北师大版数学九年级下册圆周角和圆心角的关系—知识讲解（提高）

   圆周角和圆心角的关系—知识讲解（提高）

【学习目标】

1．理解圆周角的概念，了解圆周角与圆心角之间的关系；

2．理解圆周角定理及推论；

3．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．

【要点梳理】

要点一、圆周角
1.圆周角定义：
　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.圆周角定理：
　　一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半．
3.圆周角定理的推论：
　　推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；

推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

要点诠释：
　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.

（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）
    

要点二、圆内接四边形
1.圆内接四边形定义：

四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
 

2.圆内接四边形性质：

圆内接四边形的对角互补.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.

要点诠释：当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补.
 

【典型例题】

类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用

1.已知：如图所示，⊙O中弦AB＝CD．求证：AD＝BC．

【思路点拨】

本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD＝BC，只需证或证∠AOD＝∠BOC即可．

【答案与解析】

证法一：如图①，∵  AB＝CD，∴  ．

        ∴  ，即，

∴  AD＝BC．

证法二：如图②，连OA、OB、OC、OD，

∵  AB＝CD，∴  ∠AOB＝∠COD．

∴  ∠AOB－∠DOB＝∠COD－∠DOB，

即∠AOD＝∠BOC，∴  AD＝BC．

【总结升华】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而图中没有已知的等弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理．

举一反三：
【变式】如图所示，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB．

        求证：．

【答案】

证法一：如上图所示，连OC、OD，则OC＝OD，

∵  OA＝OB，且，，

∴  OM＝ON，而CM⊥AB，DN⊥AB，

∴  Rt△COM≌Rt△DON，

∴  ∠COM＝∠DON，

∴  ．

证法二：如下图，连AC、BD、OC、OD．

        ∵  M是AO的中点，且CM⊥AB，

∴  AC＝OC，

同理BD＝OD，又OC＝OD．

∴  AC＝BD，

∴  ．

类型二、圆周角定理及应用

2.（2020•南京二模）如图，OA、OB是⊙O的半径且OA⊥OB，作OA的垂直平分线交⊙O于点C、D，连接CB、AB．

求证：∠ABC=2∠CBO．

【答案与解析】

证明：连接OC、AC，如图，

∵CD垂直平分OA，

∴OC=AC．

∴OC=AC=OA，

∴△OAC是等边三角形，

∴∠AOC=60°，

∴∠ABC=∠AOC=30°，

在△BOC中，∠BOC=∠AOC+∠AOB=150°，

∵OB=OC，

∴∠CBO=15°，

∴∠ABC=2∠CBO．

【总结升华】本题考查了圆周角定理以及线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质，熟练的掌握所学知识点是解题的关键.

举一反三：

【变式】如图，AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°则弦AB所对的圆周角是            .

【答案】40°或140°.

3.如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1+∠2=___________.
　　　　           
 

【答案】90°.

【解析】如图，连接OE，则
　　　　
      

【总结升华】把圆周角转化到圆心角.
举一反三：
【变式】（2020•玄武区二模）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC、BO，已知∠CAB=36°，∠ABO=30°，则∠D=　    ．

【答案】96°；

提示：解：连结OC，如图，

∠BOC=2∠CAB=2×36°=72°，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠OBC=（180°﹣∠BOC）=（180°﹣72°）=54°，

∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=30°+54°=84°，

∵∠D+∠ABC=180°，

∴∠D=180°﹣84°=96°．

故答案为96．

4.已知，如图，⊙O上三点A、B、C，∠ACB=60°，AB=m，试求⊙O的直径长.
　　　　　　
【答案与解析】

如图所示，作⊙O的直径AC′，连结C′B，
　 则∠AC′B=∠C=60°
　 又∵AC′是⊙O的直径，
　 ∴∠ABC′=90°
　
　
　
　　即⊙O的直径为.

【总结升华】作出⊙O的直径，将60°、直径与m都转到一个直角三角形中求解.
 

举一反三：

【变式】如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为（    ）．

A．      B．4       C．      D．5

【答案】A.

类型三、圆内接四边形及应用

5.已知，如图，∠EAD是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，并且BD=DC.

      求证：AD平分∠EAC.

【思路点拨】如图，由圆内接四边形的性质可证得∠EAD=∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠DBC=

∠DCB，根据圆周角定理可得∠DBC=∠DAC，所以等量代换可求得∠EAD=∠DAC，即AD平分∠EAC.

【答案与解析】

证明：∵∠EAD与∠DAB互为邻补角，

      ∴∠EAD+∠DAB=180°.

      ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

      ∴∠DAB+∠DCB=180°.

      ∴∠EAD=∠DCB.

      又∵∠DBC与∠DAC是 所对的圆周角，

      ∴∠DBC=∠DAC,

      ∴∠EAD=∠DAC.

      即AD平分∠EAC.

【总结升华】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质，解题时要认真审题，注意转化思想的合理运用.

举一反三：

【变式】如图，圆内接四边形ABCD的外角∠ABE=85°，则∠AOC的度数为（       ）.

A.150°  B. 160°   C.170°     D.165°

【答案】C.