数学北师大版2 平面直角坐标系当堂检测题

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第5讲 坐标方法的简单应用

知识点1 坐标确定位置
有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力的在平面上确定一个点的位置，在实际生活中我们能看到许多这种方法的应用，如用经度和纬度来表示一个地点在地球上的位置、电影院的位置用几排几座来表示等等. 我们可以用坐标来表示位置，也可以把几个位置在同一个坐标系中用坐标表示出来.
【典例】
【题干】如图，这是怀柔区部分景点的分布图，若表示百泉山风景区的点的坐标为（0，1），表示慕田峪长城的点的坐标为（﹣5，﹣1），则表示雁栖湖的点的坐标为 ．

【答案】（1，﹣3）
【解析】解：如图所示：雁栖湖的点的坐标为：（1，﹣3）．
故答案为：（1，﹣3）．

2.如图标明了小英家附近的一些地方，以小英家为坐标原点建立如图所示的坐标系．
（1）写出汽车站和消防站的坐标；
（2）某星期日早晨，小英同学从家里出发，沿（3，2）→（3，﹣1）→（0，﹣1）→（﹣1，﹣2）→（﹣3，﹣1）的路线转了一下，又回到家里，写出路上她经过的地方．

【答案】
【解析】解：（1）汽车站（1，1），消防站（2，﹣2）；
（2）小英经过的地方：游乐场，公园，姥姥家，宠物店，邮局．
【方法总结】
在同一个平面直角坐标系中，如果已知一个位置的坐标，需要表示另外一个位置的坐标，主要是先确定坐标原点，然后再利用坐标系的四个象限（或者坐标轴）去表示其他的位置的坐标；如果给出了平面直角坐标系，那我们只需要按照点的坐标，去依次表示即可.
【随堂练习】
1．（2019•北京一模）如图是北京市地铁部分线路示意图．若分别以正东、正北方向为轴，轴的正方向建立平面直角坐标系，表示西单的点的坐标为，表示雍和宫的点的坐标为，则表示南锣鼓巷的点的坐标是　　

A． B． C． D．
【解答】解：根据题意可建立如下所示平面直角坐标系，

则表示南锣鼓巷的点的坐标是，
故选：．
2．（2019•中原区校级模拟）在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则该目标的坐标可能是　　

A． B． C． D．
【解答】解：因为目标在第三象限，所以其坐标的符号是，观察各选项只有符合题意，
故选：．
3．（2019•新华区校级模拟）如图，象棋盘上，若“将”位于点，“象”位于点，则炮位于点　　

A． B． C． D．
【解答】解：根据题意可建立如图所示坐标系，

由坐标系知炮位于点，
故选：．
4．（2018秋•平度市期末）如图是某动物园的平面示意图，若以大门为原点，向右的方向为轴正方向，向上的方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则驼峰所在的象限是　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：如图所示，熊猫馆、猴山、百草园都在第一象限，横、纵坐标都为正数；
驼峰在第四象限，横坐标为正数，纵坐标为负数，
故选：．

5．（2018秋•郑州期末）如图，在一次“寻宝”游戏中，寻宝人找到了如图所示的两个标志点，，则“宝藏”点的位置是　　

A． B． C． D．
【解答】解：根据两个标志点，可建立如下所示的坐标系：

由平面直角坐标系知，“宝藏”点的位置是，
故选：．
6．（2018秋•法库县期末）钓鱼岛历来就是中国不可分割的领土，中国对钓鱼岛及其附近海域拥有无可争辩的主权，能够准确表示钓鱼岛位置的是　　
A．北纬
B．东经
C．福建的正东方向
D．东经，北纬
【解答】解：能够准确表示钓鱼岛位置的是东经，北纬，
故选：．
二．填空题（共2小题）
7．（2019春•古冶区期末）如图是两人正在玩的一盘五子棋，若白棋所在点的坐标是，黑棋所在点的坐标是，现在轮到黑棋走，黑棋放到点的位置就获得胜利，点的坐标是　　．

