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2023年甘肃省陇南市中考数学模拟试卷（含答案）
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这是一份2023年甘肃省陇南市中考数学模拟试卷（含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年甘肃省陇南市中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）﹣2023的倒数是（ ）
A． B． C．2023 D．﹣2023
2．（3分）若∠A＝130°，则它的补角的余角为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
3．（3分）不等式1﹣x≥x﹣1的解集是（ ）
A．x≥1 B．x≥﹣1 C．x≤1 D．x≤﹣1
4．（3分）一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝2
5．（3分）如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，DC的中点，EF＝1，则BD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（3分）根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是（ ）
A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比
B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50%
C．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20%
D．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108°
7．（3分）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是（ ）
A． B．2 C． D．4
8．（3分）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是（ ）
A．x+2x+4x＝34685 B．x+2x+3x＝34685
C．x+2x+2x＝34685 D．x+x+x＝34685
9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．20°
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）
11．（4分）a3•（﹣a）＝ ．
12．（4分）分解因式：b2+c2+2bc﹣a2＝ ．
13．（4分）如果一次函数y＝kx+b（k、b是常数）的图象不经过第二象限，那么k、b应满足的条件是 ．
14．（4分）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且O是BD的中点．若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为 ．
15．（4分）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是 .（结果保留π）
16．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使四边形ABCD是平行四边形．
17．（4分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 米．
18．（4分）如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝ ．
三、解答题（一）（本大题共5小题，共38分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：﹣2×+|1﹣|﹣（）﹣2
20．（6分）计算：．
21．（8分）（1）如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E，使AE+EP＝AC．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在图中，如果AC＝6cm，AP＝3cm，则△APE的周长是 cm．
22．（8分）如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，丙地位于乙地北偏东66°方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C，可抽象成图（2）所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长AB（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）．
23．（10分）文化是一种精神力量，能够在人们认识世界、改造世界的过程中转化为物质力量，对社会发展产生深刻的影响，我们中华民族拥有五千年的文化，也是目前为止唯一没有中断的世界文化，为了传承中国传统文化，2023年3月，以“寻根国学，传承文明”为主题的陇南市“国学少年强——国学知识挑战赛”总决赛拉开推幕，小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选择一道题目．
第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A1、A2、A3、A4表示）；
第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用B1、B2、B1表示）．
（1）请用画树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；
（2）求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．
四、解答题（二）（本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
24．（8分）中国飞人苏炳添以6秒47获得2019年国际田联伯明翰室内赛男子60米冠军，苏炳添夺冠掀起跑步热潮，某校为了解该校八年级男生的短跑水平，从全校八年级男生中随机抽取了部分男生，对他们的短跑水平进行测试，并将测试成绩（满分10分）绘制成如下不完整的统计图表：
组别
成绩/分
人数/人
A
5
36
B
6
32
C
7
15
D
8
8
E
9
5
F
10
m
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ ，n＝ ；
（2）所抽取的八年级男生短跑成绩的众数是 分，扇形统计图中E组的扇形圆心角的度数为 °；
（3）求所抽取的八年级男生短跑的平均成绩．
25．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴正半轴相交于点C，与反比例函数y＝﹣的图象在第二象限相交于点A（﹣1，m），过点A作AD⊥x轴，垂足为D，AD＝CD．
