北师大版初三数学上册（秋季班）讲义 第2讲 一元二次方程--提高班

这是一份北师大版初三数学上册（秋季班）讲义 第2讲 一元二次方程--提高班，文件包含北师大版初三数学上册秋季班讲义第2讲一元二次方程--提高班教师版docx、北师大版初三数学上册秋季班讲义第2讲一元二次方程--提高班学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。
第2讲 一元二次方程

知识点1 一元二次方程的概念及解法
一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程.
一般形式：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax²+bx+c=0(a≠0)的形式．称之为一元二次方程的一般形式；ax²，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数
一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.
1. 形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法
2. 用配方法解一元二次方程的一般步骤是：
①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；
②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；
3. 公式法又叫万能法，对于任何的一元二次方程都适用，解题时，一定要准确判断a、b、c的值，熟练记忆并理解公式的推导和结论

（1）一元二次方程的根的判别式△=b2－4ac
当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根．反过来也成立
（2）一元二次方程的求根公式是

移项得：
二次项系数化为1，得：
：
即
当时，
即
∴
4. 因式分解法的一般步骤是：
①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；
③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解
【典例】一元二次方程定义及一般形式
1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C.
【解析】解：A：不是整式方程，故本选项错误；
B：当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；
C：由原方程，得x2+x-3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确；
D：方程3x2-2xy-5y2=0中含有两个未知数；故本选项错误．故选C．
2.把一元二次方程化成一般形其中、、分别为（ ）
A. 、、 B. 、、
C. 、、 D. 、、
【答案】B.
【解析】原方程可整理为：， ，，．
【方法总结】
（1）一元二次方程必须满足的条件：
①含有一个未知数；②未知数最高次数是2；③二次项系数不为0；是整式方程
（2）二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应首先将方程化为一般形式；
（3）项的系数包括它前面的符号。如：x²+5x+3=0的一次项系数是5，而不是5x；
3x²+4x-1=0的常数项是-1而不是1；

　
【典例2】直接开平方法
1.若为方程式的一根，为方程式的一根，且、都是正数，则之值为何?( )
A. 5 B. 6 C. D.
【答案】B.
【解析】由得，∴ ，，
又是正数且是此方程的根，
∴ ．同理，
∴ ．
2.解方程.
【解析】根据平方根的定义，得，即，．
【方法总结】
形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法；如果a＜0，则方程无解


【典例3】配方法
1.已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成下列的（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，据题意得p=3，9﹣q=7，
∴p=3，q=2，
∴是，
∴，
∴，
∴，即
2.用配方法解方程：
【解析】





【方法总结】
用配方法解一元二次方程的一般步骤是：
①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；
②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；
④化原方程为的形式；
⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n＜0，则原方程无解


【典例4】公式法
1.一元二次方程4x2﹣2x+=0的根的情况是（　　）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
【答案】B.
【解析】解：在方程4x2﹣2x+=0中，△=（﹣2）2﹣4×4×（）=0，
∴一元二次方程4x2﹣2x+=0有两个相等的实数根．
故选B
2.用公式法解方程：.
【解析】



【方法总结】
解题技巧：（1）一元二次方程的根的判别式△=b2－4ac
当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根．反过来也成立
（2）一元二次方程的求根公式是



【典例5】因式分解法
1.解方程（x-1）（x+2）=2（x+2）
【解析】原方程可以整理为
∴或
∴
2.解方程：.
【解析】

解得．
【方法总结】
因式分解法的解题技巧是：
①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；
③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解
【随堂练习】
1．（2019•山西模拟）一元二次方程配方后可化为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
，
故选：．
2．（2019春•温州期末）若关于的方程无实数根，则的值可以是下列选项中的　　
A． B． C．9 D．10
【解答】解：关于的方程无实数根，
△，
解得：，
只有选项符合，
故选：．
3．（2019春•乳山市期末）已知，是关于的方程的两个实数根，且满足，则的值为　　
A．3 B．3或 C．2 D．0或2
【解答】解：，是关于的方程的两个实数根，
，，
，
，
，
，
解得：或，
当时，方程为，此方程有解；
当时，方程为，△，此时方程无解，
所以，
故选：．
4．（2019春•滨海新区期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围　　
A． B．且 C． D．且
【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且△，
解得：且，
故选：．
5．（2019•聊城）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为　　
A． B．且 C． D．且
【解答】解：，
关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：且．
故选：．
二．填空题（共1小题）
6．（2019春•平房区期末）若一元二次方程的两个根分别是矩形的边长，则矩形对角线长为　10　．
【解答】解：
解方程得：，，
即，，
四边形是矩形，
，，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：10．
三．解答题（共4小题）
7．（2019春•历城区期末）解下列方程：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）方程两边都乘以得：，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解是；

