初中数学北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系1 锐角三角函数练习

第9讲 锐角三角函数

知识点1 正弦、余弦、正切

锐角三角函数相关概念

正弦：在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作：sinA。

余弦：在直角三角形中，任意一锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作：cosA。正切：在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作：tanA。

锐角A的正弦，余弦，正切，都叫做的锐角三角函数。

（1）三角函数的实质是一些比，这些比只与角的大小有关，当角的大小确定时，它的三角函数值就确定了，也就是说，三角函数值随角度的变化而变化。

（2）由定义可知，0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0。令y=sinA，y=cosA，y=tanA，则函数中自变量的取值范围均为：0函数的增减性分别为：

①y=sinA 在自变量的取值范围内，y随的增大而增大

②y=cosA 在自变量的取值范围内，y随的增大而减小

③y=tanA 在自变量的取值范围内，y随的增大而增大.

【典例】

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则BC=　　  ，sinA=　   

2.正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为　　    ．

3.如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD=　　        ．

【方法总结】

1、利用某个锐角的三角函数值时，一定要把这个角放在直角三角形中。

2、相等的角相对应的三角函数值相等。

3、注意在等腰三角形或圆中利用等角转换后，再利用某角的三角函数值进行求解。

4、注意在直角三角形中，可利用相应边比求某角的三角函数值，也可利用某角的三角函数值转换成直角三角形的相应边的长度之比.

【随堂练习】

1．（2017秋•萧山区期末）在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，给出下列结论：①sinA=cosB；②sin2A+cos2A=1；③tanB=；其中正确的是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

2．（2017秋•新津县期末）若角α，β都是锐角，以下结论：

①若α＜β，则sinα＜sinβ；②若α＜β，则cosα＜cosβ；③若α＜β，则tanα＜tanβ；④若α+β=90°，则sinα=cosβ．其中正确的是（　　）

A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④

3．（2017•津南区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，则tanA的值为（　　）

A． B． C． D．

4．（2017秋•龙口市校级月考）我们知道：sin30°=，tan30°=，sin45°=，tan45°=1，sin60°=，tan60°=，由此我们可以看到tan30°＞sin30°，tan45°＞sin45°，tan60°＞sin60°，那么对于任意锐角α，是否可以得到tanα＞sinα呢？请结合锐角三角函数的定义加以说明．

知识点2 特殊角的三角函数值

特殊角的三角函数值主要是指这三个角的三角函数值，如下表：

【典例】

1.已知α为锐角，且sin（α﹣10°）=，则α等于　      度．

2.4cos30°++|﹣2|=　　．

【方法总结】

1、由特殊角度可知其对应的三角函数值，由三角函数值可知道相关直角三角形中的对应边之比。

2、由角的三角函数值可逆向知道其相对应的锐角度数。

【随堂练习】

1．（2017秋•高新区期中）计算

（1）cos60°+

（2）﹣|1﹣tan60°|

2．（2017春•潮南区月考）计算：﹣sin60°（1﹣sin30°）

3．（2016秋•沙坪坝区校级期中）计算下列各式

（1）tan30°×sin45°+tan60°×cos60°

（2）sin230°+2sin60°+tan45°﹣tan60°+cos230°．

知识点3 解直角三角形

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

【典例】

1.在△ABC中，AD⊥BC于点D，若tan∠CAD=，AB=5，AD=3，则BC长为　    　．

2.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），其中m≠0，点B的坐标为（0，5），若AB=3，记||=a，则a的取值范围为　　       ．

3.四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD=，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD=　　        ．

【方法总结】

1、解有关坡角，坡度的问题时，要注意坡度与坡角的区别，坡度是坡角的正切值。

2、解有关方向角，方位角的问题时常利用正南，正北，正西，正东方向线构造直角三角形。

3、在构造直角三角形后，要注意平行线间角与角的关系，进行角度转换。

4、要学会在直角三角形中运用已知的边和角，选择合适的三角函数表示出所需的边长。

【随堂练习】

1．（2019春•海淀区校级月考）如图，是斜边上的高线，若，，则　　．

2．（2018秋•永州期末）我们规定：等腰三角形的底角与顶角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”．如图，是以为顶点的“特征值”为的等腰三角形，在外有一点，若，，，则　　度，的长是　　．

