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数学九年级下册2 二次函数的图像与性质练习
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这是一份数学九年级下册2 二次函数的图像与性质练习，文件包含北师大版初三数学上册秋季班讲义第10讲二次函数的图像与性质--基础版教师版docx、北师大版初三数学上册秋季班讲义第10讲二次函数的图像与性质--基础班学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共64页， 欢迎下载使用。
第10讲 函数的图象及其性质
知识点1二次函数的定义与列二次函数关系式
一般地，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做x的二次函数.
其中：x的最高次数为2且a≠0。
【典例】
1.下列函数中，其中是以x为自变量的二次函数是（ ）
A. y=x（x﹣3） B. y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2
C. y=x2+ D. y=
2.函数y=（a﹣1）x+x﹣3是二次函数时，则a的值是______
3.下列关系中，是二次函数关系的是（ ）
A. 当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系
B. 在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系
C. 圆的面积S与圆的半径r之间的关系
D. 正方形的周长C与边长a之间的关系
【方法总结】
1.本知识点需要掌握：
（1）知道二次函数的一般表达式.
（2）会利用二次函数的概念分析解题.
2. 注意：
“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别。
3. 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
【随堂练习】
1．下列函数关系中，是二次函数的是
A．在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体质量之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间与速度之间的关系
C．等边三角形的周长与边长之间的关系
D．半圆面积与半径之间的关系
2．（2018秋•嘉兴期末）下列函数中，属于二次函数的是
A． B． C． D．
3．（2018秋•昭平县期末）下列函数表达式中，一定是二次函数的是
A． B． C． D．
4．（2018秋•江干区期末）下列函数是二次函数的是
A． B． C． D．
5．（2018秋•桐城市期末）下列函数中，关于的二次函数的是
A． B． C． D．
6．（2019•嘉定区一模）下列函数中，是二次函数的是
A． B． C． D．
知识点2二次函数图象与基本性质
1.
2.二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中
3.二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
4. 二次函数的性质
（1）当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
（2） 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
【典例】
1.用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为_______
2.下列关于抛物线y=（x+2）2+6的说法，正确的是（ ）
A. 抛物线开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为（2，6）
C. 抛物线的对称轴是直线x=6 D. 抛物线经过点（0，10）
【方法总结】
1. 把一般形式化成顶点式有利于思考
2. 顶点式令(x-h)²中x-h=0，x=h,即顶点的横坐标，例y=（x+2）²顶点坐标,x+2=0推出x=-2,y=0,顶点坐标为（-2，0）.
【随堂练习】
1．（2019•安徽一模）二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
2．（2019•中山市模拟）函数与的图象可能是
A． B．
C． D．
3．（2019•李沧区一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为
A． B．
C． D．
4．（2019•东兰县三模）二次函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是
A．函数有最小值 B．当时，
C． D．当，随的增大而减小
5．（2019•广水市模拟）如图，在同一坐标系下，一次函数与二次函数的图象大致可能是
A． B．
C． D．
二．填空题（共3小题）
6．（2019•武侯区校级模拟）点为二次函数图象上一点，其对称轴为，则点关于的对称点的坐标为 ．
7．（2019•越秀区校级一模）抛物线过点，且，则抛物线的对称轴是 ．
8．（2019•杨浦区模拟）若点，是抛物线上的两个点，则此抛物线的对称轴是 ．
三．解答题（共2小题）
9．（2019•西湖区一模）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点，顶点为．
（1）求点的坐标；
（2）求证：；
（3）当时，判断是否成立？并说明理由．
10．（2019•雷州市一模）已知抛物线．
（1）直接写出该抛物线的对称轴．
（2）试说明无论为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．
知识点3 二次函数图象与系数之间的关系
二次函数y= ax2+bx+c的图象与字母系数之间的关系：
a:开口方向 向上则a>0,向下则a<0 ｜a｜越大，开口越小；
b:对称轴位置，与a联系一起，用“左同右异”判断，b=0时，对称轴是y轴；
c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c>0；负半轴上则c<0；当c=0时，抛物点过原点。
【典例】
1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（ ）
A. B. C. D.
2.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A. abc＜0 B. a+c＜b C. b2+8a＞4ac D. 2a+b＞0
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（ ）
A. b2＜4ac B. ac＞0 C. 2a﹣b=0 D. a﹣b+c=0
【方法总结】
1、抛物线与轴的交点个数与一元二次方程的有关系，
①当时，抛物线与x轴有两个交点；
① 当时，抛物线与x轴有一个交点；
③当时，抛物线与x轴没有交点..