（2），
，
，
，．
8．（2019春•乳山市期末）【阅读材料】
解方程：
解：设，则原方程变为
解得，，．
当时，，解得．
当，解得．
所以，原方程的解为．，，．
【问题解决】
利用上述方法，解方程：．
【解答】解：，
，
设，则原方程变为，
解得，，，
当时，，解得或，
当，解得，
所以，原方程的解为，，，．
9．（2019春•房山区期末）当是什么整数时，关于的一元二次方程与的根都是整数．
【解答】解：关于的一元二次方程与有解，
则，
△，
，
△，即；
，
△，
；
，且，而是整数，
，，
①当时，方程为，方程的解是，；
即，，此时方程的解不是整数；
②当时，方程为，方程的解是，；
即，方程的解是；
综合上述：当是1时，与的根都是整数．
10．（2019•黄石港区校级模拟）关于的一元二次方程
（1）求方程的解；
（2）若方程的解为整数，求值．
【解答】解：（1）该方程是关于的一元二次方程，
，


解得或
方程的解为或．
（2）方程的解为或．
若方程的解为整数，
①当，，时，是整数，此时、5、3、9、15、；
②当，，，时，是整数，此时、8、11、7、12、6、15、3．
综上可知，、7、15时原方程的解为整数．

知识点2：根与系数的关系
根与系数关系又称为韦达定理：
(1)如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1·x2＝
(2)如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q
【典例】
1.已知关于x的方程 kx2-2 (k+1) x+k-1=0 有两个不相等的实数根，
(1) 求k的取值范围；
(2) 是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
【解析】解：(1) ∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=[-2(k＋1)]2－4k(k-1)>0，且k≠0，
解得k>-，且k≠0 .即k的取值范围是k>-，且k≠0 .
(2) 假设存在实数k，使得方程的两个实数根x1 , x2的倒数和为0.
则x1 ，x2不为0，且，即，且，解得k=-1 .
而k=-1 与方程有两个不相等实根的条件k>-，且k≠0矛盾，
故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k不存在 .
【方法总结】
解题技巧：
(1)如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1·x2＝
(2)如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q
(3)当方程的两个根分别为x1、x2，满足条件的方程为（x-x1）（x-x2）=0
(4)常常配合平方差公式和完全平方公式完成解题
【随堂练习】
1．（2019春•乳山市期末）已知，是关于的方程的两个实数根，且满足，则的值为　　
A．3 B．3或 C．2 D．0或2
【解答】解：，是关于的方程的两个实数根，
，，
，
，
，
，
解得：或，
当时，方程为，此方程有解；
当时，方程为，△，此时方程无解，
所以，
故选：．
2．（2019•鄂州）关于的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则的值为　　
A． B． C． D．0
【解答】解：，
，
，
把代入得：，
解得：，
故选：．
3．（2019•河南一模）关于的一元二次方程有一个根为，则另一根为　　
A．1 B． C．2 D．3
【解答】解：设方程的另一个根为，
关于的一元二次方程有一个根为，
由根与系数的关系得：，
解得：，
即方程的另一个根为1，
故选：．
4．（2019•中原区校级模拟）下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：．方程的两根之和为，不符合题意；
．方程的两根之和为2，符合题意；
．方程的两根之和为，不符合题意；
．方程的两根之和为0，不符合题意；
故选：．
5．（2019•长沙模拟）若，是一元二次方程的两个根，则的值是　　
A． B．3 C． D．1
【解答】解：，是一元二次方程的两个根，
，，
则，
故选：．
6．（2018秋•伍家岗区期末）已知一元二次方程的两个根为、，则的值是　　
A． B． C．4 D．2
【解答】解：由根与系数的关系可知：，
所以的值是，
故选：．
7．（2018秋•高港区期末）已知，是的两个根，则是　　
A． B．4 C．1 D．
【解答】解：，是的两个根，
，
故选：．
8．（2018秋•茂名期末）若、是一元二次方程的两个不相等的根，则的值是　　
A．3 B． C． D．15
【解答】解：、是一元二次方程的两个不相等的根，
，即，，
则