（1）求一次函数的表达式；
（2）已知点E（a，0）满足CE＝CA，求a的值．
26．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．
（1）求证：OP∥BC；
（2）过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D．如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O的直径．
27．（10分）问题探究：
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则△ABC的面积等于多少？
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在对角线AC上，且CP＝CB，则△PBC的面积等于多少？
问题解决：
（3）如图③，△ABC是一块商业用地，其中∠B＝90°，AB＝30m，BC＝40m，某开发商现准备再征一块地，把△ABC扩充为四边形ABCD，使∠D＝90°，是否存在面积最大的四边形ABCD？若存在，求出四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由．
28．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，2），抛物线的对称轴为直线，且OB＝2OC．连接BC，点D是线段OB上一点（不与点O、B重合），过点D作x轴的垂线，交BC于点M，交抛物线于点N．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段MN最大时，求点M的坐标；
（3）连接BN，以B、D、N为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请求出点N的坐标；若不能，请说明理由．
2023年甘肃省陇南市中考数学模拟试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）﹣2023的倒数是（ ）
A． B． C．2023 D．﹣2023
【解答】解：﹣2023的倒数是．
故选：B．
2．（3分）若∠A＝130°，则它的补角的余角为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【解答】解：∵∠A＝130°，
∴它的补角为180°﹣130°＝50°，
∴90°﹣50°＝40°．
故选：C．
3．（3分）不等式1﹣x≥x﹣1的解集是（ ）
A．x≥1 B．x≥﹣1 C．x≤1 D．x≤﹣1
【解答】解：1﹣x≥x﹣1，
﹣2x≥﹣2
∴x≤1．
故选：C．
4．（3分）一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝2
【解答】解：∵x2+2x+1＝0，
∴（x+1）2＝0，
则x+1＝0，
解得x1＝x2＝﹣1，
故选：C．
5．（3分）如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，DC的中点，EF＝1，则BD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵点E、F分别是AC、DC的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴EF＝AD，
∵EF＝1，
∴AD＝2，
∵CD是△ABC的中线，
∴BD＝AD＝2，
故选：B．
6．（3分）根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是（ ）
A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比
B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50%
C．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20%
D．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108°
【解答】解：A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比，此选项正确；
B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50%，此选项正确；
C．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占30%，此选项错误；
D．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是360°×（1﹣40%﹣20%﹣10%）＝108°，此选项正确；
故选：C．
7．（3分）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是（ ）
A． B．2 C． D．4
【解答】解：设正方形ADOF的边长为x，
由题意得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，
∴BC＝BE+CE＝BD+CF＝10，
在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，
即（6+x）2+（x+4）2＝102，
整理得，x2+10x﹣24＝0，
解得：x＝2，或x＝﹣12（舍去），
∴x＝2，
即正方形ADOF的边长是2；
故选：B．
8．（3分）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是（ ）
A．x+2x+4x＝34685 B．x+2x+3x＝34685
C．x+2x+2x＝34685 D．x+x+x＝34685
【解答】解：设他第一天读x个字，根据题意可得：x+2x+4x＝34685，
故选：A．
9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．20°
【解答】解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵∠BCD＝40°，
∴∠A＝∠BCD＝40°，
∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°．
故选：B．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：①当0≤x≤2时，
∵正方形的边长为2cm，
∴y＝S△APQ＝AQ•AP＝x2；
②当2＜x≤4时，
y＝S△APQ
＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D，
＝2×2﹣（4﹣x）2﹣×2×（x﹣2）﹣×2×（x﹣2）
＝﹣x2+2x
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合．
故选：A．
二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）
