北师大版九年级下册1 圆当堂达标检测题

正多边形和圆—巩固练习（提高）

【巩固练习】

一、选择题
1. （2020•雅安校级一模）已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（　　）

　 A．1：2： B． 2：3：4 C． 1：：2 D． 1：2：3

2．将边长为3cm的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为 (    )

A．    B．cm2     C．cm2     D．cm2

3．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形， BC∥QR，则∠AOQ=（    ）

A．60°        B．65°        C．72°         D．75°

第3题                    第5题

4．周长是12的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是S3、S4、S6，则它们的大小关系是(    )．

    A．S6＞S4＞S3    B．S3＞S4＞S6    C．S6＞S3＞S4    D．S4＞S6＞S3

5. 如图所示，八边形ABCDEFGH是正八边形，其外接⊙O的半径为，则正八边形的面积S为（   ）．

     A.              B.         C. 8         D.4

A．        B．        C．       D．

二、填空题

7．一个正方形与圆有相等的周长，则圆面积与正方形的面积比为________．

8．如图所示，正六边形内接于圆O，圆O的半径为10，则图中阴影部分的面积为________．

9．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为                     ：：1．

10．（2020•五通桥区一模）如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P是其对角线BE上一动点，连接PC、PD，则△PCD的周长的最小值是　　．

11．如图所示，有一个圆O和两个正六边形T1、T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．

（1）设T1，T2的边长分别为a，b， 圆O的半径为r，则r:a=            ； r:b=            ；

（2）正六边形T1，T2的面积比S1:S2的值是              ．

                    第11题图                        第12题图

12．如图所示，已知正方形ABCD中，边长AB＝3，⊙O与⊙O′外切且与正方形两边相切，两圆半径为R、r，则R+r=            ．

三、解答题

13.（2020•宝应县二模）如图，正六边形ABCDEF的边长为2cm，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和为多少cm？

【答案与解析】

一、选择题

1．【答案】D；

  【解析】解：图中内切圆半径是OD，外接圆的半径是OC，高是AD，

因而AD=OC+OD；

在直角△OCD中，∠DOC=60°，

则OD：OC=1：2，

因而OD：OC：AD=1：2：3，

所以内切圆半径，外接圆半径和高的比是1：2：3．故选D．

2．【答案】A；

【解析】所得正六边形边长为1，∴  ．

3．【答案】D；

  【解析】易求∠POQ=120°，∠AOP=45°，则∠AOQ=∠POQ-∠AOP=120°-45°=75°.

4.【答案】A；

【解析】如图（1），∵  AB＝4，AD＝2，∠OAD＝30°，∴  OD＝．

∴  ．

如图（2），∵  AB＝AC＝3，∴  S4＝3×3＝9．

如图（3），∵  CD＝2，∴  OC＝2，CM＝1，

∴  OM＝．

∴  ．

又∵  ，

∴  ，故选A．

5．【答案】B；

【解析】连接OA、OB，过A作AM⊥OB于M，

∵  ，

∴  △AOM是等腰直角三角形．

又，∴  AM＝1，

∴  ，

∴  ，

6．【答案】A．

二、填空题

7．【答案】  ；

【解析】 设正方形边长为a，则周长为4a，面积为，圆周长也为4a，则，

∴  ，∴ 

∴  ．

8．【答案】；

【解析】图中阴影部分面积等于圆的面积减去正六边形的面积．

          ∵  ，

          ，

∴ 

9．【答案】：：1；

如图（一），连接OB，过O作OD⊥BC于D，
则∠OBC=30°，BD=OB•cos30°=R，（或由勾股定理求）
故BC=2BD=R；
如图（二），连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，
则△OBE是等腰直角三角形，
2BE2=OB2，即BE=，
故BC=R；
如图（三），连接OA、OB，过O作OG⊥AB，
则△OAB是等边三角形，
故AG=OA•cos60°=R，AB=2AG=R，（或由勾股定理求）
故圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为R：R：R=：：1．

10．【答案】6.

   【解析】要使△PCD的周长的最小，即PC+PD最小．

利用正多边形的性质可得点C关于BE的对称点为点A，连接AD交BE于点P'，那么有P'C=P'A，P'C+P'D=AD最小．

又易知ABCD为等腰梯形，∠BAD=∠CDA=60°，

则作BM⊥AD于点M，CN⊥AD于点N，

∵AB=2，

∴AM=AB=1，

∴AM=DN=1，从而AD=4，

故△PCD的周长的最小值为6．

11．【答案】（1）r:a＝1:1；；（2）．

   【解析】如图所示．

（1）连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形，所以r:a＝1:1；

     连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，所以．

（2）T∶T的边长比是∶2，所以S∶S= .

所以．

12.【答案】；

【解析】连结OA、OO′、.（如图所示）

∵⊙O与AB，AD相切，⊙O′与BC,CD相切，

∴OA平分∠BAD,O′C平分∠BCD, ∴∠BAO=∠BCO′=45°，

若连结AC,则∠BAC=45°，∴直线OO′与直线AC重合，

设⊙O切AB、AD于E、F，⊙O′切BC、CD于G、H．

       ∵⊙O与⊙O′互相外切，∴OO′＝R+r．

连接OF、OE、、，则．

同理，

∴ ．

又∵，∴ ，

∴ ．

三、解答题

13.【答案与解析】

解：过P作AB的垂线，交AB、DE分别为H、K，连接BD，

∵六边形ABCDEF是正六边形，

∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，且P到AF与CD的距离和及P到EF、BC的距离和均为HK的长，

∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，

∴∠CBD=∠BDC=30°，

∴BD∥HK，且BD=HK，

∵CG⊥BD，

∴BD=2BG=2×2×=6，

∴点P到各边距离之和为3BD=3×6=18．

14.【答案与解析】

（1）∠APB=120°（如图①）

∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM=∠CBN，
又∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°，
∴∠APB=120°；

15.【答案与解析】