初中数学北师大版九年级下册4 圆周角和圆心角的关系获奖教学设计

这是一份初中数学北师大版九年级下册4 圆周角和圆心角的关系获奖教学设计，共20页。教案主要包含了教师准备，学生准备，学生活动，教师活动，教师点评，教师强调，师生活动，活动方式等内容，欢迎下载使用。

4　圆周角和圆心角的关系





1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程.
2.理解圆周角的概念,了解并证明圆周角定理及其推论.
3.理解圆的内接四边形的性质.

1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程,培养学生观察、分析、猜想、归纳和逻辑推理的能力.
2.通过渗透分类讨论、归纳等数学思想方法,培养学生的探究意识和探索新知识的能力.

在经历探索圆周角和圆心角关系的过程中,感受探索的艰辛与喜悦,体验数学活动充满着探索与创造,激发学生的学习欲望.

【重点】
1.掌握圆周角定理及其证明过程.
2.运用圆周角定理及其推论解决相关问题.
3.圆的内接四边形的性质及其应用.
【难点】
1.圆周角定理的证明过程.
2.体会分类讨论、归纳等数学思想方法的应用.
第课时



1.理解圆周角的概念,掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)及其推论1,并会运用它们进行有关的证明和运算.
2.理解并掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)的证明方法.

经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,学会以特殊情况为基础,通过转化来解决一般性问题的方法,渗透分类的数学思想.

通过观察、猜想、验证、推理,培养学生探索数学问题的能力和方法.

【重点】　掌握圆周角的概念、圆周角定理及推论1及其证明过程.
【难点】　了解圆周角与圆心的三种位置关系,用化归思想合情推理验证圆周角定理.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　
1.复习三角形外角的知识和圆的基础知识.
2.圆规和直尺.


导入一:
课件出示:

如图所示,有一只小蚂蚁从C点出发,沿着圆周的方向逆时针爬行,在爬行的过程中,蚂蚁所在的点B与点A,C所组成的∠ABC的度数会发生变化吗?若∠AOC=60°,那么∠ABC的度数可能是多少?
学生猜测:∠ABC的度数应该不会发生变化,∠ABC的度数可能是30°.
【问题】　∠ABC是什么角?圆心角∠AOC和∠ABC之间有什么样的关系?
[设计意图]　通过活泼的小蚂蚁的运动,让学生初步感知圆周角的基本概念以及圆周角与圆心角的关系,使学生对本节课的探究任务一目了然.
导入二:
课件出示:
同学们,你们喜欢踢足球吗?看了2014年巴西世界杯和2015年加拿大女足世界杯了吗?(投影展示世界杯的精彩片段)

【问题】　请同学们想一想,球员射中球门的难易与什么有关?
【学生活动】　学生思考后积极回答,学生的答案可能会五花八门.
【引导】　射门球员与两个门柱组成的角度会决定球员射中球门的难易程度,相信学完本节课的知识你就可以解决这个问题了.
[设计意图]　由学生熟知的世界杯为引子,创设问题情境,吸引学生的注意,激发学生的学习兴趣.复习所学过的圆心角,并且引出要学习的圆周角,引导学生在观察图形的基础上进行独立思考,然后再进行合作交流,最后达成共识.

　　[过渡语]　前面我们了解了圆心角,同学们知道吗,其实它还有一个同胞兄弟——圆周角,那么什么样的角是圆周角,它和圆心角有什么关系呢?
一、圆周角的概念
课件出示:

如图所示,球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.当球员分别站在B,D,E的位置上射门时,哪个位置进球的可能性大?
【学生活动】　学生思考后并猜测,可能会有大部分的学生认为在D处进球的可能性大,也有学生认为一样大.
【教师活动】　教师对于学生的回答,暂时不做评论,教师出示动画效果的视频进行演示,继续引导学生思考下面的问题.

【问题】　图中的三个角∠ABC,∠ADC,∠AEC,以前见过这种类型的角吗?它们有什么共同特征?
【学生活动】　生观察后,与同伴交流,代表小结三个角的共同特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角在圆的内部;(3)角的两边都与圆相交.
【教师点评】　我们把具有这样特征的角称为圆周角.
圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.
【教师强调】　理解圆周角的概念的两个特征:
(1)角的顶点在圆上;
(2)角的两边都与圆相交.
　　[过渡语]　同学们了解了圆周角的概念,通过下面的题目,来检测一下同学们对圆周角概念的理解程度.
课件出示:
判断下列图中的角是否是圆周角,并说明理由.


