北师大版九年级下册1 锐角三角函数课时作业

《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习（提高）

【巩固练习】

一、选择题
1. 计算tan 60°+2sin 45°－2cos 30°的结果是(    )．

    A．2       B．       C．      D．1

2．如图所示，△ABC中，AC＝5，，，则△ABC的面积是(    )

A．      B．12       C．14        D．21

3．如图所示，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△，

则tan的值为(    )

A．       B．       C．        D．

第2题图                  第3题图                      第4题图

4．如图所示，小明要测量河内小岛B到河边公路的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测

得∠BCD＝60°，又测得AC＝50米，那么小岛B到公路的距离为(    )．

     A．25米    B．米    C．米    D．米

5．如图所示，将圆桶中的水倒入一个直径为40 cm，高为55 cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°．要使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为(    )．

    A．10 cm    B．20 cm     C．30 cm    D．35 cm

6．如图所示，已知坡面的坡度，则坡角为(    )．

    A．15°     B．20°      C．30°     D．45°

      第5题图             第6题图                  第7题图

7．如图所示，在高为2 m，坡角为30°的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为(    )．

A．4 m      B．6 m     C．m      D．

8．（2020•绵阳）如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

9．如图，若AC、BD的延长线交于点E，，则=        ；=         ．

10．如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，则AD的长为           ；CD的长为           .
　 　　　　　　     

           第9题图                       第10题图               第11题图

11．如图所示，已知直线∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则________．

12．如果方程的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值

为__  ______．

13.（2020•荆州）如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为　   　米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）

14. 在△ABC中，AB＝8，∠ABC＝30°，AC＝5，则BC＝____       ____．

15. 如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O (0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为                  .        

第15题图                         

16. （2020•临沂）一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°=sin（60°+30°）=sin60°•cos30°+cos60°•sin30°=×+×=1．类似地，可以求得sin15°的值是　     　．

三、解答题

17．如图所示，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，

∠BOE＝60°，cos C＝，BC＝．

    (1)求∠A的度数；(2)求证：BC是⊙O的切线；(3)求MD的长度．

18. （2020•湖州模拟）如图，坡面CD的坡比为，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC=3米，斜坡上的树影CD=米，则小树AB的高是多少米？

19．如图所示，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC:CA＝4:3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．

    (1)求证：AC·CD＝PC·BC；

    (2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；

(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．

20. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ＝x，QR＝y．

    (1)求点D到BC的距离DH的长；

    (2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；

    (3)是否存在点P，使△PQR为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

【答案与解析】

一、选择题
1.【答案】C；

【解析】tan 60°+2sin 45°－2cos 30°＝．    

2.【答案】A；

【解析】过A作AD⊥BC于D，因为，所以∠B＝45°，所以AD＝BD，因为，

所以，∴  BD＝AD＝3，所以，所以BC＝BD+DC＝7，

.

3.【答案】B；

【解析】旋转后的三角形与原三角形全等，得∠B′＝∠B，然后将∠B放在以BC为斜边，直角边在网格线上的直角三角形中，∠B的对边为1，邻边为3，tan B′＝tanB＝．

4.【答案】B；

【解析】依题意知BC＝AC＝50米，小岛B到公路的距离，就是过B作的垂线，即是BE的长，

在Rt△BCE中，，BE＝BC·sin 60°＝50×(米)，因此选B．

5.【答案】D；

【解析】如图，△ABD是等腰直角三角形，过A点作AC⊥BD于C，则∠ABC＝45°，AC＝BC＝，则所求深度为55－20＝35(cm)．

6.【答案】C；

【解析】，∴  ．  

7．【答案】D；

【解析】地毯长度等于两直角边长之和，高为2 m，宽为(m)，

则地毯的总长至少为m．

8.【答案】C．

【解析】∵△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°，

∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°，

∵D是AB中点，DE⊥AB，

∴AE=BE，

∴∠ABE=∠A=36°，

∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=36°，

∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠C=72°，

∴∠BEC=∠C=72°，

∴BE=BC，

∴AE=BE=BC．

设AE=x，则BE=BC=x，EC=4﹣x．

在△BCE与△ABC中，

，

∴△BCE∽△ABC，

∴=，即=，

解得x=﹣2±2（负值舍去），

∴AE=﹣2+2．

在△ADE中，∵∠ADE=90°，

∴cosA===．

故选C．

二、填空题

9．【答案】cos∠CEB=；tan∠CEB=

【解析】如图，连结BC，则∠ACB=90°，易证△ECD∽△EBA，∴，

    cos∠CEB=   tan∠CEB=

第9题答案图                         第10题答案图

10．【答案】5+10；10+5.

