北师大版九年级下册1 二次函数课堂检测

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第12讲 二次函数与方程、不等式综合知识点1二次函数与x轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）抛物线与x轴交点的个数是由一元二次方程中的决定。若，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不等的实根，这两个与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个实根。若，抛物线与x轴有一个交点，方程有两个相等的实根，此时一元二次方程的根就是抛物线顶点的横坐标。若，抛物线图象与x轴没有交点，方程无实根，抛物线在x轴上方，，抛物线在x轴下方。【典例】1.下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（　　）A. 没有交点                           B. 只有一个交点，且它位于y轴右侧C. 有两个交点，且它们均位于y轴左侧   D. 有两个交点，且它们均位于y轴右侧2.二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是______3.已知二次函数y=ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下：则一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x满足条件（　　）A. 1.2＜x＜1.3      B. 1.3＜x＜1.4    C. 1.4＜x＜1.5     D. 1.5＜x＜1.64.若方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣3和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（　　）A. x=﹣3     B. x=﹣2        C. x=﹣1        D. x=1【方法总结】解这类题的方法是：求二次函数与x轴交点问题，可以转化成对应的一元二次方程根的问题。当一元二次程的，二次函数与x轴有两个交点，时，二次函数与x轴有一个交点，时，二次函数与x轴没有交点。【随堂练习】1．（2019•大庆一模）对于二次函数，有下列结论：①其图象与轴一定相交；②若，函数在时，随的增大而减小；③无论取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论取何值，函数图象都经过同一个点．其中正确结论的个数是　　A．1 B．2 C．3 D．42．（2019•莱芜区）将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线与这个新图象有3个公共点，则的值为　　A．或 B．或2 C．或2 D．或3．（2019•宁波自主招生）三个关于的方程：，，，已知常数，若、、分别是按上顺序对应三个方程的正根，则下列判断正确的是　　A． B． C． D．不能确定、、的大小4．（2019•集美区模拟）二次函数的对称轴为．若关于的一元二次方程在的范围内有实数解，则的取值范围是　　A． B． C． D．5．（2019•梧州）已知，关于的一元二次方程的解为，，则下列结论正确的是　　A． B． C． D．6．（2019•南充模拟）针对关于的方程，下列说法错误的　　A．可以有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．一个根大于0，一个根小于0 D．时才有整数根7．（2019•绍兴模拟）若抛物线与轴两个交点间的距离为6，称此抛物线为定弦抛物线．已知某定弦抛物线开口向上，对称轴为直线，且通过，，，四点，则，，，中为正数的是　　A． B． C． D．8．（2019•莘县二模）如图，抛物线交轴点和，交轴于点，抛物线的顶点为，下列四个判断：①当时，；②若，则；③抛物线上有两点，和，，若，且，则；④点关于抛物线对称轴的对称点为，点，分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为，其中，判断正确的序号是　　A．①② B．②③ C．①③ D．②③④9．（2019•三明一模）二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于轴的下方；当时，它的图象位于轴的上方，则的值为　　A．27 B．9 C． D．10．（2019•齐齐哈尔一模）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，现有下列结论：①：②；③；④当时，随的增大而减小；⑤；⑥．其中正确的结论有　　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．（2019•武功县一模）已知抛物线，当时，，且当时，的值随值的增大而减小，则的取值范围是　　A． B． C． D． 知识点2二次函数与一次函数的综合求二次函数与一次函数的交点时，直接把二次函数与一次函数联立，求出的x值就是他们交点的横坐标，根据横坐标求出函数的纵坐标。【典例】1.已知二次函数y=x2﹣4x+3和一次函数y=x+1，则它们交点的个数是_______2.若b＜0，则一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（　　）A.      B.    C.      D. 3.已知关于x的二元一次函数y=x2﹣（2m﹣1）x+m2+3m+4．（1）探究m取不同值时，该二次函数的图象与x轴的交点的个数；（2）设该二次函数的图象与x轴的交点分别为A（x1，0），B（x2，0），且x12+x22=5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的函数表达式．4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣m+2的顶点为D．线段AB的两个端点分别为A（﹣3，m），B（1，m）．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）若该抛物线经过点B（1，m），求m的值；（3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．【方法总结】解二次函数图象与一次函数综合这类题的方法是：用矛盾法判定。当这些系数没有矛盾时，此选项正确，当这些系数有矛盾时，此选项错误。