【解答】解：由题意可得，如右图所示的平面直角坐标系，
故点的坐标为，
故答案为：．

8．（2019春•岳池县期中）如图，把“”笑脸图标放在直角坐标系中，已知左眼的坐标是，右眼的坐标为，则嘴唇点的坐标是　　．

【解答】解：左眼的坐标是，右眼的坐标为，
嘴唇的坐标是，
故答案是：．

知识点2 坐标与图形性质
【典例】
1.已知线段MN平行于x轴，且MN的长度为5，若M（2，﹣2），则点N的坐标 ．
【答案】（7，﹣2）或（﹣3，﹣2）．
【解析】解：MN平行于x轴，故N的纵坐标不变，是﹣2，
点N在点M的左边时，横坐标为2﹣5=﹣3，
点N在点M的右边时，横坐标为2+5=7，
所以，点N的坐标为（7，﹣2）或（﹣3，﹣2）．
故答案为：（7，﹣2）或（﹣3，﹣2）．
【方法总结】
若两点所在直线平行于x轴（垂直于y轴），则这两点的纵坐标相同，若两点所在直线平行于y轴（垂直于x轴），则这两点的横坐标相同。
【随堂练习】
1．（2019春•南充期末）在直角坐标系中，坐标是整数的点称作格点，第一象限的格点满足，则满足条件的点有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：，
，，
满足条件的点有1个．
故选：．
2．（2019•百色）阅读理解：
已知两点，，，，则线段的中点的坐标公式为：，．
如图，已知点为坐标原点，点，经过点，点为弦的中点．若点，则有，满足等式：．
设，则，满足的等式是　　

A． B．
C． D．
【解答】解：点，点，点为弦的中点，
，．
，．
又，满足等式：，
．
故选：．
3．（2019•庆云县二模）预备知识：线段中点坐标公式：在平面直角坐标系中，已知，，，，设点为线段的中点，则点的坐标为应用：设线段的中点为点，其坐标为，若端点的坐标为，则端点的坐标为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，
由中点坐标公式得：，，
，，
，
故选：．
4．（2019春•岳池县期中）已知点，点的坐标为，直线轴，则的值是　　
A．1 B．3 C． D．5
【解答】解：点，点的坐标为，直线轴，
，
解得．
故选：．
5．（2019春•崇川区校级月考）在、、、四个点中，有其中两个点确定的直线与轴平行的是　　
A．点、 B．点、 C．点、 D．点、
【解答】解：、横坐标相等，
点、两个点确定的直线与轴平行，
故选：．
6．（2018秋•安庆期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，点为任意一点，已知，则线段的最大值为　　

A．3 B．5 C．8 D．10
【解答】解：如图所示，连接，，，
，
，
点在以为圆心，长为直径的圆上，
，
当点，，在同一直线上，且点在延长线上时，的最大值为的长，
又，，，
，，，
线段的最大值为，
故选：．

7．（2019春•郯城县期末）已知点，，且，则的值为　　
A．1 B．5 C．1或5 D．不能确定
【解答】解：，，且，
，
解得或5，
故选：．
8．（2019•玉田县二模）如图，将的三边扩大一倍得到（顶点均在格点上），它们是以点为位似中心的位似图形，则点的坐标是　　

A． B． C． D．
【解答】解：如图所示：点即为所求点．
故选：．
二．填空题（共1小题）
9．（2019春•定襄县期末）在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是4，则的值是　或5　．
【解答】解：点与点之间的距离是5，
，
解得或5．
故答案为：或5．

知识点3 坐标与图形变化—平移
（1）平移变换与坐标变化
    ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
    ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x-a，y）
    ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
    ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y-b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
【典例】
1.如图，△A′B′C′是△ABC经过平移得到的，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣3），△ABC中任意一点P（x1，y1）平移后的对应点为P′（x1+6，y1+4）.
（1）请写出三角形ABC平移的过程；
（2）写出点A′，C′的坐标；
（3）求△A′B′C′的面积．

【答案】
【解析】解：（1）∵△ABC中任意一点P（x1，y1）平移后的对应点为P′（x1+6，y1+4），
∴平移后对应点的横坐标加6，纵坐标加4，
∴△ABC先向右平移6个单位，再向上平移4个单位得到△A′B′C′或△ABC先向上平移4个单位，再向右平移6个单位得到△A′B′C′；
（2）由（1）可知，A′（2，3），C′（5，1）；
（3）如图所示，S△A′B′C′=3×4﹣×1×3﹣×1×4﹣×2×3=5.5．
【方法总结】
这题考查的是作图-平移变换，熟知图形平移的性质是解答此题的关键．在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
【随堂练习】
1．（2019春•东阿县期末）在直角坐标系中，线段是由线段平移得到的，已知，，，则的坐标为　　

