北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形1 菱形的性质与判定达标测试

这是一份北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形1 菱形的性质与判定达标测试，文件包含北师大版初三数学上册秋季班讲义第1讲特殊的平行四边形--尖子班教师版docx、北师大版初三数学上册秋季班讲义第1讲特殊的平行四边形--尖子班学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。
第1讲  特殊的平行四边形 知识点1：矩形1.矩形的性质：（1）矩形具备平行四边形的所有性质；（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线平分且相等（4）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；它也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。2.矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）对角线相等的平行四边形是矩形
（3）有三个角是直角的四边形是矩形【典例】1.矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠AOB=60°，AC=10．（1）求矩形较短边的长．（2）矩形较长边的长．（3）矩形的面积． 【方法总结】本题主要考察矩形对角线的性质——相等且互相平分、矩形的四个角都是直角。（1）矩形对角线与一边组成的三角形是等腰三角形，根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形即可得出结论；（2）在上一问的基础上通过勾股定理即可求出长边；（3）直接对公式的应用。2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，DF⊥AC于F点，若∠ADF=3∠FDC，则∠DEC的度数是____ 【方法总结】本题主要考查了矩形的性质——四个角都是直角、对角线相等．本题要求两条对角线的较小的夹角∠DEC，利用矩形的对角线相等以及等腰三角形的性质，先求出∠DCE即对角线与短边的夹角即可得出结论；求∠DCE需要将其放到直角三角形中求出与其互余的锐角，综合已知条件：两互余且有倍数关系．解这种类型题需要将已知与所求相结合，引入方程思想可以将解题过程简化．3.已知，如图，△ABC中，CE、CF分别是∠ACB和它的邻补角∠ACD的平分线，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．求证：（1）四边形AECF是矩形；（2）MN与BC的位置有何关系，证明你的结论．   【方法总结】本题主要考察矩形的判定以及矩形性质的运用。第（1）问给出了AE⊥CE、AF⊥CF，可以得出四边形有两个直角，欲证明该四边形是矩形，可以找第三个直角。题中给出了将平角一分为二的两个角的平分线，选取中间的两个小角恰好可以组成一个直角，利用有三个角是直角的四边形是矩形判定得出结论。第（2）问利用矩形的性质——对角线相等且平分，得出矩形两条对角线与一边组成的三角形是等腰三角形，结合角平分线的性质判定平行线。【随堂练习】1．（2018•兰州模拟）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．   　2．（2018•罗平县三模）如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．                     知识点2：菱形1.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；2.菱形的性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质；           （2）菱形的四边都相等；           （3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；           （4）菱形是轴对称图形，也是中心对称图形；菱形的面积公式：菱形的面积等于对角线乘积的一半。3.菱形的判定定理：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形；【典例】1.如图所示，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=2a（1）求∠ABC的度数；（2）求对角线AC的长；（3）求菱形ABCD的面积．         【方法总结】本题主要考查了菱形的性质——四边相等且对角线互相垂直平分。第（1）问根据已知DE垂直平分AB以及AD=AB，得出直角三角形的直角边和斜边的关系，推出了直角三角形30°的锐角，进而求出菱形的内角。第（2）问要求对角线的长先求对角线的一半长，通过添加辅助线构建出等边三角形和直角三角形，用勾股定理求出结果。（3）直接套用公式即可。2.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F．（1）求证：OE=CB；（2）如果OC：OB=1：2，OE=，求菱形ABCD的面积．           【方法总结】本题主要考查菱形的性质——对角线垂直且平分。第（1）问根据菱形的对角线互相垂直，与对角线平行的直线也互相垂直，得出四边形OBEC是矩形；第（2）问先根据菱形对角线垂直构建直角三角形，用勾股定理求出对角线的一半长，再根据对角线互相平分求出对角线的长。3.已知：如图，△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF∥BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形．            【方法总结】本题是菱形的判定与三角形全等的综合题。通过两次证明三角形全等得出四边形的两组邻边相等，两对角相等；再加上平行线的性质，证明第三组邻边相等，进而得出四边都相等。根据菱形的判定定理得出结论。用边的关系证明四边形是菱形的时候，经常会用到三角形全等等方法。【随堂练习】1．（2018•灌南县模拟）如图，已知点E，F分别是▱ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．           　2．（2018春•建湖县期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=40cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．                    知识点3：正方形1.正方形的性质：（1）正方形的四边都相等，四个角都是90°；（2）正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。2.正方形的判定方法：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）有一个内角是直角的菱形是正方形；（3）对角线互相垂直的矩形是正方形；（4）对角线相等的菱形是正方形；（5）邻边相等且有一个内角是直角的平行四边形是正方形；（6）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（7）有三个内角为直角且有一组邻边相等的四边形是正方形．【典例】1.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．（1）试说明∠BAE=∠DAF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形，并说明你的理由．                【方法总结】本题主要考查正方形的性质——四边相等、四个角是直角；对角线垂直平分且相等。第（1）问利用正方形的边、角相等，证明三角形全等，对应角相等。第（2）问利用正方形一条对角线平分平分一组对角以及四边等、四角等证明三角形全等得出对应边相等，推出对角线互相平分的四边形是平行四边形。2.如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点E，连结EC、AD（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）当∠BAC=90°时，求证：四边形ADCE是正方形．                 【方法总结】本题主要考察正方形的判定方法。判定一个图形为正方形时常用的方法有：（1）矩形具备什么条件是正方形；（2）菱形具备什么条件是正方形；（3）平行四边形具备什么条件变成正方形；（4）四边形具备什么条件变成四边形。判定时需要从边、角、对角线的角度选择需要的条件。本题证明四边形ADCE是正方形先证明它是矩形，再证明对角线垂直的矩形是正方形。【随堂练习】1．（2018春•韩城市期末）如图，以△ABC的各边为边长，在边BC的同侧分别作正方形ABDI，正方形BCFE，正方形ACHG，连接AD，DE，EG．（1）求证：△BDE≌△BAC；（2）①设∠BAC=α，请用含α的代数式表示∠EDA，∠DAG；②求证：四边形ADEG是平行四边形；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？请说明理由．             　2．（2018春•平定县期末）如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N，PE⊥PB交AD于点E．（1）求证：四边形MANP是正方形；（2）求证：EM=BN．                综合运用1.如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB、BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD、EC．若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．             2.如图，将□ABCD的边BA延长到点E，使AE=AB，连接EC，交AD于点F，连接AC、ED．（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；（2）若∠AFC=2∠B，求证：四边形ACDE是矩形．           3.如图，在菱形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是BC边延长线上一点，且BD⊥DE．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）若AC=3，BD=4，求△DCE的周长．         4.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，点F在BD上，且 BE=DF 连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AC平分∠HAG，求证：四边形AGCH是菱形．              5.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，           ∠AOF=90°．求证：BE=CF．          6.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗？请说明理由（提示：可作DG⊥AB于点G）