，
故选：．
9．（2019•呼和浩特模拟）已知，是关于的方程的两根，且满足，那么的值为　　
A．5 B． C．4 D．
【解答】解：，是关于的方程的两根，
，，
，
，
解得：，
故选：．
二．填空题（共6小题）
10．（2019•海门市二模）若、是关于一元二次方程的两实数根，则的值为　　．
【解答】解：、是关于一元二次方程的两实数根，
，，
，
故答案为：．
11．（2019•平江县二模）在等腰中，、、的对边分别为、，，已知，和是关于的方程的两个实数根，则的周长是　7或　．
【解答】解：当时，关于的方程的两个相等的实数根，则△，解得或（舍去），
当时，方程变形为，此时，
所以此时的周长为；
当，把代入方程得，解得，方程变形为，则，解得，
所以此时的周长为；
当，同理可得的周长为；
综上所述，的周长为7或．
故答案为7或．
12．（2019•江油市模拟）设，是方程的两个实数根，则的值为　2019　．
【解答】解：根据题意得：，


，
，
，
把代入原式得：
原式


，
，
故答案为：2019．
13．（2019•双流区模拟）已知，是一元二次方程的两实数根，则的值是　　．
【解答】解：、是一元二次方程的两实数根，
、、、，
．
故答案为：．
14．（2019•诸城市一模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．设方程的两个实数根分别为，，且，则的值是　3　．
【解答】解：由题意知，，
，
，即，
解得或，
方程有两个不相等的实数根，
△，
解得：，
，
故答案为：3．
15．（2019•新余一模）二次项系数为2的一元二次方程的两个根分别是和，那么这个方程是　　．
【解答】解：设这个方程为，将原方程变形为，
一元二次方程的两个根分别为和．
，
．
解得，．
则所求方程为．
故答案是：．

知识点3：一元二次方程的应用
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.审题一定要看清楚数值是总量还是经过2次变化后的量。
一件商品的利润=售价-进价。
总利润=一件商品的利润×卖出去的数量。
【典例1】增长率或降低率
1.为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．年市政府共投资亿元人民币建设了廉租房万平方米，预计到年底三年共累计投资亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，求到年底共建设了多少万平方米廉租房．
【解析】（1）设每年市政府投资的增长率为．
根据题意，得：，
整理，得：，
解之，得：，
∴，（舍去），
∴，
答：每年市政府投资的增长率为．
（2）设到年底共建廉租房面积，
则可得：，
∴（万平方米）．
【方法总结】
解这类题的方法是：
(1)增长率问题：平均增长率公式为(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)
(2)降低率问题：平均降低率公式为(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量)。


【典例2】利润问题
1.某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？
【解析】设每个商品的定价是x元，
由题意，得（x-40）[180-10（x-52）]=2000，
整理，得x2-110x+3000=0，
解得x1=50，x2=60．
当x=50时，进货180-10（50-52）=200个＞180个，不符合题意，舍去；
当x=60时，进货180-10（60-52）=100个＜180个，符合题意．
答：当该商品每个定价为60元时，进货100个．
【方法总结】
列一元二次方程解决销售利润方案问题时，要理清进价、原来的售价、上升价格或下调价格，以及销售数量与售价之间满足的函数关系.如果列出的方程是一元二次方程，在解方程时需要根据应用题的实际意义来决定方程根的取舍问题.
销售问题公式：
价格上升公式为 （原来的售价+上升的钱数—进价）× 销售数量 = 利润
价格下调公式为 （原来的售价—下降的钱数—进价）× 销售数量 = 利润


【典例3】面积问题
1.某中学标准化建设规划在校园内的一块长米，宽米的矩形场地上修建三条同样宽的人行道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草（如图所示），若使每一块草坪的面积都为平方米．求人行道的宽。

【解析】解：设人行道路的宽为米，根据题意得：
；
解得：或（舍去）
答：人行道宽2米。
2.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为．则长度为多少

【解析】解：设m，则m．
根据题意可得，，
解得：，，
当，，
故（不合题意舍去），
答：长度为15m。
【方法总结】
两种不同的算法求图形的面积：
① 利用特殊图形（三角形，长方形，正方形等）的面积公式求；
三角形面积=底乘以高的一半；正方形面积=边长的平方；矩形的面积=长乘以宽；
②利用面积的加减列式求解
不规则图形面积要转化为规则的图形面积来求。

【典例4】动点问题
1.已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4平方厘米？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7平方厘米？说明理由．

