数学人教版第三章 一元一次方程3.1 从算式到方程3.1.1 一元一次方程课后复习题

第10讲 一元一次方程的应用二

知识点1 一元一次方程的实际问题-工程问题

1、工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。

公式为：

①工作量=工作效率×工作时间，②，③。

2、工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。

3、常用列式依据：“甲的工作量+乙的工作量+丙的工作量=1”，有些工程问题也可以分阶段“第一阶段工作量+第二阶段工作量=1”。

【典例】

1.一项工程，甲单独完成需要9天，乙单独完成需要12天，丙单独完成需要15天，若甲、丙先做3天，甲因故离开，由乙接替甲的工作，如果要求这个工程6天完成，问此工程是否能按期完成？

【解析】解：由题意得甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为，设乙、丙还需天完成这项工程，根据题意得：

解得：

∵共需时间为天>6天

∴不能按期完成

答：此工程不能按期完成。

【方法总结】

1、本题可以分两个阶段：第一阶段“甲、丙合做3天”，第二阶段“乙、丙合做天”，可得“甲、丙合做3天”的工作量+“乙、丙合做天”的工作量=工作总量

2、对于问是否能按时完成任务的问题，先求实际完成任务的时间，再与规定时间做比较，得出是否能按时完成

2. 甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如右表：则完成这项工作共需多少天？

【解析】解：由题意甲的工作效率为，设乙的工作效率为，则有

解得

乙的工作效率为

则还需天

所以完成这项工作共需4+5=9天

【方法总结】

1、分析表格，找出有用信息，求出甲、乙的工作效率是解本题的关键：由甲做3天，完成工作进度的，可求出甲的工作效率为；由第三天到第五天，甲乙合作两天时间，完成工作进度的，列式可求乙的工作效率为。

2、此题是典型的工程问题，需要分段分析，分清每段的情况

【随堂练习】

1．（2017秋•重庆期末）甲组的4名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的4倍多20件，乙组的5名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的6倍少20件．

（1）如果两组工人实际完成的此月人均工作量相等，那么此月人均定额是多少件？

（2）如果甲组工人实际完成的此月人均工作量比乙组的多2件，则此月人均定额是多少件？

（3）如果甲组工人实际完成的此月人均工作量比乙组的少2件，则此月人均定额是多少件？

【解答】解：设此月人均定额为x件，则甲组的总工作量为（4x+20）件，人均为件；乙组的5名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的6倍少20件，乙组的总工作量为（6x﹣20）件，乙组人均为件．

（1）∵两组人均工作量相等，

∴=，

解得：x=45．

所以，此月人均定额是45件；

（2）∵甲组的人均工作量比乙组多2件，

∴，

解得：x=35，

所以，此月人均定额是35件；

（3）∵甲组的人均工作量比乙组少2件，

∴=﹣2，

解得：x=55，

所以，此月人均定额是55件．

2．（2017秋•建昌县期末）某项工作，甲单独做要6天完成，乙单独做要12天完成，若甲、乙合作完成此项工作，求多少天可以完成？（列一元一次方程求解）

【解答】解：设甲、乙合作完成此项工作，需x天可以完成，

，

解得，x=4，

答：甲、乙合作完成此项工作，需4天可以完成．

3．（2017秋•沾化区期末）一项工作，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成．现甲、乙合做2天后，甲因事离去，由乙单独做，则乙还要几天才能完成这项工作？

【解答】解：设乙还要x天才能完成这项工作，

根据题意得：2×+（x+2）=1，

解得：x=7．

答：乙还要7天才能完成这项工作．

知识点2  一元一次方程的实际问题-利润问题

销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。

（1）商品利润＝商品售价－商品成本价

（2）商品利润率=（商品利润÷商品成本）×100%

（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量

（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．

【典例】

1.东方食品厂2013年的利润（总产值-总支出）为200万元，2014年总产值比2013年增加了20%，总支出减少了10%．2014年的利润为780万元．问2013年总产值、总支出各是多少万元？

【解析】解：设2013年的总产值为万元，则2013年的总支出为万元，由题意得：

解得

则2013年的总支出：

答：2013年的总产值为2000万元，总支出为1800万元．

【方法总结】

1、本题由“总产值﹣总支出=利润”可得2013年总产值和总支出的关系，从而设未知数。

2、然后根据：2013年总产值×（1+20%）-2003年总支出×（1﹣10%）=780列方程。

2.某商场购进商品后，加价40%作为销售价．商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款399元，两种商品原售价之和为490元，甲、乙两种商品的进价分别是____

【解析】解：设甲种商品的原售价为元，则乙种商品的原售价为元，

依题意得：

解得x=210

则甲种商品的原售价为210元，则乙种商品的原售价为280元。

所以甲种商品的进价是元，乙种商品的进价为元

【方法总结】

题目中“两种商品原售价之和为490元”和“甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款399元”都是关于“原售价”的关系，所以这里我们设“原售价”为未知量比设“进价”更好列方程.