11．（4分）a3•（﹣a）＝ ﹣a4 ．
【解答】解：原式＝﹣a4，
故答案为：﹣a4．
12．（4分）分解因式：b2+c2+2bc﹣a2＝ （b+c+a）（b+c﹣a） ．
【解答】解：原式＝（b+c）2﹣a2＝（b+c+a）（b+c﹣a）．
故答案为：（b+c+a）（b+c﹣a）
13．（4分）如果一次函数y＝kx+b（k、b是常数）的图象不经过第二象限，那么k、b应满足的条件是 k＞0，b≤0 ．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k、b是常数）的图象不经过第二象限，
∴k＞0，b≤0，
故答案为：k＞0，b≤0．
14．（4分）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且O是BD的中点．若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为 24 ．
【解答】解：∵AB＝AD，点O是BD的中点，
∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，
∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AB＝5，BO＝BD＝4，
∴AO＝3，
∴AC＝2AO＝6，
∴四边形ABCD的面积＝×6×8＝24，
故答案为：24．
15．（4分）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是 π﹣1 .（结果保留π）
【解答】解：延长DC，CB交⊙O于J，K．则⊙O被分成5个部分，其中4个部分是全等图形，
∴图中阴影部分的面积＝（4π﹣4）＝π﹣1．
故答案为：π﹣1．
16．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 AD∥BC（答案不唯一） ，使四边形ABCD是平行四边形．
【解答】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AD∥BC．
故答案为：AD∥BC（答案不唯一）．
17．（4分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 10 米．
【解答】解：当y＝0时，y＝﹣x2+x+＝0，
解得，x＝﹣2（舍去），x＝10．
故答案为：10．
18．（4分）如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝ ．
【解答】解：连接CF，
∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝7，BE＝5，
∴GF＝GB＝5，BC＝7，
∴GC＝GB+BC＝5+7＝12，
∴＝13．
∵M、N分别是DC、DF的中点，
∴MN＝＝．
故答案为：．
三、解答题（一）（本大题共5小题，共38分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：﹣2×+|1﹣|﹣（）﹣2
【解答】解：原式＝﹣2×（﹣3）+﹣1﹣4
＝1+．
20．（6分）计算：．
【解答】解：
＝
＝
＝．
21．（8分）（1）如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E，使AE+EP＝AC．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在图中，如果AC＝6cm，AP＝3cm，则△APE的周长是 9 cm．
【解答】解：（1）如图，点E即为所求．
（2）∵MN垂直平分线段PC，
∴EP＝EC，
∴△APE的周长＝AP+AE+EP＝AP+AE+EC＝AP+AC＝3+6＝9（cm），
故答案为：9．
22．（8分）如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，丙地位于乙地北偏东66°方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C，可抽象成图（2）所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长AB（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝230km．
CD＝AC＝230km．
∵丙地位于乙地北偏东66°方向，
在Rt△BDC中，∠CBD＝24°，
∴BD＝＝（km）．
∴AB＝BD+AD＝230+（km）．
答：公路AB的长为（230+）km．
23．（10分）文化是一种精神力量，能够在人们认识世界、改造世界的过程中转化为物质力量，对社会发展产生深刻的影响，我们中华民族拥有五千年的文化，也是目前为止唯一没有中断的世界文化，为了传承中国传统文化，2023年3月，以“寻根国学，传承文明”为主题的陇南市“国学少年强——国学知识挑战赛”总决赛拉开推幕，小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选择一道题目．
第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A1、A2、A3、A4表示）；
第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用B1、B2、B1表示）．
（1）请用画树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；
（2）求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有12种等可能的结果；
（2）由（1）可知，共有12种等可能的结果，其中小明参加总决赛抽取题目都是成语题目的结果有2种，
∴小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率为＝．
四、解答题（二）（本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
24．（8分）中国飞人苏炳添以6秒47获得2019年国际田联伯明翰室内赛男子60米冠军，苏炳添夺冠掀起跑步热潮，某校为了解该校八年级男生的短跑水平，从全校八年级男生中随机抽取了部分男生，对他们的短跑水平进行测试，并将测试成绩（满分10分）绘制成如下不完整的统计图表：
组别
成绩/分
人数/人
A
5
36
B
6
32
C
7
15
D
8
8
E
9
5
F
10
m
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ 4 ，n＝ 15 ；
（2）所抽取的八年级男生短跑成绩的众数是 5 分，扇形统计图中E组的扇形圆心角的度数为 18 °；
（3）求所抽取的八年级男生短跑的平均成绩．
【解答】解：（1）∵B组的有32人，占32%，
∴被调查的人数为32÷32%＝100人，
∴m＝100﹣36﹣32﹣15﹣8﹣5＝4，
∴15÷100＝15%，
∴n＝15，
故答案为：4，15；
（2）成绩为5分的有36人，最多，
所以众数为5分；
5÷100×360°＝18°，
∴扇形统计图中E组的扇形圆心角的度数为18°，