2、抛物线对称轴的位置与有关系。对称轴与x轴的交点横坐标等于.(“”的代数式多由此得到)
3、抛物线经过的特殊点与三者的关系式有关。判断时可将特殊点的坐标带入函数关系式，(例如的图象经过(1,0)，可以得到0=)
【随堂练习】
1．（2019•河池）如图，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中，错误的是
A． B． C． D．
2．（2019•福田区三模）如图是抛物图象的一部分，且抛物线的对称轴为，那么下列说法正确的是
①；②；③；④；⑤．
A．①②③④ B．②④⑤ C．②③④ D．①④⑤
3．（2019•甘肃）如图是二次函数的图象，对于下列说法：①，②，③，④，⑤当时，随的增大而减小，其中正确的是
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④⑤
4．（2019•费县二模）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．（2019•陕西模拟）如图，函数的部分图象与轴、轴的交点分别为，，对称轴是，在下列结论中，正确的是
A．顶点坐标为
B．抛物线与轴的另一个交点是
C．当时，随的增大而增大
D．
6．（2019•宜宾模拟）如图，关于二次函数的结论正确的是
①；②当时，；③若，，，，在函数图象上，当时，；④．
A．①②④ B．①④ C．①②③ D．③④
7．（2019•岳池县模拟）如图是二次函数，，是常数，图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是．对于下列说法：①当时，；②；③；④，其中正确的是
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
8．（2019•福田区模拟）已知的部分图象如图所示，若，是一元二次方程的两个根，且，则下列说法正确的是
A． B． C． D．
9．（2019春•九龙坡区校级月考）已知二次函数的图象如图，则下列结论错误的是
A． B． C． D．
知识点4二次函数图象变换
1.图象的平移变换
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．
2．二次函数图象与对称变换
二次函数关于坐标轴对称式规律：
原式
关于x轴对称
关于y轴对称
关于原点对称
【典例】
1.作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2﹣1，则抛物线A所对应的函数表达式是__________
2.顶点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴相交于点A，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则△PAB的面积为______
【方法总结】
1.理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2.翻折和旋转：按照顶点的变化，进行变形。
【随堂练习】
1．（2019春•雨花区校级期末）要由抛物线得到地物线，则抛物线必须
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
2．（2019•沙坪坝区校级模拟）将抛物线向左平移2个单位，得到的新抛物线顶点坐标是
A． B． C． D．
3．（2019•渝中区校级模拟）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．得到的新抛物线的表达式为
A． B． C． D．
4．（2019•淄博）将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是
A． B． C． D．
5．（2019•陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线与关于轴对称，则符合条件的，的值为
A．， B．， C．， D．，
6．（2019•长安区一模）将抛物线绕其对称轴上一点旋转，得到一个新抛物线，若、两条抛物线的交点以及它们的顶点构成一个正方形，则点坐标为
A． B． C． D．
7．（2019•绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则这个变换可以是
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位
8．（2019•河南二模）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移1个单位长度，然后绕原点旋转得到抛物线．则原抛物线的顶点坐标是
A． B． C． D．
知识点5二次函数的解析式
1. 一般式：（，，为常数，）；
2. 顶点式：（，，为常数，）；
3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
【典例】
1.将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为_____ 将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为 ．
2.一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点．则这个二次函数的解析式为 ．
3.已知二次函数中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
则该二次函数的解析式为 ．
【方法总结】
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
【随堂练习】
1．（2019•邵阳县模拟）抛物线经过点，则的值为
A． B．2 C． D．
2．（2019•福田区校级模拟）已知二次函数的图象经过，，三点，则该函数解析式为
A． B． C． D．
3．（2018秋•镇原县期末）顶点在点，且图象经过原点的二次函数解析式是
A． B．
C． D．
4．（2019•乐清市一模）如图，在正方形中，、分别是、的中点，，，垂足分别为，，设，图中阴影部分面积为，则与之间的函数关系式是
A． B． C． D．
二．填空题（共2小题）
5．（2019•井研县模拟）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点的特征线有：，，，．如图所示，在平面直角坐标系中有正方形，点在第一象限，、分别在轴和轴上，抛物线经过、两点，顶点在正方形内部．
（1）写出点任意两条特征线为 ， ；
（2）若点有一条特征线是，则此抛物线的解析式为 ．
6．（2018秋•武陵区校级期末）已知二次函数图象经过点，和，则它的解析式为 ．
三．解答题（共2小题）
7．（2019•昆明三模）如图，已知抛物线与轴交于 ，于轴交于、，点坐标为，连接、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断的形状，并说明理由．
8．（2019春•海安市期末）一个二次函数的图象经过，，三点
