初中数学16.1 二次根式课堂检测

专题16.8以二次根式为载体的材料阅读题（重难点培优）

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1．（2019秋•郫都区期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2，善于思考的小明进行了以下探索：

设a+b（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+bm2+2n2+2mn，

∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　   　，b＝　   　；

（2）若a+4（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；

（3）化简：．

2．（2020秋•渝中区校级月考）先阅读，再解答问题：

恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．

例如：当x1时，求x3﹣x2﹣x+2的值．

为解答这道题，若直接把x1代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．

方法：将条件变形，因x1，得x﹣1，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．

由x﹣1，可得x2﹣2x﹣2＝0，即x2﹣2x＝2，x2＝2x+2．

原式x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣x+2＝2．

请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：

（1）若x1，求2x3+4x2﹣3x+1的值；

（2）已知x＝2，求的值．

3．（2020秋•碑林区校级月考）在解决问题“已知a，求3a2﹣6a﹣1的值”时，小明是这样分析与解答的：

∵a1，

∴a﹣1，

∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，

∴a2﹣2a＝1，

∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

（1）化简：．

（2）若a，求2a2﹣12a+1的值．

4．（2020秋•锦江区校级期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：

解：将第二个方程，变形为4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5．

然后把第一个方程，代入得2×3+y＝5，∴y＝﹣1．

把y＝﹣1代入第一个方程，得x＝4．

∴方程组的解为．

请你解决下列两个问题：

（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组．

（2）已知正数x，y满足，求的值．

5．（2020秋•兴庆区校级期中）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘分母的

有理化因式的方法就可以了，例如，．

（1）请你写出的有理化因式：　   　；

（2）请仿照上面给出的方法化简下列各式：

①；

②（b＞0，b≠1）；

（3）已知，，求的值．

6．（2020秋•达川区校级月考）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：

已知a，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：

∵a2，

∴a﹣2．

∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3．

∴a2﹣4a＝﹣1．

∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．

请你根据小明的解题过程，解决如下问题：

（1）　   　；

（2）化简；

（3）若a，求a4﹣4a3﹣4a+3的值．

7．（2020春•曲阜市期末）“双剑合璧，天下无敌”，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也常有这种相辅相成的“对子”，如：（2）（2）＝1，3，它们的积中不含根号，我们说这两个二次根式是互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：，7+4．

像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．

解决下列问题：

（1）将分母有理化得　   　；1的有理化因式是　   　；

（2）化简：　   　；

（3）化简：．

8．（2020春•包河区校级期中）观察、发现：1

（1）试化简：；

（2）直接写出：　   　；

（3）求值：．

9．（2019秋•渝中区校级月考）材料一：《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高惟，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．

材料二：恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．

例如当x时，求的值．为解答这题，若直接把x代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．

方法一：将条件变形，因x，得x﹣1．再把所求的代数式变形为关于（x﹣1）的表达式．原式（x3﹣2x2﹣2x）+2[x2（x﹣1）﹣x（x﹣1）﹣3x]+2[x（x﹣1）2﹣3x]+2（3x﹣3x）+2＝2．

方法二：先将条件化成整式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．

由x﹣1，可得x2﹣2x﹣2＝0，即x2﹣2x＝2，x2＝2x+2．

原式x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣x+2＝2

请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：

（1）若a2﹣3a+1＝0，求2a3﹣5a2﹣3的值；

（2）已知x，求的值．

10．（2019春•西湖区校级月考）在解决问题“已知，求2a2﹣8a+1的值”时，小明是这样分析与解答的：

∵

∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3

∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

（1）化简：

（2）若，求代数式a（a﹣1）的值．

11．（2019秋•淮阳县校级月考）阅读下面的文字再回答问题

甲、乙两人对题目：“化简并求值：，其中a”有不同的解答．

甲的解答是：aa；

乙的解答是aa

（1）填空：　   　的解答是错误的；

（2）解答错误的原因是未能正确运用二次根式的性质？请用含字母a的式子表示这个性质

（3）请你正确运用上述性质解决问题：当3＜x＜5时，化简

12．（2019•滦南县一模）在解决问题“已知a，求2a2﹣8a+1的值”时，小明是这样分析与解答的：

∵a2

∴a﹣2，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3

∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

（1）化简：

（2）若a，求3a2﹣6a﹣1的值．

13．（2020秋•建平县期末）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：

例1：，

例2：，，

（1）　   　；　   　

（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．

（3）利用上面的结论，求下列式子的值．．

14．（2020春•淮安区校级期末）阅读下面计算过程：

1；

；

2．

求：（1）的值．

（2）（n为正整数）的值．

（3）的值．

15．（2019春•右玉县期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：

（1）请用不同的方法化简；

（2）化简：．