应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 【随堂练习】1．（2018•孝感）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2=bx+c的解是______． 知识点3二次函数与不等式的综合1.二次函数与一元二次不等式之间的关系若，的解集为；      的解集为。若，的解集为；      的无解。若，的解集为x可取任意实数。      的无解。2.二次函数与一次函数不等关系此类问题首先要先找到交点，如果交点为2 个，那么把这个图象分为了3份，数形结合，自变量相同，谁高谁大。【典例】1.如图，一次函数y1=mx+n（m≠0）与二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于两点A（﹣1，5）、B（9，3），请你根据图象写出使y1≥y2成立的x的取值范围______2.若不等式ax2+7x﹣1＞2x+5对﹣1≤a≤1恒成立，则x的取值范围是______3.在同一坐标系下，抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是_______4.如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案） 【方法总结】解这类题的方法是：先利用二次函数的对称性，得出图象与x轴的交点， 牢记:函数值大的函数在函数值小函数的上方！【随堂练习】1．（2019•兰山区二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C．现有下面四个推断：①抛物线开口向下；②当x＝﹣2时，y取最大值；③当m＜4时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根；④直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是﹣4＜x＜0；其中推断正确的是（　　）A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④2．（2018秋•秀洲区期末）给出下列命题及函数y＝x，y＝x2和y＝的图象．（如图所示）①如果＞a＞a2，那么0＜a＜1；②如果a2＞a＞，那么a＞1；③如果a2＞＞a，那么a＜﹣1．则真命题的个数是（　　）A．0 B．1 C．2 D．3二．填空题（共7小题）3．（2019•雨花区校级二模）如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为　   　．4．（2019•济宁）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是　   　．5．（2019•开封一模）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），下列结论：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥﹣6；③若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1，其中正确的是　   　．6．（2018秋•海曙区期末）如图抛物线y＝ax2+c与直线y＝3相交于点A、B，与y轴交于点C（0，﹣1），若∠ACB为直角，则当ax2+c＜0时自变量x的取值范围是　   　．7．（2019•铁西区模拟）如图，已知函数y＝﹣与y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的不等式bx+的解集为　   　．8．（2019•桓台县二模）如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是　   　．9．（2019•祥云县二模）已知抛物线y1＝x2+bx+c与直线y2＝kx+m相交于A（﹣2，3）、B（3，﹣1）两点，则y1≥y2时x的取值范围是　   　． 综合运用：二次函数与方程、不等式的综合1.已知二次函数y=﹣x2+2x+3与x轴的交点为A、B（A在 B的左边），与y轴交点为C，顶点为D．（1）在图中给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象（要求所画图象与坐标轴交点A、B、与y轴交点为C，顶点为D的位置准确）．（2）若M（m﹣1，y1），N（m，y2）是函数y=﹣x2+2x+3图象上的两点，且m＜1，请比较y1，y2的大小关系．（直接写结果）（3）关于x的一元二次方程﹣x2+2x+3=n﹣1有实数根，写出实数n的范围．（4）你能利用函数图象求不等式﹣x2+2x+3＞x﹣3的解集吗？写出你的结果．2.已知二次函数y1=x2﹣2x﹣3及一次函数y2=x+m．（1）求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；（2）将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你在图中画出这个新图象，并求出新图象与直线y2=x+m有三个不同公共点时m的值；（3）当0≤x≤2时，函数y=y1+y2+（m﹣2）x+3的图象与x轴有两个不同公共点，求m的取值范围．3.小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整：例题：求一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个解．（1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）．（2）解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解．如图，把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y=　     的图象与x轴交点的横坐标即x1，x2就是方程的解．（3）解法三：利用两个函数图象的交点求解①把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y=　　　　　　的图象与一个一次函数y=　　的图象交点的横坐标②画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解．4.利用图象解一元二次方程x2﹣2x﹣1=0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．（1）请再给出一种利用图象求方程x2﹣2x﹣1=0的解的方法；（2）已知函数y=x3的图象（如图），求方程x3﹣x﹣2=0的解．（结果保留2个有效数字）