A． B． C． D．
【解答】解：根据题意：、两点的坐标分别为，，若的坐标为，即线段向上平移1个单位，向右平移5个单位得到线段；点的规律同以上规律，则的坐标为．
故选：．
2．（2019•兰州）如图，在平面直角坐标系中，将四边形先向下平移，再向右平移得到四边形，已知，，，则的坐标为　　

A． B． C． D．
【解答】解：由，可知四边形先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形，
，
的坐标为，
故选：．
3．（2019•滨州）在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是　　
A． B． C． D．
【解答】解：将点向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点，
点的横坐标为，纵坐标为，
的坐标为．
故选：．
4．（2019•苏家屯区一模）已知：在直角坐标系中，点，的坐标分别是，，将线段平移，平移后点的对应点的坐标是，那么点的对应点的坐标是　　
A． B． C． D．
【解答】解：的对应点的坐标为，
平移规律为横坐标加1，纵坐标减1，
点的对应点为，
的坐标为．
故选：．
5．（2019春•番禺区期中）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点为．则点的坐标为　　
A． B． C． D．
【解答】解：点的对应点为，
，，
平移规律是横坐标向右平移3个单位，纵坐标向下平移3个单位，
设点的坐标为，
则，，
解得，，
所以点的坐标为．
故选：．
6．（2019春•梁子湖区期中）在平面直角坐标系中，把点先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到的点的坐标是　　
A． B． C． D．
【解答】解：点，
先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到的点的坐标是，
即，
故选：．
7．（2019春•东港区校级月考）将点先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后的对应点的坐标为，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设点的坐标为，由题意，
得：，，
求得，，
所以点的坐标为．
故选：．
8．（2019春•田家庵区校级期中）在平面直角坐标系中，线段是由线段平移得到的：点的对应点为：则点的对应点的坐标为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意：点的对应点为，
点是由点向右平移3个单位，向下平移应该单位得到，
点的对应点的坐标为，
故选：．
二．填空题（共1小题）
9．（2019春•海淀区校级期末）如图，在平面直角坐标系少中，的顶点坐标分别为，，．将平移，使点至点处，则点平移后的坐标为　　．

【解答】解：观察图象可知平移后的点的坐标为．

故答案为．

知识点4 坐标与图形变化—对称
【典例】
1.如图，在平面直角坐标系中，直线m经过（1，0）点，且垂直x轴，则点P（﹣1，2）关于直线m的对称点的坐标为_______．

【解答】解：点P（﹣1，2）关于直线x=1对称的点的坐标为（3，2），
故答案为：（3，2）．
【方法总结】本题主要考查坐标与图形的变化，掌握（1）关于x轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称：纵坐标相等，横坐标互为相反数．（3）关于直线对称：①关于直线x=m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b），②关于直线y=n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b）是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2019•武昌区模拟）若点，，则点与点的关系是　　
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【解答】解：点，，
点与点关于轴对称，
故选：．
2．（2019•玉田县二模）小莹和小博士下棋小莹执圆子，小博士执方子如图，棋盘中心方子的位置用表示，左下角方子的位置用表示，小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形，她放的位置是　　

A． B． C． D．
【解答】解：棋盘中心方子的位置用表示，则这点所在的横线是轴，左下角方子的位置用，则这点向右两个单位所在的纵线是轴，则小莹将第4枚圆子放的位置是时构成轴对称图形．

故选：．
3．（2018秋•沁阳市期末）在平面直角坐标中，已知点在第二象限，则点关于直线（直线上各点的横坐标都是对称的点的坐标是　　
A． B． C． D．
【解答】解：直线上各点的横坐标都是2，
直线为：，
点在第二象限，
到2的距离为：，
点关于直线对称的点的横坐标是：，
故点对称的点的坐标是：．
故选：．
知识点5 坐标与图形变化—旋转
【典例】
1.如图，线段AB的两个顶点都在方格纸的格点上，建立平面直角坐标系后，A、B两点的坐标分别是（1，0）和（2，3），将线段AB绕点A逆时针旋转90°后再沿y轴负方向平移4个单位，则此时点B的坐标是____．