故答案为：5，18；
（3）所抽取的八年级男生短跑的平均成绩为：＝6.26（分）．
25．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴正半轴相交于点C，与反比例函数y＝﹣的图象在第二象限相交于点A（﹣1，m），过点A作AD⊥x轴，垂足为D，AD＝CD．
（1）求一次函数的表达式；
（2）已知点E（a，0）满足CE＝CA，求a的值．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，m）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴﹣m＝﹣2，解得：m＝2，
∴A（﹣1，2），
∵AD⊥x轴，
∴AD＝2，OD＝1，
∴CD＝AD＝2，
∴OC＝CD﹣OD＝1，
∴C（1，0），
把点A（﹣1，2），C（1，0）代入y＝kx+b中，
，
解得，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+1；
（2）在Rt△ADC中，AC＝＝2，
∴AC＝CE＝2，
当点E在点C的左侧时，a＝1﹣2，
当点E在点C的右侧时，a＝1+2，
∴a的值为1±2．
26．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．
（1）求证：OP∥BC；
（2）过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D．如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O的直径．
【解答】（1）证明：∵A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．
∴＝
∴∠AOP＝∠COP，
∴∠AOP＝∠AOC，
又∵∠ABC＝∠AOC，
∴∠AOP＝∠ABC，
∴PO∥BC；
（2）解：连接PC，
∵CD为圆O的切线，
∴OC⊥CD，又AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠APO＝∠COP，
∵∠AOP＝∠COP，
∴∠APO＝∠AOP，
∴OA＝AP，
∵OA＝OP，
∴△APO为等边三角形，
∴∠AOP＝60°，
又∵OP∥BC，
∴∠OBC＝∠AOP＝60°，又OC＝OB，
∴△BCO为等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∴∠POC＝180°﹣（∠AOP+∠COB）＝60°，又OP＝OC，
∴△POC也为等边三角形，
∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC，
又∵∠OCD＝90°，
∴∠PCD＝30°，
在Rt△PCD中，PD＝PC，
又∵PC＝OP＝AB，
∴PD＝AB，
∴AB＝4PD＝4．
27．（10分）问题探究：
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则△ABC的面积等于多少？
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在对角线AC上，且CP＝CB，则△PBC的面积等于多少？
问题解决：
（3）如图③，△ABC是一块商业用地，其中∠B＝90°，AB＝30m，BC＝40m，某开发商现准备再征一块地，把△ABC扩充为四边形ABCD，使∠D＝90°，是否存在面积最大的四边形ABCD？若存在，求出四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图①，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝6，
∴BD＝CD＝BC＝3，
在Rt△ABD中，AB＝5，
∴AD＝＝＝4，
∴△ABC的面积＝BC•AD＝×6×4＝12；
（2）如图②，过点B作BM⊥AC于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝＝5，
∵S△ABC＝BC•AB＝AC•BM，
∴BM＝＝，
∵△PBC的面积＝CP•BM，CP＝CB，
∴△PBC的面积＝×4×＝；
（3）在△ABC中，∠B＝90°，AB＝30m，BC＝40m，
∴AC＝＝＝＝50（m），S△ABC＝AB•BC＝×40×30＝600（m2），
在△ACD中，∠D＝90°，设AD＝a，CD＝b，
∴AC2＝AD2+CD2，S△ACD＝ab，
∴a2+b2＝2500，
∵（b﹣a）2≥0，
∴a2+b2≥2ab，
∴ab≤，
∴ab≤，
即ab≤1250，
∵四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝600+ab，
∴四边形ABCD的最大面积＝600+×1250＝1225（m2）．
28．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，2），抛物线的对称轴为直线，且OB＝2OC．连接BC，点D是线段OB上一点（不与点O、B重合），过点D作x轴的垂线，交BC于点M，交抛物线于点N．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段MN最大时，求点M的坐标；
（3）连接BN，以B、D、N为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请求出点N的坐标；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）∵C（0，2），
∴OC＝2，
∵OB＝2OC，
∴OB＝4，
∴B（4，0），
∵抛物线的对称轴为直线，点A与点B关于直线对称，
∴A（1，0），
把A（1，0），B（4，0），C（0，2）分别代入y＝ax2+bx+c，
得：，
解得：，
∴该抛物线的表达式为y＝x2﹣x+2；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+d，把B（4，0），C（0，2）分别代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设D（t，0），且0＜t＜4，
则M（t，﹣t+2），N（t，t2﹣t+2），
∴MN＝﹣t+2﹣（t2﹣t+2）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，
∵﹣＜0，
∴当t＝2时，MN最大，最大值为2，
此时点M的坐标为（2，1）；
（3）以B、D、N为顶点的三角形不能够与△OBC相似．理由如下：
设D（n，0），且0＜n＜4，则N（n，n2﹣n+2），
又∵B（4，0），C（0，2），
∴BD＝4﹣n，DN＝|n2﹣n+2|，OB＝4，OC＝2，
当△BDN∽△BOC时，
∵∠BDN＝∠BOC＝90°，
∴＝，即＝，
解得：n＝0或n＝4，
∵0＜n＜4，
∴n＝0或n＝4均不符合题意，即△BDN∽△BOC不成立；
当△BDN∽△COB时，
∵∠BDN＝∠BOC＝90°，
∴＝，即＝，
解得：n＝4或n＝﹣3或n＝5，
∵0＜n＜4，
∴n＝4或n＝﹣3或n＝5均不符合题意，即△BDN∽△COB不成立；