【解析】解：设t秒后，则AP=t，BP=5-t；  BQ=2t．
（1）因为S△PBQ=BP×BQ÷2，
        所以2t（5-t）=4×2
        解得：t=1或4．（t=4秒不合题意，舍去）
        故：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2．
（2）PQ=5，则PQ2=25=BP2+BQ2，
        即25=（5-t）2+（2t）2，t=0（舍去）或t=2．
        故2秒后，PQ的长度为5cm．
（3）令S△PQB=7，即：BP×BQ÷2=7,
       （5-t）×2t=7×2
        整理得：t2-5t+7=0．
        由于b2-4ac=25-28=-3＜0，则方程没有实数根．
        所以，在（1）中，△PQB的面积不等于7cm2．
2.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90度，BC=16，AD=21，DC=12，动点P从点D出发，沿线段DA方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动，设运动时间为t秒．
①设△BPQ的面积为S，求S和t之间的函数关系式；
②当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三等形？（分类讨论）

【解析】解： ①作PM⊥BC，垂足为M．
则四边形PDCM为矩形．
∴PM=DC=12
∵QB=16﹣t，
∴S=．
②可知CM=PD=2t，CQ=t，
若以B、P、Q三顶为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
第一种：PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=PM2+QM2=122+t2，解t=．
第二种：BP=BQ，在Rt△PMB中，BP2=（16﹣2t）2+122，3t2﹣32t+144=0无实根，
∴PB≠BQ．
第三种：若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16﹣2t）2+122，解得t1=，t2=16（舍去）
综上可知：t=或t=，B、P、Q三点为顶点三角形是等腰三角形．

【方法总结】
解决此类与运动、变化有关的问题，重在运动中分析，变化中求解。
首先，要把握运动规律，寻求运动中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静”中探索运动中“动”的一般规律。
其次，通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动中是否保留或具有某种性质，要用运动的眼光观察各种可能的情况进行分类讨论，较为精确的把每种情况一一呈现出来。要学会运动问题静态化，在整个过程中要深刻理解分类讨论、数学结合等数学思想。
【随堂练习】
1．（2019春•松北区期末）哈市某专卖店销售某品牌服装，该服装进价为每件80元，当每件服装售价为240元时，月销售量为200件，该专卖店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当销售单价每降价10元，月销量就增加20件．设每件服装售价为元，该专卖店的月销售量为件．
（1）求与的关系式；
（2）在某月进货时，该专卖店进货款不超过18000元，售价定为多少元可使月利润达到33000元？
【解答】解：（1）依题意得：．

（2）由题意，得
整理，得，
即，
，，
当时，成本不符合要求，舍去．
当时，成本符合要求．
故销售单价应定为230元．
2．（2019•沙坪坝区模拟）为提升红岩联线景区旅游服务功能和景区品质，沙区政府投资修建了白公馆到渣滓洞的人行步道．施工单位在铺设人行步道路面时，计划投入34万元的资金购买售价分别为60元张和50元张的、两种型号的花岗石石材，且购买型花岗石的数量不超过型花岗石数量的2倍．
（1）求该施工单位最多能购买型花岗石多少张？
（2）在实际购买中，销售商为支持景区建设，将、两种型号花岗石的售价均打折（即原价的出售，因施工实际需要，型花岗石的数量在（1）中购买最多的基础上再购买张，型花岗石的数量在（1）中购买最少的基础上再购买张，这样购买花岗石石材的总费用恰好比原计划减少了6460元，求的值．
【解答】解：（1）34万
设该施工单位最多能购买型花岗石张，则购买型花岗石张，由题意得：




答：该施工单位最多能购买型花岗石4000张．
（2）由（1）得，当最多购买型花岗石4000张时，可购买型花岗石2000张，由题意得：

整理得：

，（舍
答：的值为9．
3．（2019春•张家港市期末）某商店以每件50元的价格购进800件恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件．第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，该商店为增加销售量决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多销售出10件，但最低单价应不低于50元，第二个月结束后，该商店对剩余的恤一次性清仓，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低元，
（1）填表（用含的代数式完成表格中的①②③处）
时间
第一个月
第二个月
清仓
单价（元
80
①　　
40
销售量（件
200
②　　
③　　
（2）如果该商店希望通过销售这800件恤获利9000元，那么第二个月单价降低多少元？
【解答】解：（1）根据题意可得答案为：；；．
（2）由题意得：

整理得：


当时，，符合题意．
答：第二个月单价降低10元．
4．（2019春•温州期末）阳光小区附近有一块长，宽的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，如图1所示，设步道的宽为．
（1）求步道的宽；
（2）为了方便市民进行跑步健身，现按如图2所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大，且区域丙为正方形，求塑胶跑道的总面积．

