲线的标准方程为.

故选:C.

4. 如图，线段AB，BD在平面内，，，且，则C，D两点间的距离为（）

A19 B. 17 C. 15 D. 13

【答案】D

【解析】

【分析】根据线面垂直的性质定理结合勾股定理求解.

【详解】

连接，因为，所以,

又因为，,所以，

所以,

故选:D.

5. “”是“曲线表示椭圆”的（）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据曲线表示椭圆，可求得t的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.

【详解】因为曲线为椭圆，

所以，解得且，

所以“”是“且”的必要而不充分条件.

故选：B

6. 设，向量，且，则（）

A.  B.  C. 3 D. 9

【答案】A

【解析】

【分析】由向量的关系列方程求解的值，结合向量的模的公式计算得出结果.

【详解】向量，且，

∴，解得，

∴

∴，

∴.

故选：A．

7. 如果实数x，y满足，则的取值范围是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】表示上的点与点连线的斜率,画出图形即可求解.

【详解】表示圆心为，半径为的圆，

表示上的点与点连线的斜率.

易知直线平行轴，且

当直线为圆的切线时，，,

故，此时直线的斜率为1，

由对称性及图形可得.

故选:A.

8. 设抛物线，点为上一点，过点作轴于点，若点，则的最小值为（）

A.  B.  C. 4 D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，由抛物线的定义可知，则，即可得解.

【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，由抛物线的定义可知，

所以，

当且仅当、、三点共线（在之间）时取等号.

故选：B

9. 某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛，牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，即，则大约为（）

（参考数据：）

A. 1429 B. 1472 C. 1519 D. 1571

【答案】B

【解析】

【分析】可以利用“每年存栏数的增长率为”和“每年年底卖出100头”建立与的关系，利用待定系数法证得是等比数列，从而求得，进而求得．

【详解】由题意，得，并且，

令，化成，

所以，解得，

所以，

所以是以为首项，为公比的等比数列，

则，

所以.

故选：B.

10. 过定点M的直线与过定点N的直线交于点A（A与M，N不重合），则面积的最大值为（）

A.  B.  C. 8 D. 16

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意分析可得点A在以为直径的圆上，结合圆的性质求面积的最大值.

【详解】对于直线，即，

可得直线过定点，

对于直线，即，

可得直线过定点，

∵，则直线与直线垂直，即，

∴点A在以为直径的圆上，且，

由圆的性质可知：面积的最大值为.

故选：C.

11. 已知数列满足，且，则数列的前18项和为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用数列的递推公式，结合累乘法，求得其通项公式，根据三角函数的计算，求得数列的周期，整理数列的通项公式，利用分组求和，可得答案.

【详解】由，则，

即，

显然，满足公式，即，

当时，；当时，；当时，；

当时，，当时，；当时，；

则数列是以为周期的数列，由，则，

设数列的前项和为，

.

故选：D.

12. 已知是双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，以为直径的圆与双曲线C的一个交点为A，以为直径的圆与双曲线C的一个交点为B，若，A，B恰好共线，则双曲线C的离心率为（）

A.  B.  C.  D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】设，在中，根据余弦定理可得，根据三角形面积公式可得，设,,则，从而可得，，代入，结合及离心率公式即可求解.

【详解】设，因为在双曲线上，故.

由余弦定理可得

，

所以.

所以

由题意可得与为直角三角形，所以.

因为是的中点，所以是的中点.

设,,则.

所以.

故

.

所以,解得，.

所以,可得，故.

故选：B.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 直线与直线之间的距离为_____________．

【答案】

【解析】

【分析】确定两直线是平行直线，故可根据平行线间的距离公式求得答案.

【详解】直线可化为，

则直线与直线平行

故直线与直线之间的距离为，

故答案为：.

14. 设、分别在正方体的棱、上，且，，则直线与所成角的余弦值为_____________．

【答案】

【解析】

【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成角的余弦值．

【详解】、分别在正方体的棱、上，且，，

如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，

设，则，，，，

，，

设直线与所成角为，

则直线与所成角的余弦值．

故答案为：．

15. 已知，是椭圆：（）的左，右焦点，A是椭圆的左顶点，点在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为______.

【答案】##0.5

【解析】

【分析】结合图像，得到，再在中，求得，，从而得到，代入直线可得到，由此可求得椭圆的离心率.

【详解】由题意知，直线的方程为：，

由为等腰三角形，，得，

过作垂直于轴，如图，则在中，，

故，，

所以，即，

代入直线，得，即，

所以所求的椭圆离心率为.

故答案为：.

.

