北师大版初三数学上册（秋季班）讲义 第2讲 一元二次方程--尖子班

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第2讲 一元二次方程知识点1 一元二次方程的概念及解法一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程.一般形式：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax²+bx+c=0(a≠0)的形式．称之为一元二次方程的一般形式；ax²，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；公式法又叫万能法，对于任何的一元二次方程都适用，解题时，一定要准确判断a、b、c的值，熟练记忆并理解公式的推导和结论（1）一元二次方程的根的判别式△=b2－4ac 当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根； 当△＜0时，没有实数根．反过来也成立（2）一元二次方程的求根公式是移项得：二次项系数化为1，得：：即当时，即∴4. 因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解【典例】一元二次方程定义及一般形式1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）A. B. C. D. 2.把一元二次方程化成一般形其中、、分别为（ ）A. 、、 B. 、、C. 、、 D. 、、【方法总结】（1）一元二次方程必须满足的条件：①含有一个未知数；②未知数最高次数是2；③二次项系数不为0；是整式方程（2）二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应首先将方程化为一般形式；（3）项的系数包括它前面的符号。如：x²+5x+3=0的一次项系数是5，而不是5x；3x²+4x-1=0的常数项是-1而不是1；　【典例2】直接开平方法1.若为方程式的一根，为方程式的一根，且、都是正数，则之值为何?( )A. 5 B. 6 C. D. 2.解方程.【方法总结】形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法；如果a＜0，则方程无解【典例3】配方法1.已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成下列的（ ）A. B. C. D. 2.用配方法解方程：【方法总结】用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④化原方程为的形式；⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n＜0，则原方程无解【典例4】公式法1.一元二次方程4x2﹣2x+=0的根的情况是（　　）A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根 D. 无法判断2.用公式法解方程：.【方法总结】解题技巧：（1）一元二次方程的根的判别式△=b2－4ac 当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根； 当△＜0时，没有实数根．反过来也成立（2）一元二次方程的求根公式是【典例5】因式分解法1.解方程（x-1）（x+2）=2（x+2）2.解方程：.【方法总结】因式分解法的解题技巧是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解【随堂练习】1．（2019春•昌江区校级期中）若，是方程的两根，则　　2．（2019•泸县模拟）设，是方程的两个实数根，则的值为　　；3．（2019•简阳市模拟）设、是方程的两根，则　　．二．解答题（共4小题）4．（2018秋•黄石期末）关于的一元二次方程为．（1）求出方程的根；（2）为何整数时，此方程的两个根都为正整数？5．（2016秋•工业园区期末）已知关于的方程．（1）若此方程的一个根为，求的值；（2）求证：无论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．6．（2016春•杭州校级期中）如果方程的两个根是，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题：（1）若，，求方程的两根．（2）已知实数、满足，，求的值；（3）已知关于的方程，，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．7．（2019•湖北自主招生）边长为整数的直角三角形若其两直角边长是方程的两根，求的值并确定直角三角形三边之长．知识点2：根与系数的关系根与系数关系又称为韦达定理：(1)如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1·x2＝eq \f(c,a)(2)如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q【典例】1.已知关于x的方程 kx2-2 (k+1) x+k-1=0 有两个不相等的实数根，(1) 求k的取值范围；(2) 是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.【方法总结】解题技巧：(1)如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1·x2＝eq \f(c,a)(2)如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q(3)当方程的两个根分别为x1、x2，满足条件的方程为（x-x1）（x-x2）=0(4)常常配合平方差公式和完全平方公式完成解题【随堂练习】1．（2019春•昌江区校级期中）若，是方程的两根，则　　2．（2019•泸县模拟）设，是方程的两个实数根，则的值为　　；3．（2019•简阳市模拟）设、是方程的两根，则　　．二．解答题（共7小题）4．（2018秋•双峰县期末）关于的一元二次方程的两个实数根分别为、．（1）求的取值范围；（2）若，求的值．5．（2019•泸县模拟）已知关于的一元二次方程．（1）若方程有实数根，求实数的取值范围．（2）若方程两实数根为、，且满足，求实数的值．6．（2017•十堰）已知关于的方程有两个实数根，．（1）求实数的取值范围；（2）若，满足，求实数的值．7．（2019•湖北自主招生）边长为整数的直角三角形若其两直角边长是方程的两根，求的值并确定直角三角形三边之长．8．（2019•十堰模拟）已知关于的一元二次方程有实根．（1）求的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值．9．（2018秋•新疆期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为，，当时，求的值．10．（2019春•寿县期末）若关于的一元二次方程有实数根、．（1）求实数的取值范围；（2）设，求的最小值．知识点3：一元二次方程的应用列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.审题一定要看清楚数值是总量还是经过2次变化后的量。一件商品的利润=售价-进价。总利润=一件商品的利润×卖出去的数量。【典例1】增长率或降低率1.为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．年市政府共投资亿元人民币建设了廉租房万平方米，预计到年底三年共累计投资亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，求到年底共建设了多少万平方米廉租房．