【解答】解：如图所示，将线段AB绕点A逆时针旋转90°后，可得B1的坐标为（﹣2，1）
再沿y轴负方向平移4个单位，则此时点B2的坐标是（﹣2，﹣3），

故答案为：（﹣2，﹣3）．
【方法总结】本题考查了坐标与图形性质﹣旋转、平移，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．解决问题的解是作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．
【随堂练习】
1．（2019春•房山区期末）如图，是由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是　　

A． B． C． D．
【解答】解：如图，点即为旋转中心，，

故选：．
2．（2019春•西陵区期中）如图，点的坐标为，为坐标原点，将绕点按顺时针方向旋转得到，则点的坐标是　　

A． B． C． D．
【解答】解：观察图象可知，

故选：．
3．（2019•福建模拟）如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是，先把向右平移3个单位长度得到△，再把△绕点顺时针旋转
得到△，则点的对应点的坐标是　　

A． B． C． D．
【解答】解：观察图象可知，
故选：．

4．（2019•大邑县模拟）在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，将点顺时针旋转，得到点，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，作轴于，轴于．

，
，，
，
，
△，
，，
．
故选：．
5．（2019•连城县模拟）在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转，得到点，则点的坐标为　　
A．， B．， C． D．
【解答】解：如图，作轴于，轴于．

，
，，
，
，
△，
，，
，．
故选：．
6．（2019•南京模拟）在平面直角坐标系中，点的坐标是，将点绕原点旋转得到点，则点的坐标是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意点与点关于原点对称，
，
，
故选：．
7．（2019•番禺区一模）点 经过某种图形变化后得到点，这种图形变化可以是　　
A．关于轴对称 B．绕原点逆时针旋转
C．关于轴对称 D．绕原点顺时针旋转
【解答】解：观察图象可知：点 绕原点逆时针旋转得到点，

故选：．
8．（2019•东昌府区一模）已知点的坐标为，为坐标原点，连结，将线段绕点按逆时针方向旋转得，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图点的位置如图所示，共线图象可知．

故选：．
9．（2019•昌图县模拟）将点绕坐标原点逆时针旋转90后得到点，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，作轴于，轴于．

，
，，
，，
，
，，
△，
，，
，
故选：．
10．（2019•孝南区二模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，如果将绕点按顺时针方向旋转得到△，那么点的对应点的坐标是　　

A． B． C． D．
【解答】解：旋转后的△如图所示，观察图象可知．

故选：．
综合运用
1.如图是城市中某区域的示意图，小聪同学从点O出发，先向西走100米，再向南走200米到达学校，如果学校的位置用（﹣100，﹣200）表示，那么（300，200）表示的地点是 ．

【答案】超市
【解析】解：∵（﹣100，﹣200）表示从点O出发，先向西走100米，再向南走200米，
∴（300，200）表示从点O出发，先向东走300米，再向北走200米，
∴（300，200）表示的地点是超市，
故答案为：超市．
2.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，3），线段AB∥x轴，且AB=4，则点B的坐标为 ．
【答案】（﹣5，3）或（3，3）
【解析】解：∵AB∥x轴，
∴A、B两点纵坐标都为3，
又∵AB=4，
∴当B点在A点左边时，B（﹣5，3），
当B点在A点右边时，B（3，3）；
故答案为：（﹣5，3）或（3，3）．

3.直角坐标系中有点A（m，3），点B（2，n）两点，若直线AB∥y轴，则m= ．
【答案】2
【解析】解：∵点A（m，3），点B（2，n），且AB∥y轴，
∴m=2，n≠3．
故答案为2．

4.已知点A（4，﹣3），B（x，﹣3），若AB∥x轴，且线段AB的长为5，x= ．
【答案】﹣1或9
【解析】解：∵AB平行于x轴，且A（4，﹣3），B（x，﹣3），线段AB的长为5，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣3）或（9，﹣3）．
故x=﹣1或9．
故答案为：﹣1或9．

5.如图，A、B的坐标分别为（1，0）、（0，2），若将线段AB平移到至A1B1，A1、B1的坐标分别为（2，a）、（b，3），则= ．

【答案】1
【解析】解：由点A（1，0）的对应点（2，a）知线段AB向右平移1个单位，
由点B（0，2）的对应点（b，3）知线段AB向上平移1个单位，
所以a=0+1=1、b=0+1=1，
则=1，
故答案为：1．