3. 某商人一次卖出两件衣服，一件赚了15%，另一件赔了15%，卖价都是1955元，在这次生意中商品经营______

【解析】解：（1）设赚了15%的衣服的进价是元，

则：

解得：x=1700

进价是1700元．

（2）设赔了15%的衣服的进价是元，

则，

解得：y=2300

则：进价是2300元，

利润=总售价-总成本=1955×2-（1700+2300）=-90元

所以赔了90元．

【方法总结】

该题可以分别算出两件衣服的利润，求利润之和，或者用两件衣服的总售价减去总成本求出总利润。

【随堂练习】

1．（2018•恩施州）一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店（　　）

A．不盈不亏 B．盈利20元 C．亏损10元 D．亏损30元

【解答】解：设两件衣服的进价分别为x、y元，

根据题意得：120﹣x=20%x，y﹣120=20%y，

解得：x=100，y=150，

∴120+120﹣100﹣150=﹣10（元）．

故选：C．

2．（2018•铜陵县一模）某种计算器标价240元，若以8折优惠销售，仍可获利20%，那么这种计算器的进价为（　　）

A．152元 B．156元 C．160元 D．190元

【解答】解：设这种计算器的进价为x元，

根据题意得：240×0.8﹣x=20%x，

解得：x=160．

答：这种计算器的进价为160元．

故选：C．

3．（2018•保定二模）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（　　）

A．120 元 B．100 元 C．80 元 D．60 元

【解答】解：设这件商品的进价为x元，

根据题意得：200×0.5﹣x=20，

解得：x=80．

答：这件商品的进价为80元．

故选：C．

4．（2017秋•定陶区期末）某商品的进价是500元，标价是750元，商店要求以利润率为5%的售价打折出售，售货员可以打几折出售此商品（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

【解答】解：设售货员可以打x折出售此商品，

根据题意得：750×﹣500=500×5%，

解得：x=7．

答：售货员可以打7折出售此商品．

故选：C．

知识点3 一元一次方程的实际问题-其他问题

设而不求（设中间参数）的问题

一些应用题中，所给出的已知条件不够满足基本量关系式的需要，而且其中某些量不需要求解。这时，我们可以通过设出这个量，并将其看成已知条件，然后在计算中消去。这将有利于我们对问题本质的理解。

【典例】

1.防汛指挥部决定冒雨开水泵排水，假设每小时雨水增加量相同，每台水泵排水量也相同．若开一台水泵10小时可排完积水，开两台水泵3小时排完积水，问开三台水泵多少小时可排完积水？

【解析】解：设每小时雨水增加量为a，每台水泵每小时的排水量为b，则根据积水量相同得

设用三台水泵需要小时将积水排尽，由题意得

．

答：用三台水泵需要小时将积水排尽．

【方法总结】

1、得到每小时雨水增加量为和每台水泵每小时的排水量的关系式是解决本题的突破点

2、设小时可排完积水，等量关系为：3台水泵小时的工作量﹣小时的积水量=1台水泵10小时的工作量-10小时的积水量

【随堂练习】

1．（2017秋•新罗区校级期中）列方程解应用题：

（1）一个箱子，如果装橙子可以装18个，如果装梨可以装16个，现共有橙子、梨400个，而且装梨的箱子是装橙子箱子的2倍．请算一下，装橙子和装梨的箱子各多少个？

（2）一群小孩分一堆苹果，每人3个多7个，每人4个少3个，求有几个小孩？几个苹果？

（3）一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/时．顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求无风时飞机的速度和两城之间的航程．

【解答】解：（1）：设装橙子的箱子x个，则装梨的箱子2x个，依题意有

18x+16×2x=400，

解得x=8，

2x=2×8=16．

答：装橙子的箱子8个，则装梨的箱子16个；

（2）设有x个小孩，

依题意得：3x+7=4x﹣3，

解得x=10，

则3x+7=37．

答：有10个小孩，37个苹果．

（3）设无风时飞机的航速为x千米/小时．

根据题意，列出方程得：

（x+24）×=（x﹣24）×3，

解这个方程，得x=840．

航程为（x﹣24）×3=2448（千米）．

答：无风时飞机的航速为840千米/小时，两城之间的航程2448千米．

2．（2017•巫溪县校级一模）一个数能否被99整除是从这个数的末位开始，两位一段，看看这些数段的和能否被99整除．像这样能够被99整除的数，我们称之为“长久数”．例如542718，因为18+27+54=99，所以542718能够被99整除；又例如25146，因为46+51+2=99，所以25146能够被99整除．