【学生活动】　先让学生观察思考,独立判断,基础差的学生回答,并说明是与不是的理由.
[设计意图]　让学生学好基础知识、基本概念,识别其内容反映出来的数学思想和方法,培养学生的基本技能及分析问题和解决问题的能力,使学生通过自己的观察与探索,发现、理解并掌握圆周角的定义.
　　[过渡语]　我们知道圆周角和圆心角只有一字之差,它们都是圆中具有明显特征的角,这两者之间有什么关系吗?
二、圆周角与圆心角的关系
课件出示:

【做一做】　如图所示,∠AOB=80°.
问题1
请你画出几个所对的圆周角,这几个圆周角有什么关系吗?请与同伴进行交流.
教师引导学生动手操作并思考下面的问题:
1.你所画出的圆周角的度数之间有什么关系?你是怎么得到这个结论的?
2.你能画出多少个圆周角?
【师生活动】　要求学生动手操作,师巡视,发现学生出现的问题,及时纠正.学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.
1.使用量角器进行测量可得所对的圆周角的度数都相等.
2.可以画出无数个相等的圆周角.
问题2
这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系?你是怎么发现的?与同伴进行交流.
【师生活动】　学生继续进行操作,师参与其中.
【学生活动】　学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.利用量角器得出所对的圆周角都等于40°,都等于所对的圆心角80°的一半.
【议一议】　如果改变图中的∠AOB的度数,上面的结论还成立吗?
【活动方式】　分组探究,分别以∠AOB的度数为30°,90°,120°和150°为例,分四组练习,得出结论.再结合各组的结论,总结出圆周角与圆心角之间的关系.
【师生小结】　圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
　　[过渡语]　刚才我们是通过测量得到的这个结论,那么你能对这个定理进行证明吗?
【师生活动】　要求同学们仔细观察刚才所画的圆周角,和其他同学对照一下.
【学生活动】　学生在小组内交流、汇总,并在全班交流、补充.
【教师归纳】　圆周角与圆心的位置关系只有三种:
(1)圆心在圆周角的一边上(如图(1)所示);
(2)圆心在圆周角的内部(如图(2)所示);
(3)圆心在圆周角的外部(如图(3)所示).

【教师活动】　要求学生独立写出已知和求证,并利用图(1)进行证明.
教师引导学生思考下面的问题:
1.△AOC是什么三角形?
2.∠AOB与△AOC有什么关系?
代表展示:如图(1)所示,∠ACB是所对的圆周角,∠AOB是所对的圆心角.求证∠C=·∠AOB.
证明:圆心O在∠C的一条边上,如图(1)所示.
∵∠AOB是△AOC的外角,
∴∠AOB=∠A+∠C.
∵OA=OC,
∴∠A=∠C.
∴∠AOB=2∠C,
即∠C=∠AOB.
【做一做】　请你完成其他两种情况的证明.
教师引导学生思考下面的问题:
1.证明圆周角定理的主要思路是什么?
2.我们用推理论证的方法得到了第一种情况结论是成立的.对于第二、三种情况都可以转化成圆心在圆周角的一边上的情况去处理.如何进行转化呢?
【师生活动】　学生分组讨论,师要参与其中,对有困难的小组进行指点.
代表发言:
1.主要是利用等腰三角形的外角的知识进行证明.
2.可以通过作直径的方法进行转化.
【活动方式】　分成四组解答,第一、三组利用图(2)进行证明,第二、四组利用图(3)进行证明.
【学生活动】　学生讨论后,理清了思路,独立解答.找2名学生代表板演展示.
【教师活动】　师利用多媒体出示证明过程,规范学生的证明步骤.

证明:圆心O在圆周角的内部(如图所示).
在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,
∴∠ACD+∠BCD=∠AOD+∠BOD.
即∠ACB=∠AOB.

证明:圆心O在圆周角的外部(如图所示).
在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,
∴∠ACD-∠BCD=∠AOD-∠BOD.
即∠ACB=∠AOB.
　　[设计意图]　通过测量和推理证明两种方式得出圆周角的判定定理,加深了学生对于圆周角定理的理解,为下面的运用奠定了良好的基础.
　　[过渡语]　直到现在有同学还存有疑问,开始时的足球射门游戏中到底在哪个点的射门更容易一些呢?
课件出示:
【想一想】　在射门游戏中,当球员在B,D,E处射门时,所形成的三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC的大小有什么关系?你能用圆周角定理证明你的结论吗?