6.如图，点A（﹣4，0），B（﹣1，0），将线段AB平移后得到线段CD，点A的对应点C恰好落在y轴上，且四边形ABDC的面积为9，则D点坐标为 ．

【答案】（3，3）
【解析】解：∵A（﹣4，0），B（﹣1，0），
∴AB=3，AO=4，
设C纵坐标为a，
∵四边形ABDC的面积为9，
∴3a=9，
∴a=3，
∴C（0，3），
∴平移的方式为：右移4个单位、上移3个单位，
则D点坐标为（﹣1+4，0+3），即（3，3），
故答案为：（3，3）．

7.线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣1，0）的对应点为C（1，﹣1），则点B（0，3）的对应点D的坐标是 ．

【答案】（2，2）
【解析】解：∵点A（﹣1，0）的对应点为C（1，﹣1），
∴A点向右平移2个单位长度，又向下平移1个单位长度.
∵点B（0，3），
∴B的对应点D的坐标是（0+2，3﹣1），即（2，2）
故答案为：（2，2）．

8.李老师到人民公园游玩，回到家后，他利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如图所示．可是他忘记了在图中标出原点和x轴、y轴．只知道游乐园D的坐标为（2，﹣2），
（1）你能帮李老师在下图中建立平面直角坐标系求出其他各景点的坐标吗？
（2）若图中一个单位长度代表实际距离100米，请你求出其中某两点（已用字母标记）间的实际距离．

【答案】
【解析】解：（1）如图，

坐标原点在F点，A（0，4）、B（﹣3，2）、C（﹣2，﹣1）、E（3，3）、F（0，0）
（2）AF=400米．

9.下面是某医院各部门的示意图，横向表示的是楼层，纵向表示的是门号，例如：院长室在4楼3门，我们用（4，3）来表示其位置，试根据上面方法，结合图形，完成下面问题：
（1）儿科诊室可以表示为 ；
（2）口腔科诊室在 楼 门；
（3）图形中显示，与院长室同楼层的有 ；
（4）与神经科诊室同楼层的有 ；
（5）表示为（1，2）的诊室是 ；
（6）表示为（3，5）的诊室是 ；
（7）3楼7门的是 ．

【答案】
【解析】解：（1）儿科诊室可以表示为（2，4）．
故答案为（2，4）．
（2）口腔科诊室在1楼、7门．
故答案为1、7．
（3）图形中显示，与院长室同楼层的有外科．
故答案为外科．
（4）与神经科诊室同楼层的有儿科、妇科．
故答案为儿科、妇科．
（5）表示为（1，2）的诊室内科．
故答案为内科．
（6）表示为（3，5）的诊室是骨科．
故答案为骨科．
（7）3楼7门的是皮肤科．
故答案为皮肤科．

10.三角形ABC与三角形A′B′C′在平面直角经标系中的位置如图所示，三角形A′B′C′是由三角形ABC平移得到的．
（1）分别写出点A′B′C′的坐标；
（2）说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的？
（3）若点F（a，b）是三角形ABC内的一点，则平移后三角形A′B′C′内的对应点为P′，写出点P′的坐标．

【答案】
【解析】解：（1）A′（﹣3，1）B′（﹣2，﹣2）C′（﹣1，﹣1）；

（2）△ABC向左平移4个单位，向下平移2个单位得到△A′B′C′；

（3）点P′的坐标为（a﹣4，b﹣2）．

11.△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出下列各点的坐标：A ；　B ；C ；
（2）△ABC由△A′B′C′经过怎样的平移得到？答： ．
（3）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A'B'C'内部的对应点P'的坐标为 ；
（4）求△ABC的面积．

【答案】
【解析】解：（1）A（1，3）； B（2，0）；C（3，1）；
（2）先向右平移4个单位，再向上平移2个单位；
或：先向上平移2个单位，再向右平移4个单位；
（3）P′（x﹣4，y﹣2）；
（4）△ABC的面积=2×3﹣×1×3﹣×1×1﹣×2×2
=6﹣1.5﹣0.5﹣2
=2．