初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数课时练习
展开知识点1二次函数与x轴的交点(二次函数与一元二次方程的关系)
抛物线与x轴交点的个数是由一元二次方程中的决定。
若,抛物线与x轴有两个交点,方程有两个不等的实根,这两个与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个实根。
若,抛物线与x轴有一个交点,方程有两个相等的实根,此时一元二次方程的根就是抛物线顶点的横坐标。
若,抛物线图象与x轴没有交点,方程无实根,抛物线在x轴上方,,抛物线在x轴下方。
【典例】
1.下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1(a>1)的图象与x轴交点的判断,正确的是( )
A. 没有交点 B. 只有一个交点,且它位于y轴右侧
C. 有两个交点,且它们均位于y轴左侧 D. 有两个交点,且它们均位于y轴右侧
2.二次函数y=﹣x2+mx的图象如图,对称轴为直线x=2,若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0(t为实数)在1<x<5的范围内有解,则t的取值范围是______
3.已知二次函数y=ax2+bx+c中,y与x的部分对应值如下:
则一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x满足条件( )
A. 1.2<x<1.3 B. 1.3<x<1.4 C. 1.4<x<1.5 D. 1.5<x<1.6
4.若方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣3和1,那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线( )
A. x=﹣3 B. x=﹣2 C. x=﹣1 D. x=1
【方法总结】
解这类题的方法是:求二次函数与x轴交点问题,可以转化成对应的一元二次方程根的问题。当一元二次程的,二次函数与x轴有两个交点,时,二次函数与x轴有一个交点,时,二次函数与x轴没有交点。
【随堂练习】
1.(2019•大庆一模)对于二次函数,有下列结论:①其图象与轴一定相交;②若,函数在时,随的增大而减小;③无论取何值,抛物线的顶点始终在同一条直线上;④无论取何值,函数图象都经过同一个点.其中正确结论的个数是
A.1B.2C.3D.4
2.(2019•莱芜区)将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新图象,若直线与这个新图象有3个公共点,则的值为
A.或B.或2C.或2D.或
3.(2019•宁波自主招生)三个关于的方程:,,,已知常数,若、、分别是按上顺序对应三个方程的正根,则下列判断正确的是
A.B.
C.D.不能确定、、的大小
4.(2019•集美区模拟)二次函数的对称轴为.若关于的一元二次方程在的范围内有实数解,则的取值范围是
A.B.C.D.
5.(2019•梧州)已知,关于的一元二次方程的解为,,则下列结论正确的是
A.B.C.D.
6.(2019•南充模拟)针对关于的方程,下列说法错误的
A.可以有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.一个根大于0,一个根小于0D.时才有整数根
7.(2019•绍兴模拟)若抛物线与轴两个交点间的距离为6,称此抛物线为定弦抛物线.已知某定弦抛物线开口向上,对称轴为直线,且通过,,,四点,则,,,中为正数的是
A.B.C.D.
8.(2019•莘县二模)如图,抛物线交轴点和,交轴于点,抛物线的顶点为,下列四个判断:①当时,;②若,则;③抛物线上有两点,和,,若,且,则;④点关于抛物线对称轴的对称点为,点,分别在轴和轴上,当时,四边形周长的最小值为,其中,判断正确的序号是
A.①②B.②③C.①③D.②③④
9.(2019•三明一模)二次函数满足以下条件:当时,它的图象位于轴的下方;当时,它的图象位于轴的上方,则的值为
A.27B.9C.D.
10.(2019•齐齐哈尔一模)如图,抛物线的对称轴为直线,与轴的一个交点坐标为,其部分图象如图所示,现有下列结论:①:②;③;④当时,随的增大而减小;⑤;⑥.其中正确的结论有
A.1个B.2个C.3个D.4个
11.(2019•武功县一模)已知抛物线,当时,,且当时,的值随值的增大而减小,则的取值范围是
A.B.C.D.
知识点2二次函数与一次函数的综合
求二次函数与一次函数的交点时,直接把二次函数与一次函数联立,求出的x值就是他们交点的横坐标,根据横坐标求出函数的纵坐标。
【典例】
1.已知二次函数y=x2﹣4x+3和一次函数y=x+1,则它们交点的个数是_______
2.若b<0,则一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是( )
A. B. C. D.
3.已知关于x的二元一次函数y=x2﹣(2m﹣1)x+m2+3m+4.
(1)探究m取不同值时,该二次函数的图象与x轴的交点的个数;
(2)设该二次函数的图象与x轴的交点分别为A(x1,0),B(x2,0),且x12+x22=5,与y轴的交点为C,它的顶点为M,求直线CM的函数表达式.
4.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣m+2的顶点为D.线段AB的两个端点分别为A(﹣3,m),B(1,m).
(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示);
(2)若该抛物线经过点B(1,m),求m的值;
(3)若线段AB与该抛物线只有一个公共点,结合函数的图象,求m的取值范围.
【方法总结】
解二次函数图象与一次函数综合这类题的方法是:用矛盾法判定。当这些系数没有矛盾时,此选项正确,当这些系数有矛盾时,此选项错误。应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限,以及熟练掌握二次函数的有关性质:开口方向、对称轴、顶点坐标等.
【随堂练习】
1.(2018•孝感)如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是______.
