2022镇江五校高二下学期期末考试数学含解析

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高二年级期末考试
数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得；
【详解】解：由，即，解得，
所以，
又，所以，所以；
故选：B
2. 设命题甲：，命题乙：直线与直线平行，则（ ）
A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合两直线平行的性质进行求解即可.
【详解】当时，直线的方程为，直线方程为，此时，直线与直线平行，即甲乙；
直线和直线 平行，则，解得或，
即乙甲；则甲是乙的充分不必要条件.
故选：.
3. 已知数列满足，且，则数列的前四项和的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意是首项为2、公比为的等比数列，利用等比数列前n项和公式求的值.
【详解】由题设是首项为2、公比为的等比数列，即，
所以.
故选：C
4. 从中任取2个不同的数，则的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】列举从中任取2个不同的数的所有结果，共6个基本事件，符合条件的共2个基本事件，结合古典概型计算结果．
【详解】从中任取2个不同的数，共有个基本事件，取出的2个数之差的绝对值为4有个基本事件，所以所求概率为
故选：B．
5. 已知P是圆上的动点，，，则的面积的最大值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由A､B的坐标可得直线AB的方程以及的值，由圆的方程分析圆心与半径，求出圆心到直线AB的距离，分析可得圆上的动点P到直线AB的距离最大值，由三角形面积公式计算可得答案.
【详解】解：根据题意，点，
则直线AB的方程为，即，
且
圆，即，其圆心为，半径，
所以圆心到直线AB距离
则圆上的动点P到直线AB的距离最大值为，
面积的最大值；
故选：C.
6. 的展开式中的系数为（ ）
A. 88 B. 104 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求、的二项式展开式通项、，可得原式的通项，结合指定项的指数值求m、n，进而求该项的系数.
【详解】由题设，通项为，的通项为；
∴原多项式的展开式通项可写为，
∴，可得或或，
∴的系数为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：将原式分成两个二项式分别求通项，结合指定项未知数的指数值求参数，进而求该项的系数.
7. 若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A. （2，＋∞） B. （1，＋∞）
C. （－∞，1） D. （e，＋∞）
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，令，化简得，令，然后作出的图象，即可求出实数a的取值范围
【详解】由，得，
令，得，
当时，方程无解，
所以，化简得，令，则
，
当时，，当或时，，
所以在上递增，在和上递减，
作出的图象，，
因为函数有两个极值点，
所以方程有两个变号的实根，
即与的图象有两个不同的交点，
所以由图可得，
即实数a的取值范围是，
故选：B

8. 在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是x2＝4y，圆的半径为r，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O，则圆的半径r的取值范围是（ ）

A. （2，＋∞） B. （1，＋∞）
C. D. [1，＋∞）
【答案】A
【解析】
【分析】设圆心为，（），半径为，是抛物线上任一点，求出，当的最小值在原点处取得时，圆过原点，可得此时圆半径的范围，半径不在这个范围内的圆不过原点．
【详解】设圆心为，（），半径为，是抛物线上任一点，
，
若的最小值不在处取得，则圆不过原点，
所以，即，此时圆半径为．
因此当时，圆无法触及抛物线的顶点．
故选：A．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知数列的前项和为，，则下列选项中正确的是（ ）
A.
B.
C. 数列是等比数列
D. 数列的前项和为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据转化到，进而可知数列是以为首项，公比为的等比数列，并写出通项公式及求和公式，即可判断选项正误.
【详解】解：，①
，②
两式作差得：，，
，，即，
，.
数列是以为首项，公比为的等比数列，
则，.
由上述内容可知，选项A，C正确.
当时，，则选项B错误.
，，，
数列是首项为的等比数列.
则数列的前项和为，则选项D正确.
故选：ACD.
10. 下列命题中，正确的命题的序号为（ ）
A. 已知随机变量服从二项分布，若，则
B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C. 设随机变量服从正态分布，若，则
D. 某人在次射击中，击中目标的次数为，且，则当时概率最大
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A：利用二项分布的期望与方差公式，列出方程求解即可判断；对B：根据方差公式可知方差恒不变；对C：根据正态分布的对称性即可求解；对D：根据二项分布概率的性质求解即可判断.
【详解】解：对A：因为随机变量服从二项分布，，，
所以，，解得，故选项A错误；
对B：根据方差公式，为常数），可得将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变，故选项B正确；
对C：因为随机变量服从正态分布，由，可得，利用正态分布的对称性可得，故选项C正确；
对D：因为在10次射击中，击中目标的次数满足，
所以对应的概率，
当，时，，
令，解得，
因为时，
所以当时，概率最大，故选项D正确.
故选：BCD.
11. 已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的上顶点和右顶点分别为A，B．若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则（ ）
A. |PQ|的最大值为
B. 为定值
C. 椭圆上不存在点M，使得
D. 若点P在第一象限，则四边形APBQ面积的最大值为
【答案】BD
【解析】
【分析】A. 由|PQ|的最大值为长轴长判断；B.由椭圆的定义判断；C.由判断；D.分别求得P，Q到直线AB的距离最大值判断.
【详解】如图所示：