【方法总结】解这类题的方法是：(1)增长率问题：平均增长率公式为(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)(2)降低率问题：平均降低率公式为(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量)。【典例2】利润问题1.某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？【方法总结】列一元二次方程解决销售利润方案问题时，要理清进价、原来的售价、上升价格或下调价格，以及销售数量与售价之间满足的函数关系.如果列出的方程是一元二次方程，在解方程时需要根据应用题的实际意义来决定方程根的取舍问题.销售问题公式：价格上升公式为 （原来的售价+上升的钱数—进价）× 销售数量 = 利润价格下调公式为 （原来的售价—下降的钱数—进价）× 销售数量 = 利润【典例3】面积问题1.某中学标准化建设规划在校园内的一块长米，宽米的矩形场地上修建三条同样宽的人行道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草（如图所示），若使每一块草坪的面积都为平方米．求人行道的宽。2.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为．则长度为多少【方法总结】两种不同的算法求图形的面积：利用特殊图形（三角形，长方形，正方形等）的面积公式求；三角形面积=底乘以高的一半；正方形面积=边长的平方；矩形的面积=长乘以宽；②利用面积的加减列式求解不规则图形面积要转化为规则的图形面积来求。【典例4】动点问题1.已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4平方厘米？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7平方厘米？说明理由．2.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90度，BC=16，AD=21，DC=12，动点P从点D出发，沿线段DA方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动，设运动时间为t秒．①设△BPQ的面积为S，求S和t之间的函数关系式；当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三等形？（分类讨论）【方法总结】解决此类与运动、变化有关的问题，重在运动中分析，变化中求解。首先，要把握运动规律，寻求运动中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静”中探索运动中“动”的一般规律。其次，通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动中是否保留或具有某种性质，要用运动的眼光观察各种可能的情况进行分类讨论，较为精确的把每种情况一一呈现出来。要学会运动问题静态化，在整个过程中要深刻理解分类讨论、数学结合等数学思想。【随堂练习】1．（2018秋•临渭区期末）列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，设这种玩具的销售单价为元．（1）根据销售单价每降低1元，每天可多售出2个，则现在销售数量为　　个（用含有的代数式表示）（2）当为多少元时，厂家每天可获利润20000元？2．（2018秋•于洪区期末）某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．（1）当售价为22万元辆时，求平均每周的销售利润．（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．3．（2019春•武昌区期中）如图，为美化环境，某小区计划在一块长方形空地上修建一个面积为1500平方米的长方形草坪，并将草坪四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为60米，宽为40米．（1）求通道的宽度；（2）晨光园艺公司承揽了该小区草坪的种植工程，计划种植“四季青”和“黑麦草”两种绿草，该公司种植“四季青”的单价是30元平方米，超过50平方米后，每多出5平方米，所有“四季青”的种植单价可降低1元，但单价不低于20元平方米，已知小区种植“四季青”的面积超过了50平方米，支付晨光园艺公司种植“四季青”的费用为2000元，求种植“四季青”的面积．4．（2018秋•雅安期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么买件衬衫应降价多少元？5．（2019春•黄州区校级月考）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润为120元，为了扩大销量，尽快减少库存，超市准备适当降价，据测算，若每箱降价2元，则每天可多售出4箱．（1）如果要使每天销售该饮料获利14000元，则每箱应降价多少元．（2）每天销售该饮料获利能达到14500元吗？若能，则每箱应降价多少？若不能，请说明理由．6．（2018秋•江海区期末）某市2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元．（1）求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2017年该地区将投入教育经费多少万元．7．（2019•沈北新区二模）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量减少10个．因受库存影响，每批次进货个数不得超过180个．商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价多少元？8．（2019•咸宁一模）如图所示，中，，，．（1）点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，经过几秒，使的面积等于？（2）点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（3）若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，问几秒后，的面积为？ 综合运用：一元二次方程1.解一元二次方程2.用配方法解方程：.3.用公式法解方程.4.解方程（因式分解法）5.果农李明种植的草莓计划以每千克元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．李明为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克元的单价对外批发销售．（1）求李明平均每次下调的百分率；（2）小刘准备到李明处购买吨草莓，因为数量多，李明决定再给予两种优惠方案以供其选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金元．试问小刘选择哪种方案更优惠，优惠了多少？请说明理由．6.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？7.山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克元，按每千克元出售，平均每天可售出千克，后来经过市场调查发现，单价每降低元，则平均每天的销售可增加千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利元，请回答：（1）为尽可能让利于顾客，每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？8.如图，在宽为，长为矩形地面上修筑宽度一样的道路（图中阴影部分），余下的种植草坪，要使其草坪面积为，则宽为多少9.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动. （1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.