2022南通高二下学期期末考试数学含解析

2021~2022学年（下）高二期末质量检测

数学

本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出给定函数的定义域、值域化简集合A，B，再利用交集的定义求解作答.

【详解】由得或，则有，而，

所以.

故选：B

2. 在的展开式中，含项的系数为（    ）

A. 50 B. 35 C. 24 D. 10

【答案】D

【解析】

【分析】根据多项式乘法法则，分析计算即可作答.

【详解】展开式的项是4个因式中任取3个用x，另一个因式用常数项相乘积的和，

则展开式中的项为，

所以含项的系数为10.

故选：D

3. 《孙子算经》中曾经记载，中国古代诸侯的爵位等级从高到低分为：公、侯、伯、子、男，共有五级．若给有巨大贡献的甲、乙两人进行封爵，则在甲的爵位等级比乙高的条件下，甲、乙两人爵位相邻的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】应用条件概率公式计算即可

【点睛】记“甲的爵位等级比乙高为事件A”，“甲、乙两人爵位相邻为事件B”

事件A包含10个基本事件：（公，侯），（公，伯），（公，子）（公，男），（侯，伯），（侯，子），（侯，男），（伯，子），（伯，男），（子，男）

事件AB包含4个基本事件：（公，侯），（侯，伯），（伯，子），（子，男）

则

故选：C

4. 若x＝a是函数的极大值点，则a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求导后，得导函数的零点，比较两数的大小，分别判断在两侧的导数符号，确定函数单调性，从而确定是否在处取到极大值，即可求得的范围．

【详解】解：，

令，得：

当 ，即

此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，符合x＝a是函数的极大值点，

反之，当 ，即，此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，x＝a是函数的极小值点，不符合题意；

当 ，即，恒成立，函数在上单调递增，无极值点.

综上得：.

故选：A.

5. “埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法．这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下头一个2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除．剔除到最后，剩下的便全是素数．在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到30的全部素数过程中剔除的所有数的和为（    ）

A. 333 B. 335 C. 337 D. 341

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，求出2到30全部整数和，再求出2到30的全部素数和即可计算作答.

【详解】2到30的全部整数和，2到30的全部素数和，

所以剔除的所有数的和为.

故选：B

6. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，、是双曲线上关于原点对称的两点，，四边形的面积为，则该双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】分析可知四边形为矩形，利用勾股定理结合双曲线的定义可得出，利用三角形的面积公式可求得的值，即可求得该双曲线的离心率的值.

【详解】由已知，所以，，，

所以，，可得，

由勾股定理可得，

由双曲线的定义可得，

所以，，

由双曲线的对称性可知，四边形为矩形，所以，，

所以，，故该双曲线的离心率为.

故选：A.

7. 等差数列的各项均为正数，前n项和为．设甲：，乙：数列是等差数列，则（    ）

A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件

B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件

C. 甲是乙的充要条件

D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合等差数列的定义、前n项和公式推理判断作答.

【详解】正项等差数列中，，则公差，前n项和，

则有，即，数列是等差数列，

正项等差数列中，前n项和为，令等差数列的公差为，显然，

则，有，

当时，，数列的公差为，

于是得，解得，因此有，

所以甲是乙的充要条件，C正确.

故选：C

8. 已知函数，，，,则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】分析可知函数在上为增函数，推导出函数的图象关于直线对称，则函数在上为减函数，可得出，利用函数在上的单调性可得出、、的大小关系.

【详解】令，其中，则，

因为函数、均为上的增函数，故函数也为上的增函数，

当时，，此时，

故函数在上为增函数，

因为

，

故函数的图象关于直线对称，则函数在上为减函数，

所以，，

，则，即，

，则，则，即，

因此，.

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（    ）

A. ，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越扁平

B. 运用最小二乘法得到的线性回归直线－定经过样本中心

C. 相关系数越接近1，y与x相关的程度就越弱

D. 利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系

【答案】BD

【解析】

【分析】根据正态曲线的几何特征，判断选项A；由回归直线方程的性质，判断选项B和C；

【详解】解：对于A，根据正态曲线的几何特征，可知当不变时，即越小，该正态分布对应的正态密度曲线越瘦高，故A错误；

对于B，运用最小二乘法得到的线性回归直线－定经过样本中心，故B正确；

对于C，线性相关系数绝对值越接近1，表明2个随机变量相关性越强，故C错误；

对于D，因为随机变量的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大，即犯错误的概率越小，故D正确。

故选：BD.