学生分析:如图所示,因为∠ABC,∠ADC,∠AEC都是同一条所对的圆周角,根据圆周角定理,它们都等于所对的圆心角∠AOC度数的一半,所以这三个角都相等.
【问题】　根据上述探究的结论,以及三个圆周角的共性,你还能得出什么样的结论?
【师生总结】　圆周角定理推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.
【想一想】　你现在知道球员在哪个位置把球射进球门的可能性大了吗?
学生统一了想法:因为∠ABC=∠ADC=∠AEC,所以球员在B,D,E处把球射进球门的可能性是一样大的.

[设计意图]　利用情境题及时巩固新知,使每个学生都有收获,感受成功的喜悦,充分肯定探索活动的意义,提高学生的积极性和主观能动性.
[知识拓展]　在同一个圆中,同弦所对的圆周角可能相等也可能互补.如图所示.
【教师强调】
(1)“同弧”指“同一个圆”.
(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”.
(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”.

1.圆周角的概念.
2.圆周角定理.
3.圆周角定理的证明方法.
4.圆周角定理的推论1.

1.(温州中考)如图所示,已知A,B,C在☉O上,为优弧,下列选项中与∠AOB相等的是 (　　)
A.2∠C B.4∠B
C.4∠A D.∠B+∠C
解析:由圆周角定理可得∠AOB=2∠C.故选A.

2.如图所示,在☉O中,AC∥OB,∠BAO=25°,则∠BOC的度数为 (　　)
A.25° B.50° C.60° D.80°
解析:∵OA=OB,∴∠B=∠BAO=25°,∵AC∥OB,∴∠BAC=∠B=25°,∴∠BOC=2∠BAC=50°.故选B.

3.如图所示,☉O的直径CD⊥AB,∠AOC=50°,则∠CDB的大小为　　　　. 
解析:由垂径定理,得=,∴∠CDB=·∠AOC=25°.故填25°.

4.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,点D为上一点,∠ABC=∠BDC=60°,AC=3 cm,求△ABC的周长.

解:∵=,
∴∠BDC=∠BAC.
∵∠ABC=∠BDC=60°,
∴∠ABC=∠BAC=60°,∴∠ACB=60°.
∴△ABC为等边三角形.
∵AC=3 cm,∴△ABC的周长为3×3=9(cm).

第1课时
1.圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点的角.
2.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
3.圆周角定理的推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.

一、教材作业
【必做题】
1.教材第80页随堂练习第1,2题.
2.教材第80页习题3.4第1,2,3题.
【选做题】
教材第81页习题3.4第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(山西中考)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,连接OA,OB,∠OBA=50°,则∠C的度数为 (　　)
A.30° B.40° C.50° D.80°

2.(株洲中考)如图所示,点A,B,C都在圆O上,如果∠AOB+∠ACB=84°,那么∠ACB的大小是　　　　. 

3.如图所示,边长为1的小正方形网格中,☉O的圆心在格点上,则∠AED的余弦值是　　　　. 

【能力提升】
4.(齐齐哈尔中考)如图所示,在☉O中,OD⊥BC,∠BOD=60°,则∠CAD的度数等于 (　　)
A.15° B.20° C.25° D.30°

5.如图所示,点E是的中点,点A在☉O上,AE交BC于D.求证BE2=AE·DE.

6.如图所示,A,B,C,D是☉O上的四点,AB=AC,AD交BC于点E,AE=2,ED=4,求AB的长.

7.如图所示,在半径为5 cm的☉O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=50°,∠APD=80°.
(1)求∠ABD的大小;
(2)求弦BD的长.

【拓展探究】
8.(安徽中考)在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP⊥PQ.
(1)如图(1)所示,当PQ∥AB时,求PQ的长度;
(2)如图(2)所示,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.