【解答】解：（1）由题意，得

化简，得．
．
．
答：步道的宽为；

（2）由题意，得
，

塑胶跑道的总面积为

5．（2019春•新泰市期末）我市晶泰星公司安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品．根据市场行情测得，甲产品每件可获利15元，乙产品每件可获利120元．而实际生产中，生产乙产品需要额外支出一定的费用，经过核算，每生产1件乙产品，当天每件乙产品平均获利减少2元，设每天安排人生产乙产品．
（1）根据信息填表：
产品种类
每天工人数（人
每天产量（件
每件产品可获利润
甲
　　
　　
15
乙


　　
（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多650元，试问：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是多少元？
【解答】解：（1）设每天安排人生产乙产品，则每天安排人生产甲产品，每天可生产件乙产品，每件的利润为元，每天可生产件甲产品．
故答案为：；；．

（2）依题意，得：，
整理，得：
解得：，（不合题意，舍去），
．
答：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是2650元．
6．（2019春•沙坪坝区校级月考）2017年3月23日，2018年足球世界杯预选赛中国队与韩国队在长沙交锋，由于球迷热情参与，五万多张票一票难求，3月1日大麦网楷书四启动球票申购，许多球票被一些不良商家大量抢购，再高价卖出，某不良商家以480元张的价格购进若干张球票，将这些球票标价为1500元张，然后在标价的基础上打折出售，折后再降价张．
（1）问该商家最多打几折销售，能使利润率不低于？
（2）为了照顾广大球迷，组委会决定将大量球票通过球迷协会统一购买的方式卖给球迷．某球迷协会组委会售票处得张球票，每张球票价格比（1）中商家售出的最低价格少，购票共用去38880元，求的值．
【解答】解：（1）设该商家最多打折销售，根据题意得：

化简得：

答：该商家最多打6折销售，能使利润率不低于．
（2）由（1）得
（元
由题意得：

化简得：





答：的值为30．
7．（2019春•南岗区期末）某地2016年为做好“精准扶贫”，投入资金1200万元用于异地安置，并规划投入异地安置资金的年平均增长率在三年内保持不变，已知2018年在2016年的基础上增加了投入异地安置资金1500万元．
（1）2017年该地投入异地安置资金为多少元？
（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地要求投入用于优先搬迁租房奖励的资金不低于2017年该地投入异地安置资金的．规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．
【解答】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为，
，
解得：或（舍去），
则2017年该地投入异地安置资金为：（万元）（元，
答：2017年该地投入异地安置资金为18000000元；
（2）设今年该地有户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，
得：，
解得：，
答：今年该地至少有1450户享受到优先搬迁租房奖励．

综合运用：一元二次方程
1.解一元二次方程
【解析】，
，
．.
2.用配方法解方程：.
【解析】




,．
3.用公式法解方程.
【解析】.

,
此方程无实数根．
4.解方程（因式分解法）
【解析】

即
解得：
5.果农李明种植的草莓计划以每千克元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．李明为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克元的单价对外批发销售．
（1）求李明平均每次下调的百分率；
（2）小刘准备到李明处购买吨草莓，因为数量多，李明决定再给予两种优惠方案以供其选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金元．
试问小刘选择哪种方案更优惠，优惠了多少？请说明理由．
【解析】（1）设平均每次下调的百分率为．
由题意，得．
解这个方程，得，．
因为降价的百分率不可能大于，所以不符合题意，
符合题目要求的是．
答：平均每次下调的百分率是．
（2）小刘选择方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为：（元），
方案二所需费用为：（元），
∵，元，
∴小刘选择方案一购买更优惠，优惠了元．
6.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
【解析】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染台电脑，
∵经过两轮感染后就会有台电脑被感染，
∴可得：，
解得：，（舍去），
∴．
7.山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克元，按每千克元出售，平均每天可售出千克，后来经过市场调查发现，单价每降低元，则平均每天的销售可增加千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利元，请回答：
（1）为尽可能让利于顾客，每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【解析】（1）解：设每千克核桃应降价元．
根据题意，得．
化简，得
解得，．
答：为尽可能让利于顾客，每千克核桃应降价元．
（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价元或元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价元．
此时，售价为：（元），．
答：该店应按原售价的九折出售．
8.如图，在宽为，长为矩形地面上修筑宽度一样的道路（图中阴影部分），余下的种植草坪，要使其草坪面积为，则宽为多少

【解析】解：设道路得宽为x m，
根据题意得：，
整理得：，
解得：或（不合题意，舍去），
道路的宽为．
9.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动. （1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.

【解析】解：因为∠C＝90°，所以AB＝＝＝10（cm）.
（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以 AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.
则根据题意，得·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.
（2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.
则根据题意，得(6－x)·2x＝××6×8.整理，得x2－6x+12＝0.
由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.