【解析】过B点分别作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E、F，则得BF=ED，BE=DF.
　　　　　 ∵在Rt△AEB中，∠A=30°，AB=10，
　　　　　 ∴AE=AB·cos30°=10×=5，
　　　　　 BE=AB·sin30°=10×=5.
　　　　　 又∵在Rt△BFC中，∠C=30°，BC=20，
　　　　　 ∴BF=BC=×20=10，
　　　　　 CF=BC·cos30°=20×=10.
　　　　　 ∴AD=AE+ED=5+10，
　　　　　 CD=CF+FD=10+5.

11．【答案】；

【解析】设AB边与直线的交点为E，∵  ∥∥∥，且相邻两条平行直线间的距离都是1，

则E为AB的中点，在Rt△AED中，∠ADE＝α，AD＝2AE．设AE＝k，则AD＝2k，．

∴  ．

12．【答案】或；  

【解析】由得x1＝1，x2＝3．①当1，3为直角边时，则tan A＝；

②当3为斜边时，则另一直角边为．∴  ．

13．【答案】137　；

   【解析】如图，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m，

设AD=xm，

在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，

∴CD=AD=x，

∴BD=BC+CD=x+100，

在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=，

∴x=（x+100），

∴x=50（+1）≈137，

即山高AD为137米．

14．【答案】或；

【解析】因△ABC的形状不是唯一的，当△ABC是锐角三角形时，如图所示，作AH⊥BC于H，

在Rt△ABH中．AH＝AB·sin∠ABC＝8×sin30°＝4，BH＝，

在Rt△AHC中，HC＝．∴  BC＝．

当△ABC是钝角三角形时，如图所示，同上可求得BC＝．

15．【答案】；

16.【答案】．

【解析】sin15°=sin（60°﹣45°）=sin60°•cos45°﹣cos60°•sin45°=•﹣•=．

故答案为．

三、解答题

17.【答案与解析】

 (1)∵∠BOE＝60°，∴∠A＝∠BOE＝30°．

(2)在△ABC中，∵cos C＝，∴∠C＝60°，

又∵∠A＝30°，∴∠ABC＝90°，∠ABC＝90°，

∴AB⊥BC，∴ BC是⊙O的切线．

(3)∵点M是的中点，∴OM⊥AE，在Rt△ABC中，

∵BC＝，∴AB＝BC tan 60°＝，∴OA＝，

∴OD＝OA＝，∴MD＝．

18． 【解析】

解：由已知得Rt△AFD，Rt△CED，如图，且得：∠ADF=60°，FE=BC，BF=CE，

在Rt△CED中，设CE=x，由坡面CD的坡比为，得：

DE=x，则根据勾股定理得：

x2+=，

得x=，（﹣不合题意舍去），

所以，CE=米，则，ED=米，

那么，FD=FE+ED=BC+ED=3+=米，

在Rt△AFD中，由三角函数得：

=tan∠ADF，

∴AF=FD•tan60°=×=米，

∴AB=AF﹣BF=AF﹣CE=﹣=4米，

答：小树AB的高是4米．

19.【答案与解析】

(1)∵AB为直径，∴∠ACB＝90°．

又∵  PC⊥CD，∴  ∠PCD＝90°．

而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PDC．∴．

∴AC·CD＝PC·BC．

(2)当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．

∵P是中点，∴∠PCB＝45°，CE＝BE＝．

又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝．

∴．

从而PC＝PE+EC＝．由(1)得CD＝．

(3)当点P在上运动时，．

由(1)可知，CD＝．

∴．故PC最大时，取得最大值；

而PC为直径时最大，∴的最大；

∴的最大值．

20.【答案与解析】

(1)∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝10．

∵点D为AB中点，∴BD＝AB＝3．∵∠DHB＝∠A＝90°，∠B＝∠B．

∴△BHD∽△BAC，∴，∴．

(2)∵QR∥AB，∴△RQC∽△ABC，

∴，∴，

即y关于x的函数关系式为：．

(3)存在，分三种情况：

①当PQ＝PR时，过点P作PM⊥QR于M，如图所示，则QM＝RM．

∵∠1+∠2＝90°．∠C+∠2＝90°，∴∠1＝∠C．

∴，∴，∴，

∴，∴．

②当PQ＝RQ时，如图28—46所示，则有，∴x＝6．

③当PR＝QR时，则R为PQ中垂线上的点，如图所示．

于是点R为EC的中点，∴．

∵，∴，∴．

综上所述，当x为或6或时，△PQR为等腰三角形．