A. |PQ|的最大值为长轴长2 ，故错误；
B. 易知是平行四边形，则，因为，所以，故正确；
C.因为，所以，则，故椭圆上存在点M，使得，故错误；
D.直线AB所在直线方程为：，即，设，则点P到直线AB的距离为，其最大值为，同理点Q到直线AB的最大值为，所以四边形APBQ面积的最大值为，故正确.
故选：BD
12. 如图，正方形ABCD-A1B1C1D1边长为1，P是 上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）

A. BP的最小值为
B. 的最小值为
C. 当P在直线上运动时，三棱锥 的体积不变
D. 以点B为球心，为半径的球面与面 的交线长为
【答案】ACD
【解析】
【分析】当时，BP最小,结合正三角形性质，求得B到直线的距离，判断A;建立空间直角坐标系，利用空间向量，设求得点，结合两点间的距离公式，求得PA+PC的最小值，判断B;根据当P在直线A1D上运动时，三棱锥的底面积以及高的变化情况，可确定体积不变没判断C;根据题意确定以点B为球心，为半径的球面与面 的交线即为的内切圆，即可求得交线长，判断D.
【详解】对于A，当时，BP最小，由于到直线的距离对．
对于B,解法一：以为坐标原点建系，以 分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则,设,

,
表示平面上之间的距离，
表示平面上之间的距离，
错
解法二：将平面翻折到平面上，如图，

连接AC，与交点即为点P，此时取最小值AC，
在三角形ADC中，,，B错误；
对于C,,平面，
平面到平面的距离为定值,
为定值，则为定值，对．
对于D，由于平面，设与平面交于点，
，设以为球心，为半径的球与面交线上任一点为，在以为圆心，为半径的圆上，由于为正三角形，边长为 ，其内切圆半径为 ，
故此圆恰好为的内切圆，完全落在面内，
交线长为正确．
故选：ACD
【点睛】本题考查了空间几何中的距离以及距离和的最值问题，以及三棱锥体积和几何体中的轨迹问题，综合性强，要求充分发挥空间想象能力，解答时要能借助于几何体的直观图，明确空间的点线面的位置关系，灵活应用空间向量以及相关相关知识解决问题.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知p：“$x0∈R，x02－x0＋a＜0”为真命题，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据p：“$x0∈R，x02－x0＋a＜0”为真命题，由有解求解.
【详解】解：因为p：“$x0∈R，x02－x0＋a＜0”为真命题，
所以有解，
令，则，
所以，
故答案为：
14. 将（1＋x）n（n∈N*）的展开式中x2的系数记为，则________．
【答案】
【解析】
【分析】由二项式的展开式的通项为：可得，，则，利用裂项求和即可求得结果.
【详解】解：二项式的展开式的通项为：
令可得，

，
故答案为：.
15. 柜子里有4双不同的鞋，随机的取两只，则取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的总数，再求出随机的取两只的总数，再利用古典概型的概率公式求解.
【详解】解：由题意：可以先选出左脚的一只有种选法，然后从剩下的3双的右脚中选出一只有种选法，所以一共有种不同的取法；又因为柜子里有只不同的鞋，随机选出两只，一共有种选法，所以概率为.
故答案为：
16. 关于不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，构造函数，通过讨论的范围可得函数的单调性，再结合图像与已知条件即可求解.
【详解】①当时，原不等式不成立；
②当时，由恰有一个整数解，得恰有一个整数解.
令，则，因此函数在区间上单调递减，易得不可能只有一个整数解，故不满足；
③当时，由恰有一个整数解，得恰有一个整数解.
由②可知，易得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故.
又因，且恰有一个整数解，所以，即.
综上，
故答案为：.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知各项都为正数的数列{an}满足an＋1＋an＝3×2n，a1＝1，
（1）若bn＝an－2n，求证：{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
【答案】（1）证明见解析；
（2）Sn.
【解析】
【分析】（1）利用等比数列的定义证明；
（2）先求出，再利用分组求和求解.
【小问1详解】
解：因为
所以，
因为 所以，     
所以，
所以 ，
所以是首项和公比均为的等比数列．
【小问2详解】
解：由（1）易得：   
因为，所以 ，
所以 ，
，
.
18. 如图，三棱柱中侧棱与底面垂直，且AB＝AC＝2，AA1＝4，AB⊥AC，M，N，P，D分别为CC1，BC，AB，的中点．