16. 首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，现有下列4个命题：

①也是等差数列；

②数列也是等差数列；

③若，则时，最大；

④若的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列的项数是19．

其中所有真命题的序号是_____________．

【答案】②③④

【解析】

【分析】对①，由等差中项性质判断；

对②，求出数列的通项公式即可判断；

对③，由结合解析式化简得，由定义即可判断；

对④，设项数为，根据求和公式列方程组解得参数，即可判断.

【详解】设数列的公差为d，，首项为，则，，

对①，，∴不是等差数列，①错；

对②，，则数列为首项，公差为的等差数列，②对；

对③，∵，，∴，

，，

∴由定义可知，时，最大，③对；

对④，由题意可设的项数为，

则所有奇数项组成的数列为首项，公差，项数为的等差数列，故所有奇数项的和为，

所有偶数项组成的数列为首项，公差，项数为的等差数列，故所有偶数项的和为.

两式相除得，∴数列的项数是19，④对.

故答案为：②③④.

三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知是数列的前项和，且，，设．

（1）若是等比数列，求；

（2）若是等差数列，求的前项和，

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）由等比数列的通项公式的求法求解即可；

（2）由等差数列的通项公式的求法，结合公式法求数列的前项和即可．

【小问1详解】

解：已知是数列的前项和，且，，，

则，

又是等比数列，设公比为,则，即；

【小问2详解】

解：已知是等差数列，设公差为,

又，，则，

则，即，

则，

则，

则，

即的前项和．

18. 在平面直角坐标系中，已知圆M的圆心在直线上，且圆M与直线相切于点．

（1）求圆M方程；

（2）过的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．

【答案】（1）

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据已知得出点与直线垂直的直线方程，根据圆切线的性质得出该直线过圆心，与已知过圆心方程联立即可得出圆心坐标，根据圆心到切线的距离得出圆的半径，即可得出圆的方程；

（2）根据弦长得出点到直线l的距离，分类讨论直线l的斜率，设出方程，利用点到直线的距离列式，即可得出答案.

【小问1详解】

过点与直线垂直的直线方程为：，即

则直线过圆心，

解得，即圆心为，

则半径为，

则圆M的方程为：；

【小问2详解】

过的直线l被圆M截得的弦长为，

则点到直线l的距离，

若直线l的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线l的距离为1，不符合题意；

若直线l的斜率存在，设直线l的方程为：，

则，解得，

则直线l的方程为：或.

19. 如图，和所在平面垂直，且．

（1）求证：；

（2）若，求平面和平面的夹角的余弦值．

【答案】（1）见解析；

（2）.

【解析】

【分析】（1）取的中点，可得，根据可得，由线面垂直的判定定理及性质定理可证明；

（2）作于点,以点为原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系，求出两个平面的法向量即可求解.

【小问1详解】

取的中点，连接，

因为，所以.

因为为公共边，

所以，所以,所以.

因为平面，所以平面，

因平面,所以.

【小问2详解】

当,可设,

作于点,连接，易证两两垂直，

以点为原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系，

则,

设平面的法向量为，

,

所以，

令,可得，则.

易知平面，所以平面的法向量为，

设平面和平面的夹角为，

则,

故平面和平面的夹角的余弦值为.

20. 已知直线与抛物线交于A，B两点．

（1）若，直线的斜率为1，且过抛物线C的焦点，求线段AB的长；

（2）若交AB于，求p的值．

【答案】（1）8；（2）.

【解析】

【分析】（1）焦点为，直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，根据弦长公式即可求解；

（2）设直线的方程为，根据题意可得，且在直线上，从而可得直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理可得，代入即可求解.

【小问1详解】

若，则抛物线，焦点为，

故直线的方程为.

设，

联立，消去，可得，

，故.

故.

【小问2详解】

设直线的方程为，，

因为交AB于，所以，且，

所以，直线的方程为.

又在直线上，所以,解得.

所以直线的方程为.

由，消去，可得，

则.

因为，

所以，

即，解得.

21. 已知等比数列的前n项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据与的关系可得公比，由可求，再根据等比数列的通项公式即可求解；

（2），由错位相减法即可求解.

【小问1详解】

因为，

所以当时，，

两式相减得，即.

故等比数列的公比为3.

故，解得.

所以.

【小问2详解】

，

故①，

②，

①-②，得

，

所以.

22. 已知椭圆，离心率为，点在椭圆C上．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）记A是椭圆的左顶点，若直线l过点且与椭圆C交于M，N两点（M，N与A均不重合），设直线AM，AN的斜率分别是．试问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

【答案】（1）

（2）是，定值为，理由见解析

【解析】

【分析】（1）由待定系数法列方程组求解；

（2）直线l的斜率不为0，设为，结合韦达定理表示即可化简判断.

【小问1详解】

由题意得，，∴椭圆C的标准方程为；

【小问2详解】

由题意得，直线l的斜率不为0，设为，，，

联立直线与椭圆消x得，，则，

∴

.

故是定值，为.