苏科版第12章 二次根式综合与测试复习练习题

2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【苏科版】

专题12.7二次根式材料阅读探究大题专题（重难点培优）

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一．解答题（共25小题）

1．（2020秋•吴江区期中）像2；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号．

（1）；

（2）．

勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．

（3）化简：．

解：设x，易知，∴x＞0．

由：x2＝32．解得x．

即．

请你解决下列问题：

（1）2的有理化因式是　                　；

（2）化简：；

（3）化简：．

2．（2019春•沭阳县期末）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2，善于思考的小明进行了以下探索：

设a+b（其中a、b、m、n均为整数），则有：a+b，∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b，用含m、n的式子分别表示a、b得：a＝　       　，b＝　       　；

（2）利用所探索的结论，用完全平方式表示出：7+4　       　．

（3）请化简：

3．（2019秋•浦东新区校级月考）观察下面的式子：

S1＝1，S2＝1，S3＝1Sn＝1

（1）计算：　              　，　              　；猜想　              　（用n的代数式表示）；

（2）计算：S（用n的代数式表示）．

4．（2018秋•吴江区期中）阅读材料：

黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．

在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：，3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．

解决问题：

（1）4的有理化因式可以是　             　，分母有理化得　             　．

（2）计算：

①已知x，求x2+y2的值；

②．

5．（2019秋•郫都区期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2，善于思考的小明进行了以下探索：

设ab＝（mn）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有ab＝m2+2n2+2mn，

∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分ab的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m、n均为正整数时，若ab＝（mn）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　       　，b＝　       　；

（2）若a+4（mn）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；

（3）化简：．

6．（2020秋•碑林区校级月考）在解决问题“已知a，求3a2﹣6a﹣1的值”时，小明是这样分析与解答的：

∵a1，

∴a﹣1，

∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，

∴a2﹣2a＝1，

∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

（1）化简：．

（2）若a，求2a2﹣12a+1的值．

7．（2020秋•兴庆区校级期中）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘分母的

有理化因式的方法就可以了，例如，．

（1）请你写出的有理化因式：　              　；

（2）请仿照上面给出的方法化简下列各式：

①；

②（b＞0，b≠1）；

（3）已知，，求的值．

8．（2020春•曲阜市期末）“双剑合璧，天下无敌”，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也常有这种相辅相成的“对子”，如：（2）（2）＝1，3，它们的积中不含根号，我们说这两个二次根式是互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：，7+4．

像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．

解决下列问题：

（1）将分母有理化得　                　；1的有理化因式是　                　；

（2）化简：　                　；

（3）化简：．

9．（2020秋•达川区校级月考）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：

已知a，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：

∵a2，

∴a﹣2．

∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3．

∴a2﹣4a＝﹣1．

∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．

请你根据小明的解题过程，解决如下问题：

（1）　                　；

（2）化简；

（3）若a，求a4﹣4a3﹣4a+3的值．

10．（2019秋•渝中区校级月考）材料一：《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高惟，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．

材料二：恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．

例如当x时，求的值．为解答这题，若直接把x代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．

方法一：将条件变形，因x，得x﹣1．再把所求的代数式变形为关于（x﹣1）的表达式．原式（x3﹣2x2﹣2x）+2[x2（x﹣1）﹣x（x﹣1）﹣3x]+2[x（x﹣1）2﹣3x]+2（3x﹣3x）+2＝2．

方法二：先将条件化成整式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．

由x﹣1，可得x2﹣2x﹣2＝0，即x2﹣2x＝2，x2＝2x+2．

原式x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣x+2＝2

请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：

（1）若a2﹣3a+1＝0，求2a3﹣5a2﹣3的值；

（2）已知x，求的值．

11．（2019春•西湖区校级月考）在解决问题“已知，求2a2﹣8a+1的值”时，小明是这样分析与解答的：

∵

∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3

∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

（1）化简：；

（2）若，求代数式a（a﹣1）的值．

12．（2019•滦南县一模）在解决问题“已知a，求2a2﹣8a+1的值”时，小明是这样分析与解答的：

∵a2

∴a﹣2，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3

∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

（1）化简：

（2）若a，求3a2﹣6a﹣1的值．

13．（2020秋•沿河县期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：

（1）请用不同的方法化简；

（2）化简：．

14．（2020春•越城区校级月考）点P（x，y）是平面直角坐标系中的一点，点A（1，0）为x轴上的一点．

（1）用二次根式表示点P与点A的距离；

（2）当x＝4，y时，连接OP、PA，求PA+PO；

（3）若点P位于第二象限，且满足函数表达式y＝x+1，求的值．

15．（2020春•庐江县期末）观察下列等式：回答问题：

①11   

②11

③11，…

（1）根据上面三个等式的信息，猜想　                　；

（2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式；

（3）验证你的结果．

16．（2019春•西湖区校级月考）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2．

设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+bm2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法．

请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　       　，b＝　       　．

（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　       　+　       　（　       　+　       　）2；

（3）化简

17．（2019秋•淮阳区校级月考）阅读下面的文字再回答问题

甲、乙两人对题目：“化简并求值：，其中a”有不同的解答．

甲的解答是：aa；

乙的解答是aa

（1）填空：　 　的解答是错误的；

（2）解答错误的原因是未能正确运用二次根式的性质？请用含字母a的式子表示这个性质

（3）请你正确运用上述性质解决问题：当3＜x＜5时，化简

18．（2021春•朝阳区校级期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．

材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．

材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若y′，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．

请选择合适的材料解决下面的问题：

（1）点的“横负纵变点”为　                　，

点的“横负纵变点”为　                　；

（2）化简：；

（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M（，m）且，点M'是点M的“横负纵变点”，则点M'的坐标是　                　．

19．（2021春•长兴县月考）阅读下列材料，解答后面的问题：

在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：

①要使二次根式有意义，则需a﹣2≥0，解得：a≥2；

②化简：，则需计算1，而1，

所以11．

（1）根据二次根式的性质，要使成立，求a的取值范围；

（2）利用①中的提示，请解答：如果b1，求a+b的值；

（3）利用②中的结论，计算：．

20．（2020秋•梁平区期末）阅读下述材料：

我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：

与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：．

分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：

比较和的大小．可以先将它们分子有理化．如下：，．

因为，所以．

再例如：求y的最大值．做法如下：

解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y．

当x＝2时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．

解决下述问题：

（1）比较34和2的大小；

（2）求y的最大值．

21．（2020秋•榆林月考）阅读下列解题过程：；请回答下列问题：

（1）观察上面的解题过程，化简：①②

（2）利用上面提供的解法，请计算：．

22．（2020春•昭通期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2020年6月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算：7，7，不难发现，结果都是7．

（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；

（2）请你利用整式的运算对以上规律加以证明．

23．（2020春•霍邱县期末）观察以下等式：

第1个等式：，

第2个等式：，

第3个等式：，

第4个等式：，

…

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第5个等式：　                　；

（2）写出你猜想的第n个等式：　                　（用含n的等式表示），并证明其正确性．

24．（2020春•孟村县期末）观察下列各式，，，，

（1）化简以上各式，并计算出结果；

（2）以上各式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果

（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．

25．（2019春•南丹县期末）阅读下面问题：

1；

2，根据以上解法

试求：（1）的值；

（2）（n为正整数）的值

（3）的值．