【答案与解析】
1.B(解析:∵OA=OB,∠OBA=50°,∴∠OAB=∠OBA=50°,∴∠AOB=180°-50°×2=80°,∴∠C=∠AOB=40°.故选B.)
2.28° (解析:∵∠AOB=2∠ACB,∠AOB+∠ACB=84°,∴3∠ACB=84°,∴∠ACB=28°.故填28°.)
3.(解析:∵∠AED与∠ABC都对应,∴∠AED=∠ABC,在Rt△ABC中,AB=2,AC=1,根据勾股定理得BC=,则cos∠AED=cos∠ABC==.)
4.D (解析:∵在☉O中,OD⊥BC,∴=,∴∠CAD=∠BOD=×60°=30°.故选D.)
5.证明:∵点E是的中点,∴=.∴∠BAE=∠CBE,∵∠E=∠E(公共角),∴△BDE∽△ABE,∴BE∶AE=DE∶BE,∴BE2=AE·DE.
6.解:∵在☉O中,AB=AC,∴弧AB=弧AC.∴∠ABC=∠D.又∠BAE=∠DAB,∴△ABE∽△ADB.∴=,即AB2=AE·AD=2×6=12.∴AB=2.

7.解:(1)∵∠APD是△APC的外角,∠CAB=50°,∠APD=80°,∴∠C=80°-50°=30°,∴∠ABD=∠C=30°.　(2)如图所示,过点O作OE⊥BD于点E,则BD=2BE,由(1)知∠ABD=30°,OB=5 cm,∴BE=OB·cos 30°=3×=(cm),∴BD=2BE=2×=3(cm).
8.解:(1)连接OQ,如图(1)所示,∵PQ∥AB,OP⊥PQ,∴OP⊥AB,在Rt△OBP中,∵tan B=,∴OP=3tan 30°=,在Rt△OPQ中,∵OP=,OQ=3,∴PQ==.　(2)连接OQ,如图(2)所示,在Rt△OPQ中,PQ==,∴当OP的长最小时,PQ的长最大,此时OP⊥BC,则OP=OB=,∴PQ长的最大值为 =.



本节课教学设计上,一是注重了创设情境,激发学生学习的兴趣、主动性和求知欲望,为下一步教学的顺利展开开个好头;二是注重了引导学生经历探索、验证、论证、应用数学新知的过程,鼓励学生用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法进行学习,使学生在数学活动中深刻地理解知识和掌握由特殊到一般的认知方法.探索并证明圆周角和圆心角的关系,学生解决起来是有一定难度的,教学时可以给学生留出充足的时间和空间,让他们进行思考、交流.学生在经历画图、猜想、推理、交流、严格证明等过程后,自己得出了结论,收到了预期的效果.

在学生证明圆周角定理时由于引导效果不好,导致有些学生解决问题还有困难,不知如何入手.

今后在教学中多训练学生的思维能力,再放手,采取结对子帮扶,充分发挥小组长的示范作用.

练习(教材第80页)
1.解:∠A=∠BOC=×50°=25°.
2.解:∠BDC=∠BAC.相等的角还有:∠ADB=∠ACB,∠DBA=∠DCA,∠CAD=∠CBD.
习题3.4(教材第80页)
1.解:∠ACB=2∠BAC.∵∠ACB=∠AOB, ∠BAC=∠BOC,且∠AOB=2∠BOC, ∴∠ACB=2∠BAC.
2.解:∵∠C=100°,∴∠BOD(大于180°的)=200°,∴∠BOD(小于180°的)=160°,∴∠A=∠BOD=×160°=80°.
3.解:尽量保证同排的人视角相同.
4.解:当船位于安全区域时,∠α小于“危险角”.


对于圆周角的概念的得出,可以通过对情境题的仔细观察就可以直接得出圆周角的概念,而定理的探索,则需要通过动手操作,利用量角器测量的方法得出圆周角与圆心角之间的关系.对于圆周角定理的证明遵循“由特殊到一般”的方法,对于三种可能性的证明则可以利用“转化”的思想方法进行解决.
第课时



1.掌握圆周角定理的另外两个推论,会熟练运用这两个推论解决相关问题.
2.掌握圆的内接四边形的概念及性质,并能加以熟练运用.

1.培养学生观察、分析及理解问题的能力.
2.在学生自主探索推论的过程中,经历猜想、推理、验证等环节,获得正确的学习方式.

通过观察、猜想、验证、推理,培养学生的探索精神和解决问题的能力.

【重点】　圆周角定理的两个推论及圆的内接四边形性质的应用.
【难点】　理解推论的“题设”和“结论”,灵活运用推论进行问题的“转化”.

【教师准备】　多媒体课件和圆规.
【学生准备】　
1.复习圆周角定理.
2.圆规.