二．解答题（共5小题）

3．（2019•锡山区一模）已知：，，以为一边作正方形，使、两点落在直线的两侧．

（1）如图，当时，求及的长；

（2）当变化，且其它条件不变时，求的最大值，及相应的大小．

4．（2019•香坊区模拟）阅读下列材料：

题目：如图1，在中，已知，，，请用、表示．

解：如图2，作边上的中线，于，

则，，，

在中，

根据以上阅读，请解决下列问题：

（1）如图3，在中，，，，求，的值；

（2）上面阅读材料中，题目条件不变，请用或表示．

5．（2019•香坊区模拟）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段、线段的端点均在小正方形的顶点上．

（1）在图中以为边画，点在小正方形的格点上，使，且；

（2）在（1）的条件下，在图中画以为边且面积为3的，点在小正方形的格点上，使，连接，直接写出线段的长．

6．（2019•无锡模拟） 如图，已知，，是射线上一点．

（1）求点到的距离；

（2）在下列条件中，可以唯一确定长的是　　；（填写所有符合条件的序号）

①；②；③连接，的面积为126．

（3）在（2）的答案中，选择一个作为条件，画出草图，求．

（参考数据：，，

7．（2018•上海）如图，已知中，，．

（1）求边的长；

（2）设边的垂直平分线与边的交点为，求的值．

知识点4 解直角三角形应用

①坡度，坡角

 如图：AB表示水平面，BC表示坡面，我们把水平面AB与坡面BC所形成的称为坡角.

一般地，线段BE的长度称为斜坡BC的水平宽度，线段CE的长度称为斜坡BC的铅垂高度。如图；坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），用表示，记作h:l,坡度通常写成1：m的形式（m可为小数）。坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作。于是，显然，坡度越大，越大，坡面就越陡。

②方位角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90得角叫方位角.如图；都是方位角.

如图；目标方向OA表示的方位角为北偏东35；目标方向OB表示的方位角为南偏东75；目标方向OC表示的方位角为南偏西45，也称西南方向；目标方向OD表示的方位角为北偏西40.

③仰角、俯角

如图：OC为水平线，OD为铅垂线，OA,OB为视线，我们把视线OA与水平线OC所形成的把视线 OB与水平线OC所形成的称为俯角.在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角，当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角.

【典例】

1.某篮球架的侧面示意图如图所示，现测得如下数据：底部支架AB的长为1.74m，后拉杆AE的倾斜角∠EAB=53°，篮板MN到立柱BC的水平距离BH=1.74m，在篮板MN另一侧，与篮球架横伸臂DG等高度处安装篮筐，已知篮筐到地面的距离GH的标准高度为3.05m．则篮球架横伸臂DG的长约为　　m（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．

2.如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行        小时即可到达．（结果保留根号）

3.重庆市是著名的山城，重庆建筑多因地制宜，某中学依山而建，校门A处，有一斜坡AB，斜坡AB的坡度i=5：12，从A点沿斜坡行走了19.5米到达坡顶B处，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=53°，离B点5米远的E处有一花台，在花台E处仰望C的仰角∠CEF=63.4°，CF的延长线交校门处的水平面于点D，则DC的长______（参考数据：tan53°≈，cos53°≈，tan63.4°≈2，sin63.4°≈）