知识点3二次函数与不等式的综合
1.二次函数与一元二次不等式之间的关系
若,的解集为;
的解集为。
若,的解集为;
的无解。
若,的解集为x可取任意实数。
的无解。
2.二次函数与一次函数不等关系
此类问题首先要先找到交点,如果交点为2 个,那么把这个图象分为了3份,数形结合,自变量相同,谁高谁大。
【典例】
1.如图,一次函数y1=mx+n(m≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象相交于两点A(﹣1,5)、B(9,3),请你根据图象写出使y1≥y2成立的x的取值范围______
2.若不等式ax2+7x﹣1>2x+5对﹣1≤a≤1恒成立,则x的取值范围是______
3.在同一坐标系下,抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x的图象如图所示,那么不等式﹣x2+4x>2x的解集是_______
4.如图,直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(1,0),B(3,2).
(1)求m的值和抛物线的解析式;
(2)求不等式x2+bx+c>x+m的解集.(直接写出答案)
【方法总结】
解这类题的方法是:先利用二次函数的对称性,得出图象与x轴的交点, 牢记:函数值大的函数在函数值小函数的上方!
【随堂练习】
1.(2019•兰山区二模)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A,B,C.现有下面四个推断:
①抛物线开口向下;
②当x=﹣2时,y取最大值;
③当m<4时,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=m必有两个不相等的实数根;
④直线y=kx+c(k≠0)经过点A,C,当kx+c>ax2+bx+c时,x的取值范围是﹣4<x<0;
其中推断正确的是( )
A.①②B.①③C.①③④D.②③④
2.(2018秋•秀洲区期末)给出下列命题及函数y=x,y=x2和y=的图象.(如图所示)①如果>a>a2,那么0<a<1;②如果a2>a>,那么a>1;③如果a2>>a,那么a<﹣1.则真命题的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
二.填空题(共7小题)
3.(2019•雨花区校级二模)如图抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1,与x轴的一个交点为(﹣5,0),则不等式ax2+bx+c>0的解集为 .
4.(2019•济宁)如图,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(﹣1,p),B(3,q)两点,则不等式ax2+mx+c>n的解集是 .
5.(2019•开封一模)如图,已知顶点为(﹣3,﹣6)的抛物线y=ax2+bx+c经过点(﹣1,﹣4),下列结论:①b2>4ac;②ax2+bx+c≥﹣6;③若点(﹣2,m),(﹣5,n)在抛物线上,则m>n;④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1,其中正确的是 .
6.(2018秋•海曙区期末)如图抛物线y=ax2+c与直线y=3相交于点A、B,与y轴交于点C(0,﹣1),若∠ACB为直角,则当ax2+c<0时自变量x的取值范围是 .
7.(2019•铁西区模拟)如图,已知函数y=﹣与y=ax2+bx(a>0,b>0)的图象交于点P,点P的纵坐标为1,则关于x的不等式bx+的解集为 .
8.(2019•桓台县二模)如图,直线y1=kx+n(k≠0)与抛物线y2=ax2+bx+c(a≠0)分别交于A(﹣1,0),B(2,﹣3)两点,那么当y1>y2时,x的取值范围是 .
9.(2019•祥云县二模)已知抛物线y1=x2+bx+c与直线y2=kx+m相交于A(﹣2,3)、B(3,﹣1)两点,则y1≥y2时x的取值范围是 .
综合运用:二次函数与方程、不等式的综合
1.已知二次函数y=﹣x2+2x+3与x轴的交点为A、B(A在 B的左边),与y轴交点为C,顶点为D.
(1)在图中给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象(要求所画图象与坐标轴交点A、B、与y轴交点为C,顶点为D的位置准确).
(2)若M(m﹣1,y1),N(m,y2)是函数y=﹣x2+2x+3图象上的两点,且m<1,请比较y1,y2的大小关系.(直接写结果)
(3)关于x的一元二次方程﹣x2+2x+3=n﹣1有实数根,写出实数n的范围.
(4)你能利用函数图象求不等式﹣x2+2x+3>x﹣3的解集吗?写出你的结果.
2.已知二次函数y1=x2﹣2x﹣3及一次函数y2=x+m.
(1)求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标;
(2)将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,图象的其余部分不变,得到一个新图象.请你在图中画出这个新图象,并求出新图象与直线y2=x+m有三个不同公共点时m的值;
(3)当0≤x≤2时,函数y=y1+y2+(m﹣2)x+3的图象与x轴有两个不同公共点,求m的取值范围.
3.小明在复习数学知识时,针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法,请你将有关内容补充完整:
例题:求一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个解.
(1)解法一:选择合适的一种方法(公式法、配方法、分解因式法).
(2)解法二:利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解.
如图,把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y= 的图象与x轴交点的横坐标即x1,x2就是方程的解.
(3)解法三:利用两个函数图象的交点求解①把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y= 的图象与一个一次函数y= 的图象交点的横坐标②画出这两个函数的图象,用x1,x2在x轴上标出方程的解.
4.利用图象解一元二次方程x2﹣2x﹣1=0时,我们采用的一种方法是:在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1,两图象交点的横坐标就是该方程的解.
(1)请再给出一种利用图象求方程x2﹣2x﹣1=0的解的方法;
(2)已知函数y=x3的图象(如图),求方程x3﹣x﹣2=0的解.(结果保留2个有效数字)
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