综上所述，以B、D、N为顶点的三角形不能够与△OBC相似．
2023年甘肃省陇南市中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）﹣2023的倒数是（ ）
A． B． C．2023 D．﹣2023
2．（3分）若∠A＝130°，则它的补角的余角为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
3．（3分）不等式1﹣x≥x﹣1的解集是（ ）
A．x≥1 B．x≥﹣1 C．x≤1 D．x≤﹣1
4．（3分）一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝2
5．（3分）如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，DC的中点，EF＝1，则BD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（3分）根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是（ ）
A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比
B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50%
C．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20%
D．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108°
7．（3分）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是（ ）
A． B．2 C． D．4
8．（3分）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是（ ）
A．x+2x+4x＝34685 B．x+2x+3x＝34685
C．x+2x+2x＝34685 D．x+x+x＝34685
9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．20°
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）
11．（4分）a3•（﹣a）＝ ．
12．（4分）分解因式：b2+c2+2bc﹣a2＝ ．
13．（4分）如果一次函数y＝kx+b（k、b是常数）的图象不经过第二象限，那么k、b应满足的条件是 ．
14．（4分）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且O是BD的中点．若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为 ．
15．（4分）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是 .（结果保留π）
16．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使四边形ABCD是平行四边形．
17．（4分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 米．
18．（4分）如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝ ．
三、解答题（一）（本大题共5小题，共38分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：﹣2×+|1﹣|﹣（）﹣2
20．（6分）计算：．
21．（8分）（1）如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E，使AE+EP＝AC．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在图中，如果AC＝6cm，AP＝3cm，则△APE的周长是 cm．
22．（8分）如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，丙地位于乙地北偏东66°方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C，可抽象成图（2）所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长AB（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）．
23．（10分）文化是一种精神力量，能够在人们认识世界、改造世界的过程中转化为物质力量，对社会发展产生深刻的影响，我们中华民族拥有五千年的文化，也是目前为止唯一没有中断的世界文化，为了传承中国传统文化，2023年3月，以“寻根国学，传承文明”为主题的陇南市“国学少年强——国学知识挑战赛”总决赛拉开推幕，小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选择一道题目．
第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A1、A2、A3、A4表示）；
第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用B1、B2、B1表示）．
（1）请用画树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；
（2）求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．
四、解答题（二）（本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
24．（8分）中国飞人苏炳添以6秒47获得2019年国际田联伯明翰室内赛男子60米冠军，苏炳添夺冠掀起跑步热潮，某校为了解该校八年级男生的短跑水平，从全校八年级男生中随机抽取了部分男生，对他们的短跑水平进行测试，并将测试成绩（满分10分）绘制成如下不完整的统计图表：
组别
成绩/分
人数/人
A
5
36
B
6
32
C
7
15
D
8
8
E
9
5
F
10
m
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ ，n＝ ；
（2）所抽取的八年级男生短跑成绩的众数是 分，扇形统计图中E组的扇形圆心角的度数为 °；
（3）求所抽取的八年级男生短跑的平均成绩．
25．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴正半轴相交于点C，与反比例函数y＝﹣的图象在第二象限相交于点A（﹣1，m），过点A作AD⊥x轴，垂足为D，AD＝CD．
（1）求一次函数的表达式；
（2）已知点E（a，0）满足CE＝CA，求a的值．
26．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．
（1）求证：OP∥BC；