10. 若，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A选项，利用幂函数的单调性即可判断；对于B选项，作差可以判断；对于C选项，可以举反例；对于D选项，构造函数，先证明不等式，再利用不等式的传递性即可判断

【详解】对于A选项，设，则，所以在上单调递增，则由，故A正确

对于B选项，因为，所以，即，故B正确

对于C选项，当时，，故C错误

对于D选项，设，则，且当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则即，故当时，，故D正确

故选：ABD

11. 已知圆：和圆：相交于A，B两点，且点A在x轴上方，则（    ）

A.

B. 过作圆的切线，切线长为

C. 过点A且与圆相切的直线方程为

D. 圆的弦AC交圆于点D，D为AC的中点，则AC的斜率为

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据给定条件，求出点A，B的坐标，再结合圆的性质逐项分析、计算判断作答.

【详解】依题意，由解得，则，

圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，

，A正确；

过作圆的切线，切线长为，B不正确；

直线的斜率为，过点A且与圆相切的直线斜率为，该切线方程为，

即，C正确；

因D为圆的弦AC的中点，则，于是得点D在以线段为直径的圆上，

而点D在圆上，则由得直线的方程，其斜率为，D正确.

故选：ACD

12. 已知数列的通项公式，记数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 是偶数

C. 若，则

D. 若，则存在n使得能被8整除

【答案】BCD

【解析】

【分析】计算判断A；探求数列的性质，寻找规律判断B；利用数列的性质，结合累加法判断C；取特值计算判断D作答.

【详解】，，

，

，A不正确；

，因数列从第3项起的每一项都等于其相邻前2项的和，

又都是奇数，则必为偶数，又都是奇数，又为偶数，由此，是奇数，是偶数，照此规律依次进行，

因此，数列中，是奇数，是偶数，而，是偶数，B正确；

因，，即，

则，C正确；

，显然能被8整除，因此，存在n使得能被8整除，D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点睛：涉及给出递推公式探求数列规律的问题，按条件写出变量的前几个取值对应数列，认真分析每个变量对应的数列，找准变化规律是解决问题的关键.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 命题“”的否定是_________．

【答案】

【解析】

【分析】利用含有一个量词的命题的否定直接求解作答.

【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是“”.

故答案为：

14. 数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理．由等式利用算两次原理可得____．

【答案】

【解析】

【分析】利用二项式定理，结合所求式子的意义求解作答.

【详解】因，

因此是展开式中项的系数，而展开式中项的系数为，

所以

故答案为：

15. 直线过抛物线的焦点为，且与抛物线交于、两点，则的最小值为_______．

【答案】##

【解析】

【分析】推导出抛物线的焦半径的性质，再利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】易知，可得，所以，抛物线的方程为.

若直线与轴重合时，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.

所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，

联立可得，即，，

由韦达定理可得，.

所以，

，

所以，，则

，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为.

故答案为：.

16. 已知函数．若时，直线与曲线相切，则的所有可能的取值为_________；若a∈R时，直线与曲线相切，且满足条件的k的值有且只有3个，则a的取值范围为_________．

【答案】    ①. ，5    ②.

【解析】

【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出过点的曲线切线斜率即可；再利用过点的曲线的切线有3条，构造函数，借助函数有3个零点求解作答.

【详解】当时，，求导得：，设直线与曲线相切的切点为，

则，且，即，

整理得，解得或，则或，

所以的所有可能的取值为，5；

由求导得：，设直线与曲线相切的切点为，于是得，且，则，

显然函数在R上单调递增，因直线与曲线相切的k的值有且只有3个，

则有直线与曲线相切的切点横坐标t值有且只有3个，即方程有3个不等实根，

令，求导得：，当或时，，当时，，

即函数在，上递增，在上递减，当时，取得极大值，当时，取得极小值，

方程有3个不等实根，当且仅当函数有3个不同的零点，因此，解得，

所以a的取值范围为.

故答案为：，5；

【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知函数．从下面两个条件中选择一个求出，并解不等式

①函数是偶函数；②函数是奇函数．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】先利用赋值法求，化简的解析式之后应用对数函数的单调性解不等式

【详解】根据题意, 易得函数的定义域为.

选择①: 为偶函数, 因此,
故, 解得.经检验符合题设
,,

即即或

不等式的解集为；

选择②:函数为奇函数,有,

即, 解得.经检验符合题设，
,,

即即

不等式的解集为.

18. 记数列{an}的前n项积为Tn，且．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）求数列的前n项和Sn．

【答案】（1）答案见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用 与 的关系可得，进而可得；

（2）利用（1）的结论得，从而用“错位相减法”与等差数列求和公式，得所求.