导入一:
某种零件加工时,需要把两个半圆环形拼成一个完整的圆环,并确定这个圆环的圆心,在加工时首先要检测两个半圆环形是否合格.检测方法如图(1)所示,把直角钢尺的直角顶点放在圆周上,如果在移动钢尺的过程中,钢尺的两个直角边始终和A,B两点接触,并且直角顶点一直在圆周上,就说明这个半圆环形是合格的.把两个合格的半圆环形拼接在一起就形成了如图(2)所示的一个圆环.你能说明其中的原因吗?

学生看完介绍后,思考原因,并回答下面的问题:
1.线段AB表示的是什么?它所对的角度是多少度?
2.线段AB所对的是一个怎样特殊的角?
学生猜测:线段AB可能是直径,它所对的角度应该是90°.
【教师引入】　上节课我们了解了圆周角定理,这节课我们探究一下最长的弦——直径所对的圆周角的特征.
[设计意图]　利用情境引入,吸引了学生的注意力,激发了他们的求知欲望,使他们急于想知道答案,同时也在提出的问题中了解了本节课所要探究的内容,一举两得.
导入二:

如图所示,小花同学设计了一个直径的测量器,标有刻度的尺子在O点钉在一起,并使它们保持垂直,在测直径时,把O点靠在圆周上,交圆于E,F两点,读得刻度OE=8 cm,OF=6 cm,她就认为圆的直径为10 cm.你同意她的做法吗?
　　学生分析题目中的数量关系:如果连接EF,因为圆周角∠FOE是90°,在Rt△EOF中,利用勾股定理可以得出EF=10 cm.
【问题】　为什么90°的圆周角所对的弦EF是直径?那么直径所对的圆周角又是多少度呢?
[设计意图]　通过对直径测量器的研究,学生初步了解了90°的圆周角与直径之间存在着一定的联系,为下面圆周角定理的推论的得出打下了良好的基础.

　　[过渡语]　通过前面的学习,我们知道了弧与圆周角之间存在着一定的关系,那么最长的弦——直径与圆周角之间是否也存在着一定的关系呢?
一、圆周角定理推论2
课件出示:

如图所示,BC是☉O的直径,它所对的圆周角有什么特点?你是如何得出这个结论的呢?
【学生活动】　学生动手操作,作出直径BC不同方向的圆周角,完成后运用自己的方法进行判断.
【教师活动】　让学生说出得出结论的理由.
学生分析:
1.结论:直径BC所对的圆周角等于90°.
2.方法:
方法1:运用量角器.
方法2:利用三角板的直角进行测量.
【教师点评】　直径BC所对的圆周角是直角,因为一条直径将圆分成了两个半圆,而半圆所对的圆心角是∠BOC=180°,所以所对的圆周角∠BAC=90°.
圆周角定理推论:直径所对的圆周角是直角.
　　[过渡语]　“直径所对的圆周角是直角”的逆命题是什么?这个逆命题也成立吗?
课件出示:

【想一想】　如图所示,圆周角∠A=90°,弦BC是直径吗?为什么?
师引导学生思考:
1.能不能直接证明BC是直径?
2.作辅助线时,是要分别连接OB,OC,还是直接连接BC?
【师生活动】　学生分组讨论,统一意见,师参与其中,及时给予指点.

解:弦BC是直径.理由如下:
如图所示,连接OB,OC.
∵圆周角∠BAC=90°,
∴圆心角∠BOC=180°,
即BOC是一条线段,
∴BC是☉O的一条直径.
师重点提示:这里要分别连接OB,OC,而不是直接连接BC.
【学生小结】　圆周角定理推论:90°的圆周角所对的弦是直径.
【师生小结】　圆周角定理推论2:直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.
【教师点评】　圆周角定理这一推论应用非常广泛,一般地,如果题目的已知条件中有直径时,往往作出直径所对的圆周角——直角;如果需要直角或证明垂直时,往往作出直径即可解决问题.运用圆周角定理的推论作辅助线的口诀记忆法:“见直径出直角”,“见直角连直径”.
[设计意图]　教师通过组织、点拨、引导,促进学生主动探索,积极思考,总结规律,充分发挥学生的主体作用.
　　[过渡语]　 我们已经掌握了圆周角定理及其一些推论,你能利用所学知识解决圆内接四边形中的问题吗?
二、圆内接四边形的性质
课件出示:

【议一议】　如图所示,A,B,C,D是☉O上的四点,AC为☉O的直径,∠BAD与∠BCD之间有什么关系?为什么?
【学生活动】　学生观察后,把得出的结论与同伴交流,然后统一答案,并说出理由.
学生分析:
结论:∠BAD+∠BCD=180°.
理由:∵AC为☉O的直径,∴∠ABC=∠ADC=90°.∴∠BAD+∠BCD=180°.
课件继续出示:

【变式训练】　如图所示,点C的位置发生了变化,∠BAD与∠BCD之间的关系还成立吗?为什么?
【学生活动】　学生小组交流后得出结论,代表发言:
结论:∠BAD+∠BCD=180°.
理由:∵优弧BCD和劣弧BAD的度数和为360°,那么它们所对的圆心角的和也是360°,∴它们所对的圆周角∠BAD和∠BCD的和是180°.
【教师点评】　圆内接四边形的概念:四个顶点都在圆上的四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做四边形的外接圆.
推论3:圆内接四边形的对角互补.
[设计意图]　学生互相交流讨论,总结规律,通过教师把问题进一步深化,引导学生逐步得出探究问题的“由特殊到一般”的数学思想方法.
　　[过渡语]　上面我们探究的是圆内接四边形的内对角之间的关系,那么它的外角和它的内对角又存在什么样的关系呢?
课件出示:

【想一想】　如图所示,∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角,∠A与∠DCE的大小有什么关系?
学生分析:由圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°,∵∠BCD +∠DCE =180°,∴∠A=∠DCE.
【师生小结】　圆内接四边形性质的推论:圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角).
[设计意图]　通过对问题的探究,不但进一步理解了圆内接四边形的性质,同时也得出了圆内接四边形的外角的性质,一举两得.
[知识拓展]　1.本节课用到的数学方法:
(1)度量与证明:比如说在探究直径所对的圆周角这一定理时.
(2)类比:比如说在探究圆内接四边形的性质时.
(3)由特殊到一般:比如说在探究圆内接四边形的性质时.
2.运用圆周角的推论作辅助线的口诀记忆法:
(1)直径所对的圆周角是直角→“见直径出直角”;
(2)90°的圆周角所对的弦是直径→“见直角连直径”.

1.圆周角定理推论2.
2.圆内接四边形的概念和性质(推论3).
3.运用圆周角定理的推论作辅助线的口诀记忆法.

1.(台州中考)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中,可判断圆弧为半圆的是 (　　)

解析:∵直径所对的圆周角等于直角,∴直角三角板与圆弧的位置关系中,可判断圆弧为半圆的是B.故选B.
2.如图所示,四边形ABCD为圆内接四边形,E是AD延长线上一点,如果∠B=60°,那么∠EDC等于 (　　)
A.120° 　B.60° C.40° D.30°
解析:∵四边形ABCD为圆内接四边形,∠B=60°,∴∠ADC=180°-∠B=180°-60°=120°,∵∠ADC+∠EDC=180°,∴∠EDC=180°-120°=60°.故选B.

3.(兰州中考)如图所示,△ABC为☉O的内接三角形,AB为☉O的直径,点D在☉O上,∠ADC=54°,则∠BAC的度数等于　　　　. 

解析:∵∠ABC与∠ADC是所对的圆周角,∴∠ABC=∠ADC=54°,∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-54°=36°.故填36°.
4.(泰州中考)如图所示,☉O的内接四边形ABCD中,∠A=115°,则∠BOD等于　　　　. 
解析:∵∠A=115°,∴∠C=180°-∠A=65°,∴∠BOD=2∠C=130°.故填130°.

5.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,AB是☉O的直径,D为☉O上一点,OD⊥AC,垂足为E,连接BD.
(1)求证BD平分∠ABC;
(2)当∠ODB=30°时,求证BC=OD.

证明:(1)∵OD⊥AC,OD为半径,
∴=,
∴∠CBD=∠ABD,∴BD平分∠ABC.
(2)∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB=30°,
∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°,
∵OD⊥AC于E,∴∠OEA=90°,
∴∠A=180°-∠OEA-∠AOD=180°-90°-60°=30°,
又∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∴在Rt△ACB中,BC=AB,
∵OD=AB,∴BC=OD.

第2课时
1.圆周角定理推论:直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.
2.圆内接四边形的概念:四个顶点都在圆上的四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做四边形的外接圆.
3.圆内接四边形的性质:
(1)圆内接四边形的对角互补.
(2)圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.