（1）求证：PN∥面ACC1A1；
（2）求平面PMN与平面ACC1A1所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）可以利用空间向量证明：因为向量为平面的一个法向量，证明即可；也可以利用面面平行的性质：先证平面，平面，可得平面平面，进而可得结论；（2）利用空间向量，根据面面夹角的定义结合空间向量得，运算求解．
【小问1详解】
解法一：
以点A为坐标原点，AB､AC､所在直线分别为x､y､z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，．
取向量为平面的一个法向量，，
∴，
∴．
又∵平面，
∴平面．
解法二：
∵P，D分别为，的中点，
∴，且平面，平面，
∴平面，
∵D，N分别为，BC的中点，
∴，且平面，平面，
∴平面，又，
∴平面平面，
又∵平面PDN，
∴平面．
【小问2详解】
以点A坐标原点，AB､AC､所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，．
∴，，
取向量为平面的一个法向量，
设平面PMN的法向量为，
则，即，
令，则，，则，
∴，
∴平面PMN与平面所成锐二面角的余弦值为．
19. 不等式对一切实数x恒成立的k的取值集合为A，集合
（1）求集合A；
（2）若___________，求实数m的取值范围.
在①“”是“”的充分条件；②“”是“”的必要条件这两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并给出解答.
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一种情况解答给分
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，显然成立；当时由求解即可；
（2）由题设得，即在上恒成立，由解出m的取值范围即可.
【小问1详解】
当时，显然恒成立，当时不等式对一切实数x都成立，
则，解得，综上可得；
【小问2详解】
选①②都有又，即在上恒成立，
令，则，解得，所以m的取值范围为；
20. 击鼓传花，也称传彩球，是中国民间游戏，数人或几十人围成圆圈坐下，其中一人拿花(或一小物件);另有一人背着大家或蒙眼击鼓(桌子、黑板或其他能发出声音的物体)，鼓响时众人开始传花(顺序不定)，至鼓停止为止，此时花在谁手中(或其座位前)，谁就上台表演节目，某单位组织团建活动，9人一组，共9组，玩击鼓传花，(前五组)组号x与组内女性人数y统计结果如表: .
x
1
2
3
4
5
y
2
2
3
4
4

（1）女性人数与组号x (组号变量x依次为1， 2， 3， 4， 5， ... )具有线性相关关系，请预测从第几组开始女性人数不低于男性人数;
（参考公式：）
（2）在(1) 的前提下，从9组中随机抽取3组，若3组中女性人数不低于5人的有X组，求X的分布列与期望.
【答案】（1）预测从第7组开始女性人数不低于男性人数
（2）分布列见解析，1.
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合已知公式得，再解即可估计得答案；
（2）根据题意得的所有可能取值为0，1，2，3，再根据超几何分布求解即可.
【小问1详解】
解：由题可得，
，．
则
所以
当时，
所以预测从第7组开始女性人数不低于男性人数．
【小问2详解】
解：由题可知的所有可能取值为0，1，2，3，


则的分布列为
X
0
1
2
3
P





21. 已知双曲线C：(a＞0，b＞0)一个焦点坐标为(3，0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，O为坐标原点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）直线l与x轴正半轴相交于一点D，与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，证明：△MON的面积为定值，并求出该定值．
【答案】（1）；
（2）证明见解析，﹒
【解析】
【分析】(1)由双曲线的一个焦点坐标为可求c，根据一条渐近线的倾斜角的正切值为可求，结合a、b、c的关系求解、得到双曲线方程；
(2)设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，利用判别式为0，求出k与m的关系．联立l与渐近线方程求出M和N的坐标，通过，化简即可．
【小问1详解】
由题可知，解得，则：；
【小问2详解】
由于直线与双曲线右支相切(切点不为右顶点)，则直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，，
令，则，则．
联立得，，
则，即．
双曲线两条渐近线方程为，
联立得，，
联立得，，

，
故的面积为定值．

22. 已知函数.
（1）若有两个零点，的取值范围；
（2）若方程有两个实根、，且，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分析可知，由参变量分离法可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可求得实数的取值范围；
（2）令，其中，令，，分析可知关于的方程也有两个实根、，且，设，将所求不等式等价变形为，令，即证，令，其中，利用导数分析函数的单调性，即可证得结论成立.
【小问1详解】
解：函数的定义域为.
当时，函数无零点，不合乎题意，所以，，
由可得，
构造函数，其中，所以，直线与函数的图象有两个交点，
，由可得，列表如下：









增
极大值
减
所以，函数的极大值为，如下图所示：

且当时，，
由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，
故实数的取值范围是.
【小问2详解】
证明：因为，则，
令，其中，则有，
，所以，函数在上单调递增，
因为方程有两个实根、，令，，
则关于的方程也有两个实根、，且，
要证，即证，即证，即证，
由已知，所以，，整理可得，
不妨设，即证，即证，
令，即证，其中，
构造函数，其中，
，所以，函数在上单调递增，
当时，，故原不等式成立.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.