河南省漯河市高级中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份河南省漯河市高级中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设数列的前n项和Sn=n2，则a8的值为（ ）
A. 15B. 16C. 49D. 64
【答案】A
【解析】
【分析】利用算出答案即可.
【详解】
故选：A
2. 在中，，且的面积为，则的长为（ ）．
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由三角形面积求得，再由余弦定理可求得．
【详解】由题意，∴，
由余弦定理是，．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形面积公式和余弦定理，正弦定理和余弦定理是解三角形的两个基本定理，根据条件选择相应的公式是解题的基础．
3. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由于，可得，再将化为，然后利用基本不等式可求出其最小值
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
故选：B
4. 已知命题，，若是的必要不充分条件，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件求出命题p所对集合，再利用集合的包含关系即可得解.
【详解】依题意，由得：或，则命题所对集合，而命题所对集合，
因是的必要不充分条件，于是得BA，即或，解得或，
所以的取值范围是.
故选：C
5. 已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆的右顶点，离心率为.过的直线上存在点，使得轴，且是等腰三角形，则直线的斜率为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
通过离心率可得，再利用几何关系可得，从而可得斜率.
【详解】根据题意可得，得，
由可得（因为显然为钝角）.
所以，又.
所以.
所以，
所以.
故选：C.
6. 设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A. α内有无数条直线与β平行
B. α内有两条相交直线与β平行
C. α，β平行于同一条直线
D α，β垂直于同一平面
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．
【详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．
【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．
7. 若对于正实数，，有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先通过分离参数以及齐次式计算将不等式变形为，由此结合基本不等式求解出的取值范围.
详解】由题意对任意，成立，
令，，则，
因为时，所以，且时取等，则.
故选：A.
8. 已知等比数列中，是其前项和，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由，解得，然后由求解.
【详解】在等比数列中，，
所以，即，
解得
所以，
故选：B
【点睛】本题主要考查等比数列通项公式和前n项和公式的基本运算，属于基础题,
9. 若函数的图象恒经过的定点在直线（，）上，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出的图象所过定点坐标代入直线方程得关系，然后由基本不等式求得最小值．
【详解】由题意，所以定点坐标为，
所以，即，
因为，
，当且仅当，即时等号成立，
故选：C．
10. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则B= ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：根据正弦定理可得,
由已知可得,整理可得,
,在中.故C正确.
考点：1正弦定理;2余弦定理.
11. 正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：如下图所示，连接，因为是正三角形，且为中点，则，又因为面，故，且，所以面，所以是三棱锥的高，所以．
考点：1、直线和平面垂直判断和性质；2、三棱锥体积．
12. 已知椭圆C:()的左右焦点分别为,如果C上存在一点Q,使,则椭圆的离心率的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
因为当Q 为椭圆上下顶点时最大，不妨让Q是椭圆上定点，则,则,即可求得离心率取值范围.
【详解】当Q是椭圆上下顶点时最大，
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴椭圆离心率取值范围为，
故选：D
【点睛】本题考查椭圆的几何性质以及标准方程，属中档难度题目.
二、填空题（每题5分，共20分）
13. 若“x∈[-，]，tanx【答案】.
【解析】
【分析】由题设知：[-,]都有为真命题，求在区间上的值域，即可确定m的最大值.
【详解】由题设，[-,]都有为真命题，此时，，
∴.
故答案为：.
14. 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________．
【答案】144π
【解析】
【分析】易知当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球O的半径为R，列方程求解即可.
【详解】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大，
设球O半径为R，此时VO－ABC＝VC－AOB＝×R2×R＝R3＝36，
故R＝6，则球O的表面积为S＝4πR2＝144π.
故答案为144π.
【点睛】本题主要考查了三棱锥体积的求解,球的几何特征和面积公式，属于基础题.
15. 如图，为了测量某湿地，两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点，，．从点测得，从点测得，，从点测得．若测得，（单位：百米），则，两点的距离为 ____________.