【方法总结】

1、解有关方向角，方位角的问题时常利用正南，正北，正西，正东方向线构造直角三角形。

2、在构造直角三角形后，要注意平行线间角与角的关系，进行角度转换。

【随堂练习】

1．（2019•沙坪坝区校级一模）春天是放风筝的好时节，小明为了让风筝顺利起飞，特地将风筝放在坡度为的山坡上，并站在视线刚好与风筝起飞点齐平的处，起风后小明开始往下跑26米至坡底处，并继续沿平地向前跑16米到达处后站在原地开始调整，小明将手中的线轴刚好举到与视线齐平处测得风筝的仰角是，此时风筝恰好升高到起飞时的正上方处．已知小明视线距地面高度为1.5米，图中风筝、、、、五点在同一平面，则风筝上升的垂直距离约为　　米．（参考数据：，，

A．34.2 B．32.7 C．31.2 D．22.7

二．解答题（共8小题）

2．（2019•陕西）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点，并在点处安装了测量器，测得古树的顶端的仰角为；再在的延长线上确定一点，使米，并在处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着方向移动，当移动带点时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端的像，此时，测得米，小明眼睛与地面的距离米，测倾器的高度米．已知点、、、在同一水平直线上，且、、均垂直于，求这棵古树的高度．（小平面镜的大小忽略不计）

3．（2019•惠来县模拟）如图，某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面的倾斜角由降为，如果改动前电梯的坡面长为12米，点、、在同一水平地面上，求改动后电梯水平宽度增加部分的长．

（结果精确到0.1，参考数据：，，

4．（2019•南阳二模）某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过（即，交通管理部门在离该公路处设置了一速度检测点，在如图所示的坐标系中，位于轴上，测速路段在轴上，点在的北偏西方向上，点在点的北偏东方向上．

（1）在图中直接标出表示和的角；

（2）写出点、点坐标；

（3）一辆汽车从点匀速行驶到点所用时间为．请你通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？（本小问中取

5．（2019•南召县二模）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中线段、、表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢上且长度均为，的倾斜角为，，支撑角钢、与地面接触点分别为、，垂直于地面，于点．点到地面的垂直距离为，求支撑角钢和的长度各是多少．（结果保留根号）

6．（2019•江北区模拟）如图，某人在山坡坡脚处测得电视塔尖点的仰角为，沿山坡向上走到处再测得点的仰角为，已知米，山坡坡度，且、、在同一条直线上．求电视塔的高度以及此人所在位置的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）

7．（2019•德城区一模）如图，渔政310船在南海海面上沿正东方向以20海里小时的速度匀速航行，在地观测到我渔船在东北方向上的我国某传统渔场，若渔政310船航向不变，航行半小时后到达处，此时观测到我渔船在北偏东方向上．问渔政310船再航行多久，离我渔船的距离最近？（假设我渔船捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值）

8．（2019•沂南县模拟）如图，热气球探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球与楼的水平距离为100米，试求这栋楼的高度．

9．（2019•南京模拟）如图，从地面上的点看一山坡上的电线杆，测得杆顶端点的仰角是，向前走到达点，测得杆顶端点和杆底端点的仰角分别是和．

（1）求的度数；

（2）求该电线杆的高度．（结果保留根号）

   综合运用：锐角三角函数

1.如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．

2.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，求tan∠AOD．

3.已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，求△ABC的面积。

4.如图，在△ABC中，AC=6，BC=10，tanC=，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，△DEF的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

5.在△ABC中，∠B、∠C 均为锐角，其对边分别为b、c，求证：=．

6.如图，由12个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知这个大矩形网格的宽为6，△ABC的顶点都在格点．

（1）求每个小矩形的长与宽；

（2）在矩形网格中找一格点E，使△ABE为直角三角形，求所有满足条件的线段AE的长度．

（3）求sin∠BAC的值．

7.如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC=37°，坝顶DC=3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）为1：0.5，坝底AB=14m．

（1）求坝高；

（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE=2DF，EF⊥BF，求DF的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）

8.如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．

（1）求灯杆CD的高度；

（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：=1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

9.日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数=L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．

如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i=1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．

（1）求山坡EF的水平宽度FH；

（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？

10.小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）