（2）过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D．如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O的直径．
27．（10分）问题探究：
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则△ABC的面积等于多少？
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在对角线AC上，且CP＝CB，则△PBC的面积等于多少？
问题解决：
（3）如图③，△ABC是一块商业用地，其中∠B＝90°，AB＝30m，BC＝40m，某开发商现准备再征一块地，把△ABC扩充为四边形ABCD，使∠D＝90°，是否存在面积最大的四边形ABCD？若存在，求出四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由．
28．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，2），抛物线的对称轴为直线，且OB＝2OC．连接BC，点D是线段OB上一点（不与点O、B重合），过点D作x轴的垂线，交BC于点M，交抛物线于点N．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段MN最大时，求点M的坐标；
（3）连接BN，以B、D、N为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请求出点N的坐标；若不能，请说明理由．
2023年甘肃省陇南市中考数学模拟试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）
1．（3分）﹣2023的倒数是（ ）
A． B． C．2023 D．﹣2023
【解答】解：﹣2023的倒数是．
故选：B．
2．（3分）若∠A＝130°，则它的补角的余角为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【解答】解：∵∠A＝130°，
∴它的补角为180°﹣130°＝50°，
∴90°﹣50°＝40°．
故选：C．
3．（3分）不等式1﹣x≥x﹣1的解集是（ ）
A．x≥1 B．x≥﹣1 C．x≤1 D．x≤﹣1
【解答】解：1﹣x≥x﹣1，
﹣2x≥﹣2
∴x≤1．
故选：C．
4．（3分）一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（ ）
A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝2
【解答】解：∵x2+2x+1＝0，
∴（x+1）2＝0，
则x+1＝0，
解得x1＝x2＝﹣1，
故选：C．
5．（3分）如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，DC的中点，EF＝1，则BD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵点E、F分别是AC、DC的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴EF＝AD，
∵EF＝1，
∴AD＝2，
∵CD是△ABC的中线，
∴BD＝AD＝2，
故选：B．
6．（3分）根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是（ ）
A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比
B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50%
C．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20%
D．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108°
【解答】解：A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比，此选项正确；
B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50%，此选项正确；
C．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占30%，此选项错误；
D．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是360°×（1﹣40%﹣20%﹣10%）＝108°，此选项正确；
故选：C．
7．（3分）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是（ ）
A． B．2 C． D．4
【解答】解：设正方形ADOF的边长为x，
由题意得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，
∴BC＝BE+CE＝BD+CF＝10，
在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，
即（6+x）2+（x+4）2＝102，
整理得，x2+10x﹣24＝0，
解得：x＝2，或x＝﹣12（舍去），
∴x＝2，
即正方形ADOF的边长是2；
故选：B．
8．（3分）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是（ ）
A．x+2x+4x＝34685 B．x+2x+3x＝34685
C．x+2x+2x＝34685 D．x+x+x＝34685
【解答】解：设他第一天读x个字，根据题意可得：x+2x+4x＝34685，
故选：A．
9．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．20°
【解答】解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵∠BCD＝40°，
∴∠A＝∠BCD＝40°，
∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°．
故选：B．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：①当0≤x≤2时，
∵正方形的边长为2cm，
∴y＝S△APQ＝AQ•AP＝x2；
②当2＜x≤4时，
y＝S△APQ
＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D，
＝2×2﹣（4﹣x）2﹣×2×（x﹣2）﹣×2×（x﹣2）
＝﹣x2+2x
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合．
故选：A．
二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）
11．（4分）a3•（﹣a）＝ ﹣a4 ．
【解答】解：原式＝﹣a4，
故答案为：﹣a4．
12．（4分）分解因式：b2+c2+2bc﹣a2＝ （b+c+a）（b+c﹣a） ．