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若另外三点，，，，，也在该二次函数图象上，求的值．
知识点6二次函数的最值
1. 一般地，抛物线的顶点就是抛物线的最低（高）点，当时，二次函数有最小（大）值；
2. 当自变量的范围中不包含顶点的横坐标时，要根据抛物线的增减规律来确定；
【典例】
1.已知二次函数y=﹣（x﹣h）2+1（为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，则h的值为________
2.已知二次函数y=x2+2x+m2+2m﹣1（m为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为_______
【方法总结】
a＞0，离对称轴越远值越大
a＜0，离对称轴越远值越小
点与对称轴距离
【随堂练习】
1．（2019•济南一模）己知二次函数为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对对应的函数值的最小值为10，则的值为
A．或4 B．0或6 C．1或3 D．或6
2．（2019•无锡模拟）四边形的两条对角线、所成的锐角为，当时，四边形的面积最大值是
A． B． C． D．
3．（2018秋•江干区期末）二次函数的最大值是
A． B．1 C．3 D．
4．（2019•浦东新区一模）已知二次函数，那么这个二次函数的图象有
A．最高点 B．最高点 C．最低点 D．最低点
5．（2018秋•淮阴区期末）二次函数有
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
6．（2019•武汉模拟）已知抛物线，当时，的最小值为，最大值为3，则的取值范围为
A． B． C． D．
7．（2019•成武县一模）已知二次函数的图象如图，当时，下列说法正确的是
A．有最小值、最大值0 B．有最小值、最大值6
C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6
8．（2018秋•滨海县期末）函数的最小值是
A．1 B． C．2 D．
综合运用: 函数的图象及其性质
1.写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式 （写一个即可）
2.已知反比例函数y=的图象经过点P（2，2），函数y=ax+b的图象与直线y=﹣x平行，并且经过反比例函数图象上一点Q（1，m）．则函数y=ax2+bx+有最 值，这个值是 ．
3.将抛物线y=x2+1向下平移1个单位后的抛物线的解析式为 ；若将原抛物线绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为 ．
4.已知二次函数y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
5.已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3
（1）用配方法将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在直角坐标系中，用五点法画出它的图象；
（3）当x为何值时，函数值y＜0．
6.如图是y=a（x+m）2的图象
（1）求二次函数的解析式；
（2）把抛物线y=﹣x2经过怎样的平移才能得到此抛物线；
（3）请指出该抛物线的顶点坐标、对称轴及函数具有的性质；
（4）将（1）中所求的抛物线绕顶点旋转180°，求旋转后的抛物线的解析式．
第10讲 函数的图象及其性质
知识点1二次函数的定义与列二次函数关系式
一般地，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做x的二次函数.
其中：x的最高次数为2且a≠0。
【典例】
1.下列函数中，其中是以x为自变量的二次函数是（ ）
A. y=x（x﹣3） B. y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2
C. y=x2+ D. y=
2.函数y=（a﹣1）x+x﹣3是二次函数时，则a的值是______
3.下列关系中，是二次函数关系的是（ ）
A. 当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系
B. 在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系
C. 圆的面积S与圆的半径r之间的关系
D. 正方形的周长C与边长a之间的关系
【方法总结】
1.本知识点需要掌握：
（1）知道二次函数的一般表达式.
（2）会利用二次函数的概念分析解题.
2. 注意：
“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别。
3. 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
【随堂练习】
1．下列函数关系中，是二次函数的是
A．在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体质量之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间与速度之间的关系
C．等边三角形的周长与边长之间的关系
D．半圆面积与半径之间的关系
2．（2018秋•嘉兴期末）下列函数中，属于二次函数的是
A． B． C． D．
3．（2018秋•昭平县期末）下列函数表达式中，一定是二次函数的是
A． B． C． D．
4．（2018秋•江干区期末）下列函数是二次函数的是
A． B． C． D．
5．（2018秋•桐城市期末）下列函数中，关于的二次函数的是
A． B． C． D．
6．（2019•嘉定区一模）下列函数中，是二次函数的是
A． B． C． D．
知识点2二次函数图象与基本性质
1.
2.二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中
3.二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
4. 二次函数的性质
（1）当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
（2） 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
【典例】
1.用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为_______
2.下列关于抛物线y=（x+2）2+6的说法，正确的是（ ）
A. 抛物线开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为（2，6）
C. 抛物线的对称轴是直线x=6 D. 抛物线经过点（0，10）
【方法总结】
1. 把一般形式化成顶点式有利于思考
2. 顶点式令(x-h)²中x-h=0，x=h,即顶点的横坐标，例y=（x+2）²顶点坐标,x+2=0推出x=-2,y=0,顶点坐标为（-2，0）.