一、教材作业
【必做题】
1.教材第83页随堂练习第1,2,3题.
2.教材第83页习题3.5第1,2,3题.
【选做题】
教材第84页习题3.5第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(湖州中考)如图所示,已知AB是△ABC外接圆的直径,∠A=35°,则∠B的度数是 (　　)
A.35° B.45° C.55° D.65°

2.(日照中考)如图所示,在△ABC中,以BC为直径的圆分别交边AC,AB于D,E两点,连接BD,DE.若BD平分∠ABC,则下列结论不一定成立的是 (　　)
A.BD⊥AC B.AC2=2AB·AE
C.△ADE是等腰三角形 D.BC=2AD

3.如图所示,四边形ABCD内接于圆O,若∠BOD=130°,则∠DCE=　　　　. 

4.(黔西南中考)如图所示,AB是☉O的直径,AB=15,AC=9,则tan∠ADC=　　　　. 

【能力提升】
5.(自贡中考)如图所示,在半径为1的☉O中,∠AOB=45°,则sin C的值为 (　　)
A. B.
C. D.

6.如图所示,△ABC内接于☉O,∠BAC=120°,AB=AC,BD为☉O的直径,AD=6,则DC=　　　　. 

7.如图所示的是以△ABC的边AB为直径的半圆O,点C恰好在半圆上,过C作CD⊥AB交AB于D.已知cos∠ACD=,BC=4,求AC的长.

8.如图所示,四边形ABCD是☉O的内接四边形,DP∥AC,交BA的延长线于P,求证AD·DC=PA·BC.

【拓展探究】
9.(沈阳中考)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,AB为直径,OD∥BC交☉O于点D,交AC于点E,连接AD,BD,CD.
(1)求证AD=CD;
(2)若AB=10,cos∠ABC=,求tan∠DBC的值.

【答案与解析】
1.C(解析:∵AB是△ABC外接圆的直径,∴∠C=90°,∵∠A=35°,∴∠B=90°-∠A=55°.故选C.)
2.D(解析:∵BC是直径,∴∠BDC=90°,∴BD⊥AC,故A正确;∵BD平分∠ABC,BD⊥AC,∴△ABC是等腰三角形,AD=CD,∵四边形BCDE是圆内接四边形,∴∠AED=∠ACB,∴△ADE∽△ABC,∴△ADE是等腰三角形,∴AD=DE=CD,∴===,∴AC2=2AB·AE,故B正确;由B的证明过程,可得C选项正确.故选D.)
3.65° (解析:∵∠BOD=130°,∴∠A=∠BOD=65°,∵∠A+∠BCD=180°,∠DCE+∠BCD=180°,∴∠DCE=∠A=65°.)
4.(解析:∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴BC==12,∴tan∠ADC=tan B===.)
5.B (解析:过点A作AD⊥OB于点D,∵在Rt△AOD中,∠AOB=45°,∴OD=AD=OA·cos 45°=1×=,∴BD=OB-OD=1-,∴AB== ,∵AC是☉O的直径,∴∠ABC=90°,AC=2,∴sin C=.故选B.)
6.2(解析:∵BD为☉O的直径,∴∠BAD=∠BCD=90°,∵∠BAC=120°,∴∠CAD=120°-90°=30°,∴∠CBD=∠CAD=30°,又∵∠BAC=120°,∴∠BDC=180°-∠BAC=180°-120°=60°,∵AB=AC,∴∠ADB=∠ADC,∴∠ADB=∠BDC=×60°=30°,∵AD=6,∴在Rt△ABD中,BD=AD÷sin 60°=6÷=4,在Rt△BCD中,DC=BD=×4=2.故填2.)
7.解:∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCD=90°,∵CD⊥AB,∴∠BCD+∠B=90°,∴∠B=∠ACD,∵cos∠ACD=,∴cos B=,∴tan B=,∵BC=4,∴tan B===,∴AC=.

8.证明:如图所示,连接BD.∵DP∥AC,∴∠PDA=∠DAC.∵∠DAC=∠DBC,∴∠PDA=∠DBC.∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠DAP=∠DCB.∴△PAD∽△DCB,∴PA∶DC=AD∶BC,即AD·DC=PA·BC.
9.(1)证明:∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∵OD∥BC,∴∠AEO=∠ACB=90°,∴OD⊥AC,∴=,∴AD=CD.　(2)解:∵AB=10,∴OA=OD=AB=5,∵OD∥BC,∴∠AOE=∠ABC,在Rt△AEO中,OE=OA·cos∠AOE=OA·cos∠ABC=5×=3,∴AE===4,∴DE=OD-OE=5-3=2.在Rt△AED中,tan∠DAE===,∵∠DBC=∠DAE,∴tan∠DBC=.