【小问1详解】

证明：因为为数列的前项积，

所以可得，

因为，所以，

即，所以，

又，所以，

故是以4为首项，2为公比的等比数列；

【小问2详解】

解：由（1）得：，所以，则

设①

②

则①-②得：

则

所以的前n项和

19. 如图，在四面体中，平面，，，点在线段上．

（1）当是线段中点时，求到平面的距离；

（2）若二面角的余弦值为，求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得到平面的距离；

（2）设点，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，解出的值，即可得解.

【小问1详解】

解：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

因为为的中点，则、、、，

设平面的法向量为，，，

则，取，可得，

，所以，点到平面距离为.

【小问2详解】

解：设点，其中，，，

设平面的法向量为，则，

取，可得，易知平面的一个法向量为，

由已知可得，解得，

此时点为的中点，故.

20. 某校在体育节期间进行趣味投篮比赛，设置了A，B两种投篮方案．方案A：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中不得分；方案B：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中不得分．甲、乙两位同学参加比赛，选择方案A投中的概率都为，选择方案B投中的概率都为，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响．

（1）若甲同学选择方案A投篮，乙同学选择方案B投篮，记他们的得分之和为X，，求X的分布列和数学期望；

（2）若甲、乙两位同学都选择方案A或都选择方案B投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大?

【答案】（1）分布列见解析，数学期望为；   

（2）答案见解析.

【解析】

【分析】（1）求出及的可能值，再求出各个值的概率，列出分布列，求出期望作答.

（2）求出都选择方案A，都选择方案B投篮得分之和的均值，再比较大小即可作答.

【小问1详解】

依题意，甲投中的概率为，乙投中的概率为，于是得，解得，

的可能值为0，2，3，5，

，，，，

所以的分布列为：

数学期望.

【小问2详解】

设甲、乙都选择方案A投篮，投中次数为，都选择方案B投篮，投中次数为，

则两人都选择方案A投篮得分和的均值为，都选择方案B投篮得分和的均值为，

有，，则，，

若，即，解得，若，即，解得，

若，即，解得，

所以，当时，甲、乙两位同学都选择方案A投篮，得分之和均值较大，

当时，甲、乙两位同学都选择方案A或都选择方案B投篮，得分之和的均值相等，

当时，甲、乙两位同学都选择方案B投篮，得分之和的均值较大.

21. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，直线，点M满足到点F的距离与它到直线l的距离之比为，记M的轨迹为C．

（1）求C的方程；

（2）过点M且与C相切的直线交椭圆于A，B两点，射线MO交椭圆E于点N，试问的面积是否为定值?请说明理由．

【答案】（1）；   

（2）面积为定值.

【解析】

【分析】（1）设轨迹方程上动点，利用已知几何关系式，列式，得轨迹方程；

（2）先由已知关系，确定直线方程中的参数关系，然后根据位置关系计算确定点M，N的坐标关系，从而得到，设，，，，将直线代入椭圆的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，即可得到所求面积为定值．

【小问1详解】

解：设，根据题意，，其中表示M到直线l的距离.

整理得，

曲线C的方程为：．

【小问2详解】

解：的面积为定值，理由如下：

设，

①当直线斜率不存在时，过直线方程为，不妨令，则

此时，，由题可得，

故；

②当直线斜率不存在时，设过直线方程为该直线与椭圆C相切

得：①

，

，则直线MO的方程为：

，，

由题可得，M，N位于y轴两侧，故.即

设，，，，将直线代入椭圆的方程，可得

，由，可得，②

则有，，

所以，将①代入得：

由直线与轴交于，

则的面积为.

故

综上：面积为定值．

22. 已知函数，，的导函数为．

（1）若，，求实数的取值范围；

（2）若函数，讨论的零点个数．

【答案】（1）   

（2）答案不唯一，具体见解析

【解析】

【分析】（1）由参变量分离法可得出，利用导数求出函数在上的最大值，即可求得实数的取值范围；

（2）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出函数的零点个数.

【小问1详解】

解：因为，则，

对，由可得，则，

构造函数，其中，则，

令，其中，则，

所以，函数在上为减函数，则，故，

所以，函数在上为减函数，，故.

【小问2详解】

解：，该函数的定义域为，且，

.

①当时，若时，，此时函数单调递增，

若时，，此时函数单调递减，所以，，

即函数的零点个数为；

②当时，由，可得或.

若时，即当时，对任意的，且不恒为零，

则在上单调递增，由于，此时函数的零点个数为；

若时，即当时，列表如下：

所以，，

设，其中，则，所以，在上为增函数，

所以，，即，所以，，

所以，，

此时函数有且只有个零点，一个为，另一个在区间内；

若时，即当时，列表如下：

所以，，

因为，

此时，函数有两个零点，一个为，另一个在区间内.

综上所述，当或时，函数的零点个数为；、

当或时，函数的零点个数为.

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.