（1）若这个三位数是“长久数”，求a的值；

（2）在（1）中的三位数的首位和个位与十位之间加上和为9的两个数字，让其成为一个五位数，该五位数仍是“长久数”，求这个五位数．

【解答】解：（1）∵这个三位数是“长久数”，

∴4+10a+5=99，

解得：a=9．

（2）设这个五位数为，

根据题意得：10（9﹣x）+5+49+x=99k（k为正整数），

∴144﹣9x=99k．

∵x、k均为正整数，且144＜198，

∴k=1，x=5．

答：这个五位数为54945．

3．（2016秋•胶州市期末）用一元一次方程的知识解决下面的问题：

（1）如图，工人师傅用5块相同的长方形地砖铺成了一个大长方形，求每块小长方形地砖的长和宽各是多少？

（2）小明和小亮约好上午8点分别从A、B两地同时出发，相向而行，则上午10点两人相距18km，中午12点两人又相距18km．已知小明每小时比小亮多走2km．请根据以上信息解答下列问题：

①小明和小亮的速度各是多少？

②A、B两地的距离是多少？

【解答】解：（1）设每块小长方形地砖的长是xcm，则宽为（30﹣x）cm，由题意得

3（30﹣x）=2x，

解得x=18，

30﹣x=12．

答：每块小长方形地砖的长是18cm，则宽为12cm；

（2）①设小亮的速度是每小时xkm，则小明的速度是每小时（x+2）km，

由题意得：2x+2（x+2）=18×2，

解得，x=8，

x+2=10（km）．

所以，小亮的速度是每小时8km，则小明的速度是每小时10km；

②由题意知，A、B两地的距离是：2（8+10）+18=54（km）．

综合运用

1.文星商店以每支4元的价格进100支钢笔，卖出时每支的标价6元，当卖出一部分钢笔后，剩余的打9折出售，卖完时商店赢利188元，其中打9折的钢笔有几支?

【解析】设有支钢笔打9折，则有支钢笔是原价出售，可得：

解得：

答：打9折的钢笔有20支.

2.某商场按每台3500元新进一批同型号的电脑，按进价提高40%标价（就是价格牌上标出的价格），此商场为了促销，又对该电脑打折销售，每台电脑仍可盈利420元，那么该型号电脑每台打多少折出售？

【解析】解：设该型号电脑每台打折销售．

由题意得：，

解得：x=8，

答：该型号电脑每台打八折销售．

3.某车间原计划每周装配36台机床，预计若干周完成任务，在装配了三分之一后，改进操作技术，功效提高了一倍，结果提前一周半完成任务．求这次任务需装配的机床总台数.

【解析】解：设这次任务需装配的机床总数为台，则

，

∴

解得：x=162，

答：这次任务需装配的机床总数为162台

4.某商店同时卖出两套西服，售出价均为1680元/套，以成本计算，其中一套盈利20%，而另一套亏损20%，则此时商店盈利了还是亏损了？

【解析】解：设盈利20%的进价是x元，则

（1+20%）x=1680，

x=1400；

设亏损20%的进价是y元，

则有（1﹣20%）y=1680，

y=2100．

则进价和是1400+2100=3500元，售价和是1680×2=3360元，

3500﹣3360=140元．即亏损140元．

答：商店亏损了140元。

5. 某中学举行数学竞赛，计划用A、B两台复印机复印试卷．如果单独用A机器需要90分钟印完，如果单独用B机器需要60分钟印完，为了保密的需要，不能过早复印试卷，学校决定在考试前由两台复印机同时复印．

（1）两台复印机同时复印，共需多少分钟才能印完？

（2）若两台复印机同时复印30分钟后，B机出了故障，暂时不能复印，此时离发卷还有13分钟．请你算一下，如果由A机单独完成剩下的复印任务，会不会影响按时发卷考试？

（3）在（2）的问题中，B机经过紧急抢修，9分钟后修好恢复正常使用，请你再计算一下，学校能否按时发卷考试？

【解析】解：（1）设共需分钟才能印完，列方程得：

，

解得x=36

答：两台复印机同时复印，共需36分钟才能印完。

（2）设由A机单独完成剩下的复印任务需要分钟才能印完，则有

，

解得y=15

则y=15＞13，

答：会影响学校按时发卷考试；

（3）当B机恢复使用时，两机又共同复印了分钟印完试卷，

解得z=2.4

则有9+2.4=11.4分钟＜13分钟．

答：学校可以按时发卷考试．