本节课充分利用现实生活和数学中的素材,尽可能地设计具有挑战性的情境,关注每一个学生的参与程度,激发学生求知、探索的欲望,使教学活动更丰富、更生活化.在探究结论的过程中,鼓励学生主动、及时地总结出了研究图形的使用方法.本节课的难点和易错点是推论“90°的圆周角所对的弦是直径”的证明,往往会有学生直接连接直径,所以注重了对辅助线的作法的引导,以避免学生大面积出错.为了强化圆周角定理的推论的运用,把其辅助线的作法编成口诀,这样更有利于学生记忆.

在运用推论的过程中,部分学生对“如果需要直角或证明垂直时,往往作出直径即可解决问题”等知识的运用还不够熟练,个别学生对实际问题的理解和分析不透彻,需要在以后的课堂中逐步地积累和培养.

对于圆内接四边形的教学,可以采用分组讨论的形式进行,这样可以提高学生的学习效率、大大减少探究时间.

随堂练习(教材第83页)
1.解:∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.∴AC=AB·sin B=10×=5(cm).
2.解:图形(2)是半圆形,因为90°的圆周角所对的弦是直径.
3.解:∵∠A∶∠C=4∶5,而∠A+∠C=180°,∴可以设∠A=4x,则∠C=5x.由题意,得4x+5x=180°,解得x=20°.∴∠C=5x=100°.
习题3.5(教材第83页)
1.解:∵∠BOD=80°,∴∠A=∠BOD=×80°=40°.∴∠C=180°-∠A=180°-40°=140°.
2.解:连接BD,∵∠ACD=15°,∴∠ABD=15°.∵AB是直径,∴∠ADB =90°.∴∠BAD=∠ADB -∠ABD=90°-15°=75°.
3.解:在△AEB中,∵∠E=40°,∴∠ABE=180°-∠A -40°.同理,∠ADF=180°-∠A -60°.∴∠ABE=∠ADF +20°.∵∠ABE+∠ADF =180°,∴∠ABE =100°,∠ADF =80°.∴在△AEB中,∠A=180°-∠ABE -∠E =180°-100° -40°=40°.
4.解:(1)图略.　(2)∠APB,∠ACB,∠BCP,∠CBP大小不变.


本节课的教学关键是掌握一些数学思想方法在探究过程中的运用:
(1)在探究直径所对的圆周角这一定理时利用度量的方法可以初步探究出“直径所对的圆周角是直角”这一性质.
(2)在探究圆内接四边形的性质时可以利用类比上节课探究圆周角定理的方法进行探究.
(3)在探究圆内接四边形的对角互补性质时利用“由特殊到一般”,先探究对角线是直径的特殊情况时的结论,使学生有了初步的感知,然后再对一般情况进行证明就比较容易了.

(无锡中考)如图所示,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上的两点,且OD∥BC,OD与AC交于点E.
(1)若∠B=70°,求∠CAD的度数;
(2)若AB=4,AC=3,求DE的长.

　　〔解析〕　(1)根据圆周角定理的推论可得
∠ACB=90°,则∠CAB的度数即可求得,在等腰三角形AOD中,根据等边对等角求得∠DAO的度数,则∠CAD即可求得;(2)易证OE是△ABC的中位线,利用中位线定理求得OE的长,则DE即可求得.
解:(1)∵AB是半圆O的直径,∴∠ACB=90°,
又∵OD∥BC,∠B=70°,
∴∠CAB=90°-∠B=90°-70°=20°,∠DOA=∠B=70°.
∵OA=OD,∴∠DAO=∠ADO===55°,
∴∠CAD=∠DAO-∠CAB=55°-20°=35°.
(2)在Rt△ABC中,BC===,
由(1)知OE⊥AC,∴AE=EC,
∵OA=OB,∴OE=BC=.
又∵OD=AB=2,
∴DE=OD-OE=2-.
[解题策略]　本题考查了圆周角定理的推论以及三角形的中位线定理,正确证明OE是△ABC的中位线是关键.