【随堂练习】
1．（2019•安徽一模）二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
2．（2019•中山市模拟）函数与的图象可能是
A． B．
C． D．
3．（2019•李沧区一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为
A． B．
C． D．
4．（2019•东兰县三模）二次函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是
A．函数有最小值 B．当时，
C． D．当，随的增大而减小
5．（2019•广水市模拟）如图，在同一坐标系下，一次函数与二次函数的图象大致可能是
A． B．
C． D．
二．填空题（共3小题）
6．（2019•武侯区校级模拟）点为二次函数图象上一点，其对称轴为，则点关于的对称点的坐标为 ．
7．（2019•越秀区校级一模）抛物线过点，且，则抛物线的对称轴是 ．
8．（2019•杨浦区模拟）若点，是抛物线上的两个点，则此抛物线的对称轴是 ．
三．解答题（共2小题）
9．（2019•西湖区一模）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点，顶点为．
（1）求点的坐标；
（2）求证：；
（3）当时，判断是否成立？并说明理由．
10．（2019•雷州市一模）已知抛物线．
（1）直接写出该抛物线的对称轴．
（2）试说明无论为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．
知识点3 二次函数图象与系数之间的关系
二次函数y= ax2+bx+c的图象与字母系数之间的关系：
a:开口方向 向上则a>0,向下则a<0 ｜a｜越大，开口越小；
b:对称轴位置，与a联系一起，用“左同右异”判断，b=0时，对称轴是y轴；
c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c>0；负半轴上则c<0；当c=0时，抛物点过原点。
【典例】
1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（ ）
A. B. C. D.
2.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A. abc＜0 B. a+c＜b C. b2+8a＞4ac D. 2a+b＞0
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（ ）
A. b2＜4ac B. ac＞0 C. 2a﹣b=0 D. a﹣b+c=0
【方法总结】
1、抛物线与轴的交点个数与一元二次方程的有关系，
①当时，抛物线与x轴有两个交点；
① 当时，抛物线与x轴有一个交点；
③当时，抛物线与x轴没有交点..
2、抛物线对称轴的位置与有关系。对称轴与x轴的交点横坐标等于.(“”的代数式多由此得到)
3、抛物线经过的特殊点与三者的关系式有关。判断时可将特殊点的坐标带入函数关系式，(例如的图象经过(1,0)，可以得到0=)
【随堂练习】
1．（2019•河池）如图，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中，错误的是
A． B． C． D．
2．（2019•福田区三模）如图是抛物图象的一部分，且抛物线的对称轴为，那么下列说法正确的是
①；②；③；④；⑤．
A．①②③④ B．②④⑤ C．②③④ D．①④⑤
3．（2019•甘肃）如图是二次函数的图象，对于下列说法：①，②，③，④，⑤当时，随的增大而减小，其中正确的是
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④⑤
4．（2019•费县二模）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．（2019•陕西模拟）如图，函数的部分图象与轴、轴的交点分别为，，对称轴是，在下列结论中，正确的是
A．顶点坐标为
B．抛物线与轴的另一个交点是
C．当时，随的增大而增大
D．
6．（2019•宜宾模拟）如图，关于二次函数的结论正确的是
①；②当时，；③若，，，，在函数图象上，当时，；④．
A．①②④ B．①④ C．①②③ D．③④
7．（2019•岳池县模拟）如图是二次函数，，是常数，图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是．对于下列说法：①当时，；②；③；④，其中正确的是
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
8．（2019•福田区模拟）已知的部分图象如图所示，若，是一元二次方程的两个根，且，则下列说法正确的是
A． B． C． D．
9．（2019春•九龙坡区校级月考）已知二次函数的图象如图，则下列结论错误的是
A． B． C． D．
知识点4二次函数图象变换
1.图象的平移变换
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．
2．二次函数图象与对称变换
二次函数关于坐标轴对称式规律：
原式
关于x轴对称
关于y轴对称
关于原点对称
【典例】
1.作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2﹣1，则抛物线A所对应的函数表达式是__________
2.顶点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴相交于点A，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则△PAB的面积为______
【方法总结】
1.理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2.翻折和旋转：按照顶点的变化，进行变形。
【随堂练习】
1．（2019春•雨花区校级期末）要由抛物线得到地物线，则抛物线必须
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
2．（2019•沙坪坝区校级模拟）将抛物线向左平移2个单位，得到的新抛物线顶点坐标是
A． B． C． D．
3．（2019•渝中区校级模拟）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．得到的新抛物线的表达式为
A． B． C． D．
4．（2019•淄博）将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是
A． B． C． D．
5．（2019•陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线与关于轴对称，则符合条件的，的值为