【解答】解：原式＝（b+c）2﹣a2＝（b+c+a）（b+c﹣a）．
故答案为：（b+c+a）（b+c﹣a）
13．（4分）如果一次函数y＝kx+b（k、b是常数）的图象不经过第二象限，那么k、b应满足的条件是 k＞0，b≤0 ．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k、b是常数）的图象不经过第二象限，
∴k＞0，b≤0，
故答案为：k＞0，b≤0．
14．（4分）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且O是BD的中点．若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为 24 ．
【解答】解：∵AB＝AD，点O是BD的中点，
∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，
∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AB＝5，BO＝BD＝4，
∴AO＝3，
∴AC＝2AO＝6，
∴四边形ABCD的面积＝×6×8＝24，
故答案为：24．
15．（4分）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是 π﹣1 .（结果保留π）
【解答】解：延长DC，CB交⊙O于J，K．则⊙O被分成5个部分，其中4个部分是全等图形，
∴图中阴影部分的面积＝（4π﹣4）＝π﹣1．
故答案为：π﹣1．
16．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 AD∥BC（答案不唯一） ，使四边形ABCD是平行四边形．
【解答】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AD∥BC．
故答案为：AD∥BC（答案不唯一）．
17．（4分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 10 米．
【解答】解：当y＝0时，y＝﹣x2+x+＝0，
解得，x＝﹣2（舍去），x＝10．
故答案为：10．
18．（4分）如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝ ．
【解答】解：连接CF，
∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝7，BE＝5，
∴GF＝GB＝5，BC＝7，
∴GC＝GB+BC＝5+7＝12，
∴＝13．
∵M、N分别是DC、DF的中点，
∴MN＝＝．
故答案为：．
三、解答题（一）（本大题共5小题，共38分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：﹣2×+|1﹣|﹣（）﹣2
【解答】解：原式＝﹣2×（﹣3）+﹣1﹣4
＝1+．
20．（6分）计算：．
【解答】解：
＝
＝
＝．
21．（8分）（1）如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E，使AE+EP＝AC．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在图中，如果AC＝6cm，AP＝3cm，则△APE的周长是 9 cm．
【解答】解：（1）如图，点E即为所求．
（2）∵MN垂直平分线段PC，
∴EP＝EC，
∴△APE的周长＝AP+AE+EP＝AP+AE+EC＝AP+AC＝3+6＝9（cm），
故答案为：9．
22．（8分）如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，丙地位于乙地北偏东66°方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C，可抽象成图（2）所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长AB（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝230km．
CD＝AC＝230km．
∵丙地位于乙地北偏东66°方向，
在Rt△BDC中，∠CBD＝24°，
∴BD＝＝（km）．
∴AB＝BD+AD＝230+（km）．
答：公路AB的长为（230+）km．
23．（10分）文化是一种精神力量，能够在人们认识世界、改造世界的过程中转化为物质力量，对社会发展产生深刻的影响，我们中华民族拥有五千年的文化，也是目前为止唯一没有中断的世界文化，为了传承中国传统文化，2023年3月，以“寻根国学，传承文明”为主题的陇南市“国学少年强——国学知识挑战赛”总决赛拉开推幕，小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选择一道题目．
第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A1、A2、A3、A4表示）；
第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用B1、B2、B1表示）．
（1）请用画树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；
（2）求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有12种等可能的结果；
（2）由（1）可知，共有12种等可能的结果，其中小明参加总决赛抽取题目都是成语题目的结果有2种，
∴小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率为＝．
四、解答题（二）（本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
24．（8分）中国飞人苏炳添以6秒47获得2019年国际田联伯明翰室内赛男子60米冠军，苏炳添夺冠掀起跑步热潮，某校为了解该校八年级男生的短跑水平，从全校八年级男生中随机抽取了部分男生，对他们的短跑水平进行测试，并将测试成绩（满分10分）绘制成如下不完整的统计图表：
组别
成绩/分
人数/人
A
5
36
B
6
32
C
7
15
D
8
8
E
9
5
F
10
m
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ 4 ，n＝ 15 ；
（2）所抽取的八年级男生短跑成绩的众数是 5 分，扇形统计图中E组的扇形圆心角的度数为 18 °；
（3）求所抽取的八年级男生短跑的平均成绩．
【解答】解：（1）∵B组的有32人，占32%，
∴被调查的人数为32÷32%＝100人，
∴m＝100﹣36﹣32﹣15﹣8﹣5＝4，
∴15÷100＝15%，
∴n＝15，
故答案为：4，15；
（2）成绩为5分的有36人，最多，
所以众数为5分；
5÷100×360°＝18°，
∴扇形统计图中E组的扇形圆心角的度数为18°，
故答案为：5，18；
（3）所抽取的八年级男生短跑的平均成绩为：＝6.26（分）．
