北师大版数学八年级上册二元一次方程组的相关概念(基础)知识讲解 (含答案)

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二元一次方程（组）的相关概念（基础）知识讲解 【学习目标】1.理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义；2.会检验一组数是不是某个二元一次方程（组）的解.【要点梳理】要点一、二元一次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．要点诠释：二元一次方程满足的三个条件：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.  要点二、二元一次方程的解    一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．要点诠释：(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：．(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程． 要点三、二元一次方程组把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.    要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如 也是二元一次方程组.要点四、二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.要点诠释：（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式．(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．【典型例题】类型一、二元一次方程1．已知下列方程，其中是二元一次方程的有________．(1)2x-5＝y； (2)x-1＝4； (3)xy＝3；  (4)x+y＝6；  (5)2x-4y＝7；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)．【思路点拨】按二元一次方程满足的三个条件一一检验．【答案】(1)(4)(5)(8)(10)【解析】只有(1)(4)(5)(8)(10)满足二元一次方程的概念．(2)为一元一次方程，方程中只含有一个未知数；(3)中含未知数的项的次数为2；(6)只含有一个未知数；(7)不是整式方程；(9)中未知数x的次数为2．【总结升华】判断一个方程是否为二元一次方程的依据是二元一次方程的定义，对于比较复杂的方程，可以先化简，再根据定义进行判断．举一反三：【变式】（2020春•桃园县校级期末）下列各方程中，是二元一次方程的是（　　）A．=y+5x B．3x+2y=2x+2y C．x=y2+1 D．【答案】D．类型二、二元一次方程的解2.（2020春•吴兴区期末）下列数组中，是二元一次方程x+y=7的解的是（　　）A． B．   C．  D．【思路点拨】二元一次方程x+y=7的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解．【答案】B【解析】解：A、把x=﹣2，y=5代入方程，左边=﹣2+5≠右边，所以不是方程的解；故本选项错误；B、把x=3，y=4代入方程，左边=右边=7，所以是方程的解；故本选项正确；C、把x=﹣1，y=7代入方程，左边=6≠右边，所以不是方程的解；故本选项错误；D、把x=﹣2，y=﹣5代入方程，左边=﹣7≠右边，所以不是方程的解．故本选项错误．故选B．【总结升华】考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解．举一反三：【变式】若方程的一个解是，则a=         .【答案】3 3.已知二元一次方程．(1)用含有x的代数式表示y；(2)用含有y的代数式表示x；(3)用适当的数填空，使是方程的解．【思路点拨】用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，就是把要表示的未知数当未知数，把其他的未知数当已知数，然后再将方程变形．【答案与解析】解：(1)将方程变形为3y＝2，化y的系数为1，得．(2)将方程变形为，化x的系数为1，得．(3)把x＝-2代入得， y＝1．【总结升华】用含x的代数式表示y，其实质表示为“y＝含x的代数式”的形式．在进行方程的变形过程中，有效地利用解一元一次方程的方法技巧很重要．举一反三：【变式】已知：2x+3y=7，用关于y的代数式表示x，用关于x的代数式表示y． 【答案】解：（1）2x=7－3y， ；（2）3y=7－2x，类型三、二元一次方程组及方程组的解4.（2020春•道外区期末）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（　　）A．      B．C．      D．【答案】C．【解析】解：A是二元二次方程组，故A不是二元一次方程组；B 是三元一次方程组，故B不是二元一次方程组；C 是二元一次方程组，故C是二元一次方程组；D 不是整式方程，故D不是二元一次方程组；【总结升华】本题考查了二元一次方程组，含有两个未知数，且每个未知数的次数都是1的方程式二元一次方程，两个二元一次方程组成的方程组．5.判断下列各组数是否是二元一次方程组的解．（1）    （2）【答案与解析】解：（1）把代入方程①中，左边＝2，右边＝2，所以是方程①的解．把x＝3，y＝-5代入方程②中，左边＝，右边＝，左边≠右边，所以不是方程②的解．所以不是方程组的解．（2）把代入方程①中，左边＝-6，右边＝2，所以左边≠右边，所以不是方程①的解，再把代入方程②中，左边＝x+y＝-1，右边＝-1，左边＝右边，所以是方程②的解，但由于它不是方程①的解，所以它也不是方程组的解．【总结升华】检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.举一反三：【变式】写出解为的二元一次方程组．【答案】解：此题答案不唯一，可先任构造两个以为解的二元一次方程，然后将它们用“{”联立即可，现举一例：∵  x＝1，y＝-2，∴  x+y＝1-2＝-1．2x-5y＝2×1-5×(-2)＝12．∴  就是所求的一个二元一次方程组． 注：任选的两个方程，只要其对应系数不成比例，联立起来即为所求．