A．， B．， C．， D．，
6．（2019•长安区一模）将抛物线绕其对称轴上一点旋转，得到一个新抛物线，若、两条抛物线的交点以及它们的顶点构成一个正方形，则点坐标为
A． B． C． D．
7．（2019•绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则这个变换可以是
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位
8．（2019•河南二模）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移1个单位长度，然后绕原点旋转得到抛物线．则原抛物线的顶点坐标是
A． B． C． D．
知识点5二次函数的解析式
1. 一般式：（，，为常数，）；
2. 顶点式：（，，为常数，）；
3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
【典例】
1.将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为_____ 将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为 ．
2.一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点．则这个二次函数的解析式为 ．
3.已知二次函数中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
则该二次函数的解析式为 ．
【方法总结】
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
【随堂练习】
1．（2019•邵阳县模拟）抛物线经过点，则的值为
A． B．2 C． D．
2．（2019•福田区校级模拟）已知二次函数的图象经过，，三点，则该函数解析式为
A． B． C． D．
3．（2018秋•镇原县期末）顶点在点，且图象经过原点的二次函数解析式是
A． B．
C． D．
4．（2019•乐清市一模）如图，在正方形中，、分别是、的中点，，，垂足分别为，，设，图中阴影部分面积为，则与之间的函数关系式是
A． B． C． D．
二．填空题（共2小题）
5．（2019•井研县模拟）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点的特征线有：，，，．如图所示，在平面直角坐标系中有正方形，点在第一象限，、分别在轴和轴上，抛物线经过、两点，顶点在正方形内部．
（1）写出点任意两条特征线为 ， ；
（2）若点有一条特征线是，则此抛物线的解析式为 ．
6．（2018秋•武陵区校级期末）已知二次函数图象经过点，和，则它的解析式为 ．
三．解答题（共2小题）
7．（2019•昆明三模）如图，已知抛物线与轴交于 ，于轴交于、，点坐标为，连接、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断的形状，并说明理由．
8．（2019春•海安市期末）一个二次函数的图象经过，，三点
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若另外三点，，，，，也在该二次函数图象上，求的值．
知识点6二次函数的最值
1. 一般地，抛物线的顶点就是抛物线的最低（高）点，当时，二次函数有最小（大）值；
2. 当自变量的范围中不包含顶点的横坐标时，要根据抛物线的增减规律来确定；
【典例】
1.已知二次函数y=﹣（x﹣h）2+1（为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，则h的值为________
2.已知二次函数y=x2+2x+m2+2m﹣1（m为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为_______
【方法总结】
a＞0，离对称轴越远值越大
a＜0，离对称轴越远值越小
点与对称轴距离
【随堂练习】
1．（2019•济南一模）己知二次函数为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对对应的函数值的最小值为10，则的值为
A．或4 B．0或6 C．1或3 D．或6
2．（2019•无锡模拟）四边形的两条对角线、所成的锐角为，当时，四边形的面积最大值是
A． B． C． D．
3．（2018秋•江干区期末）二次函数的最大值是
A． B．1 C．3 D．
4．（2019•浦东新区一模）已知二次函数，那么这个二次函数的图象有
A．最高点 B．最高点 C．最低点 D．最低点
5．（2018秋•淮阴区期末）二次函数有
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
6．（2019•武汉模拟）已知抛物线，当时，的最小值为，最大值为3，则的取值范围为
A． B． C． D．
7．（2019•成武县一模）已知二次函数的图象如图，当时，下列说法正确的是
A．有最小值、最大值0 B．有最小值、最大值6
C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6
8．（2018秋•滨海县期末）函数的最小值是
A．1 B． C．2 D．
综合运用: 函数的图象及其性质
1.写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式 （写一个即可）
2.已知反比例函数y=的图象经过点P（2，2），函数y=ax+b的图象与直线y=﹣x平行，并且经过反比例函数图象上一点Q（1，m）．则函数y=ax2+bx+有最 值，这个值是 ．
3.将抛物线y=x2+1向下平移1个单位后的抛物线的解析式为 ；若将原抛物线绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为 ．
4.已知二次函数y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
5.已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3
（1）用配方法将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在直角坐标系中，用五点法画出它的图象；
（3）当x为何值时，函数值y＜0．
6.如图是y=a（x+m）2的图象
（1）求二次函数的解析式；
（2）把抛物线y=﹣x2经过怎样的平移才能得到此抛物线；
（3）请指出该抛物线的顶点坐标、对称轴及函数具有的性质；
（4）将（1）中所求的抛物线绕顶点旋转180°，求旋转后的抛物线的解析式．
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