25．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴正半轴相交于点C，与反比例函数y＝﹣的图象在第二象限相交于点A（﹣1，m），过点A作AD⊥x轴，垂足为D，AD＝CD．
（1）求一次函数的表达式；
（2）已知点E（a，0）满足CE＝CA，求a的值．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，m）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴﹣m＝﹣2，解得：m＝2，
∴A（﹣1，2），
∵AD⊥x轴，
∴AD＝2，OD＝1，
∴CD＝AD＝2，
∴OC＝CD﹣OD＝1，
∴C（1，0），
把点A（﹣1，2），C（1，0）代入y＝kx+b中，
，
解得，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+1；
（2）在Rt△ADC中，AC＝＝2，
∴AC＝CE＝2，
当点E在点C的左侧时，a＝1﹣2，
当点E在点C的右侧时，a＝1+2，
∴a的值为1±2．
26．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．
（1）求证：OP∥BC；
（2）过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D．如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O的直径．
【解答】（1）证明：∵A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．
∴＝
∴∠AOP＝∠COP，
∴∠AOP＝∠AOC，
又∵∠ABC＝∠AOC，
∴∠AOP＝∠ABC，
∴PO∥BC；
（2）解：连接PC，
∵CD为圆O的切线，
∴OC⊥CD，又AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠APO＝∠COP，
∵∠AOP＝∠COP，
∴∠APO＝∠AOP，
∴OA＝AP，
∵OA＝OP，
∴△APO为等边三角形，
∴∠AOP＝60°，
又∵OP∥BC，
∴∠OBC＝∠AOP＝60°，又OC＝OB，
∴△BCO为等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∴∠POC＝180°﹣（∠AOP+∠COB）＝60°，又OP＝OC，
∴△POC也为等边三角形，
∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC，
又∵∠OCD＝90°，
∴∠PCD＝30°，
在Rt△PCD中，PD＝PC，
又∵PC＝OP＝AB，
∴PD＝AB，
∴AB＝4PD＝4．
27．（10分）问题探究：
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则△ABC的面积等于多少？
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在对角线AC上，且CP＝CB，则△PBC的面积等于多少？
问题解决：
（3）如图③，△ABC是一块商业用地，其中∠B＝90°，AB＝30m，BC＝40m，某开发商现准备再征一块地，把△ABC扩充为四边形ABCD，使∠D＝90°，是否存在面积最大的四边形ABCD？若存在，求出四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图①，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝6，
∴BD＝CD＝BC＝3，
在Rt△ABD中，AB＝5，
∴AD＝＝＝4，
∴△ABC的面积＝BC•AD＝×6×4＝12；
（2）如图②，过点B作BM⊥AC于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝＝5，
∵S△ABC＝BC•AB＝AC•BM，
∴BM＝＝，
∵△PBC的面积＝CP•BM，CP＝CB，
∴△PBC的面积＝×4×＝；
（3）在△ABC中，∠B＝90°，AB＝30m，BC＝40m，
∴AC＝＝＝＝50（m），S△ABC＝AB•BC＝×40×30＝600（m2），
在△ACD中，∠D＝90°，设AD＝a，CD＝b，
∴AC2＝AD2+CD2，S△ACD＝ab，
∴a2+b2＝2500，
∵（b﹣a）2≥0，
∴a2+b2≥2ab，
∴ab≤，
∴ab≤，
即ab≤1250，
∵四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝600+ab，
∴四边形ABCD的最大面积＝600+×1250＝1225（m2）．
28．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，2），抛物线的对称轴为直线，且OB＝2OC．连接BC，点D是线段OB上一点（不与点O、B重合），过点D作x轴的垂线，交BC于点M，交抛物线于点N．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段MN最大时，求点M的坐标；
（3）连接BN，以B、D、N为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请求出点N的坐标；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）∵C（0，2），
∴OC＝2，
∵OB＝2OC，
∴OB＝4，
∴B（4，0），
∵抛物线的对称轴为直线，点A与点B关于直线对称，
∴A（1，0），
把A（1，0），B（4，0），C（0，2）分别代入y＝ax2+bx+c，
得：，
解得：，
∴该抛物线的表达式为y＝x2﹣x+2；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+d，把B（4，0），C（0，2）分别代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设D（t，0），且0＜t＜4，
则M（t，﹣t+2），N（t，t2﹣t+2），
∴MN＝﹣t+2﹣（t2﹣t+2）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，
∵﹣＜0，
∴当t＝2时，MN最大，最大值为2，
此时点M的坐标为（2，1）；
（3）以B、D、N为顶点的三角形不能够与△OBC相似．理由如下：
设D（n，0），且0＜n＜4，则N（n，n2﹣n+2），
又∵B（4，0），C（0，2），
∴BD＝4﹣n，DN＝|n2﹣n+2|，OB＝4，OC＝2，
当△BDN∽△BOC时，
∵∠BDN＝∠BOC＝90°，
∴＝，即＝，
解得：n＝0或n＝4，
∵0＜n＜4，
∴n＝0或n＝4均不符合题意，即△BDN∽△BOC不成立；
当△BDN∽△COB时，
∵∠BDN＝∠BOC＝90°，
∴＝，即＝，
解得：n＝4或n＝﹣3或n＝5，
∵0＜n＜4，
∴n＝4或n＝﹣3或n＝5均不符合题意，即△BDN∽△COB不成立；
综上所述，以B、D、N为顶点的三角形不能够与△OBC相似．
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