【答案】3（百米）
【解析】
【分析】根据题意，在中，分析角边关系可得，在中，由正弦定理可得的值，然后在中，利用余弦定理可得答案．
【详解】根据题意，在中，，，，
则，则，
在中，，，，
则，
则有，变形可得，
在中，，，，
则，
则；
故答案为：3（百米）
16. 设数列{an}中，an+1+（）nan=2n，则数列{an}的前120项和等于________.
【答案】7260
【解析】
【分析】利用已知递推关系，求出数列中奇数项相邻两项的和，偶数项中相邻两项的和，然后分组并项求和可得．
【详解】由已知，，，，
所以，，,
．
故答案为：7260．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求角C的大小；
（2）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化为角可得，再进行恒等变换，即可得答案；
（2）利用余弦定理求出的值，即可得答案；
【小问1详解】
由正弦定理得：，代入，
∴，又，
∴，而，则，
∴，故.
【小问2详解】
由已知得：，又，则.
由已知及余弦定理，得，
∴，从而，即，又，
∴的周长为.
18. 已知关于的方程的解集至多有两个子集，，．若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】由二次方程的解的个数可得，设，又是的必要不充分条件，则，列不等式组可得或求解即可.
【详解】解：∵是的必要不充分条件，∴是的充分不必要条件，
对于，依题意，知，∴，
设，，
由题意知，∴，或，解得，
故实数 的取值范围是：．
【点睛】本题考查了充要条件与集合间的包含关系,利用集合的包含关系求解参数的范围,重点考查了集合思想,属中档题.
19. 如图所示，已知椭圆的两焦点为，P为椭圆上一点，且.
（1）求该椭圆的方程；
（2）若点P在第二象限，，求△的面积.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题设易得椭圆参数，写出椭圆方程即可.
（2）设，由题意可得，在△中由余弦定理可得，从而可求出，再利用三角形的面积公式可求得结果
【小问1详解】
由得：，又，
∴，则椭圆的方程为.
【小问2详解】
设， 由题设知：，
∴，
在△中， ，由余弦定理得，
∴，解得，
∴△的面积为.
20. 如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB平面ABC,为等边三角形，,且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.
(1)求证：VB//平面MOC；
(2)求三棱锥V-ABC的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【详解】试题分析：（1）要证明线面平行，就是要证线线平行，题中有中点，由中位线定理易得线线平行，注意得出线面平行结论时，必须把判定定理的条件写全；（2）要求三棱锥的体积，首先要确定高，本题中有面面垂直，由此易得与底面垂直，因此就是高，求出其长，及面积，可得体积．
试题解析：（1）证明：点O,M分别为 AB,VA的中点
又
(2)解：连接VO，则由题知VO平面ABC,VO为三棱锥V-ABC的高.
又
考点：线面平行的判断，体积．
21. 经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴.为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销.经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足(其中，a为正常数)．已知生产该产品还需投入成本万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为
元／件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．
(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【答案】(1)（）;(2)当时，促销费用投入1万元，厂家利润最大；当时，促销费用投入万元，厂家的利润最大.
【解析】
【详解】(1)由题意知，，
将代入化简得：（）.
(2)，
当且仅当时，上式取等号.
当时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
当时，在上单调递增，
所以时，函数有最大值，即促销费用投入万元时，厂家的利润最大.
综上，当时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；
当时，促销费用投入万元，厂家的利润最大.
22. 在等差数列和等比数列中，，，，且，，成等差数列，，，成等比数列．
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若对所有正整数恒成立，求常数的取值范围．
【答案】（1），
（2）常数的取值范围是
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．由题意，得，由此能求出数列、的通项公式．
（2）由知，然后可得，然后判断出右边对应数列的单调性即可．
【小问1详解】
设等差数列的公差为，等比数列的公比为．
由题意，得，解得．
，．
【小问2详解】
．
．
．
恒成立，即．
令，则，
所以单调递增．
故（1），
即常数的取值范围是．