数学人教版22.1.1 二次函数课时训练

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知识点1二次函数与x轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）
抛物线与x轴交点的个数是由一元二次方程中的决定。
若，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不等的实根，这两个与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个实根。
若，抛物线与x轴有一个交点，方程有两个相等的实根，此时一元二次方程的根就是抛物线顶点的横坐标。
若，抛物线图象与x轴没有交点，方程无实根，抛物线在x轴上方，，抛物线在x轴下方。
【典例】
1.下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（ ）
A. 没有交点 B. 只有一个交点，且它位于y轴右侧
C. 有两个交点，且它们均位于y轴左侧 D. 有两个交点，且它们均位于y轴右侧
2.二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是______
3.已知二次函数y=ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下：
则一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x满足条件（ ）
A. 1.2＜x＜1.3 B. 1.3＜x＜1.4 C. 1.4＜x＜1.5 D. 1.5＜x＜1.6
4.若方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣3和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（ ）
A. x=﹣3 B. x=﹣2 C. x=﹣1 D. x=1
【方法总结】
解这类题的方法是：求二次函数与x轴交点问题，可以转化成对应的一元二次方程根的问题。当一元二次程的，二次函数与x轴有两个交点，时，二次函数与x轴有一个交点，时，二次函数与x轴没有交点。
【随堂练习】
1．（2019•井研县模拟）二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④若方程有两个根和，且，则；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论有
A．①②③④B．①②③⑤C．②③④⑤D．①②④⑤
二．填空题（共3小题）
2．（2019•灌云县模拟）已知抛物线与轴交于、两点，点平分．若在轴上侧的点为抛物线上的动点，且为锐角，则的取值范围是 ．
3．（2019•青山区模拟）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，将此抛物线向右平移4个单位得到抛物线，两条抛物线相交于点．若点是坐标轴上的一动点，且满足，则所有满足条件的点的坐标为 ．
4．（2019•达州）如图，抛物线为常数）交轴于点，与轴的一个交点在2和3之间，顶点为．
①抛物线与直线有且只有一个交点；
②若点、点，、点在该函数图象上，则；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为；
④点关于直线的对称点为，点、分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为．
其中正确判断的序号是 ．
三．解答题（共4小题）
5．（2019•宜兴市一模）如图，抛物线与轴交于、两点，且点的坐标为，经过点的直线交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）过轴上的点作直线，交抛物线于点，是否存在实数，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出满足条件的；如果不存在，请说明理由．
6．（2019•荆州一模）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程必有两个实数根；
（2）设方程的两个实数根分别是，，若是关于的函数，且，其中，求这个函数的解析式；
（3）设，若该一元二次方程只有整数根，且是小于0的整数．结合函数的图象回答：当自变量满足什么条件时，？
7．（2018•云南）已知二次函数的图象经过，两点．
（1）求，的值．
（2）二次函数的图象与轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．
8．（2018秋•海淀区期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线，，．
（1）当时，
①求抛物线与轴的交点坐标；
②若抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围；
（2）若存在实数，使得抛物线与线段有两个交点，结合图象，直接写出的取值范围．
知识点2二次函数与一次函数的综合
求二次函数与一次函数的交点时，直接把二次函数与一次函数联立，求出的x值就是他们交点的横坐标，根据横坐标求出函数的纵坐标。
【典例】
1.已知二次函数y=x2﹣4x+3和一次函数y=x+1，则它们交点的个数是_______
2.若b＜0，则一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
3.已知关于x的二元一次函数y=x2﹣（2m﹣1）x+m2+3m+4．
（1）探究m取不同值时，该二次函数的图象与x轴的交点的个数；
（2）设该二次函数的图象与x轴的交点分别为A（x1，0），B（x2，0），且x12+x22=5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的函数表达式．
4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣m+2的顶点为D．线段AB的两个端点分别为A（﹣3，m），B（1，m）．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）若该抛物线经过点B（1，m），求m的值；
（3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．
【方法总结】
解二次函数图象与一次函数综合这类题的方法是：用矛盾法判定。当这些系数没有矛盾时，此选项正确，当这些系数有矛盾时，此选项错误。应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
【随堂练习】
1．（2018•金牛区校级模拟）如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标______
知识点3二次函数与不等式的综合
1.二次函数与一元二次不等式之间的关系
若，的解集为；
的解集为。
若，的解集为；
的无解。
若，的解集为x可取任意实数。
的无解。
2.二次函数与一次函数不等关系
此类问题首先要先找到交点，如果交点为2 个，那么把这个图象分为了3份，数形结合，自变量相同，谁高谁大。
【典例】
1.如图，一次函数y1=mx+n（m≠0）与二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于两点A（﹣1，5）、B（9，3），请你根据图象写出使y1≥y2成立的x的取值范围______
2.若不等式ax2+7x﹣1＞2x+5对﹣1≤a≤1恒成立，则x的取值范围是______
3.在同一坐标系下，抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是_______
4.如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）
【方法总结】
解这类题的方法是：先利用二次函数的对称性，得出图象与x轴的交点， 牢记:函数值大的函数在函数值小函数的上方！
【随堂练习】
1．（2019•滨海新区模拟）已知抛物线，为常数，且经过点，，有下列结论：
①；
②当时，的值随值的增大而减小；
③3是方程的一个根；
④当时，
其中正确结论的个数是
A．1B．2C．3D．4
2．（2019•建阳区模拟）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有
A．4个B．3个C．2个D．1个
二．解答题（共2小题）
3．（2018秋•江北区期末）如图，已知二次函数的图象经过点，，且对称轴为直线，一次函数的图象经过点、．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点、关于抛物线的对称轴对称，根据图象直接写出满足时的取值范围．
4．（2019春•利津县期中）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，其中点，点，点都在抛物线上，为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求的面积；
（3）根据图形直接写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围．
综合运用：二次函数与方程、不等式的综合
1.已知二次函数y=﹣x2+2x+3与x轴的交点为A、B（A在 B的左边），与y轴交点为C，顶点为D．
（1）在图中给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象（要求所画图象与坐标轴交点A、B、与y轴交点为C，顶点为D的位置准确）．
（2）若M（m﹣1，y1），N（m，y2）是函数y=﹣x2+2x+3图象上的两点，且m＜1，请比较y1，y2的大小关系．（直接写结果）
（3）关于x的一元二次方程﹣x2+2x+3=n﹣1有实数根，写出实数n的范围．
（4）你能利用函数图象求不等式﹣x2+2x+3＞x﹣3的解集吗？写出你的结果．
2.已知二次函数y1=x2﹣2x﹣3及一次函数y2=x+m．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；
（2）将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你在图中画出这个新图象，并求出新图象与直线y2=x+m有三个不同公共点时m的值；
（3）当0≤x≤2时，函数y=y1+y2+（m﹣2）x+3的图象与x轴有两个不同公共点，求m的取值范围．
3.小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整：
例题：求一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个解．
（1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）．
（2）解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解．
如图，把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y= 的图象与x轴交点的横坐标即x1，x2就是方程的解．
（3）解法三：利用两个函数图象的交点求解①把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y= 的图象与一个一次函数y= 的图象交点的横坐标②画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解．
利用图象解一元二次方程x2﹣2x﹣1=0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．
（1）请再给出一种利用图象求方程x2﹣2x﹣1=0的解的方法；
（2）已知函数y=x3的图象（如图），求方程x3﹣x﹣2=0的解．（结果保留2个有效数字）